05学年第二学期上城区双休日班初二数学讲义
第五讲 反比例函数
主要概念：
1.形如(k≠0)的函数叫做反比例函数，自变量x的取值范围是不为零的实数，函数值是不为零的实数。
2.反比例函数的图像是关于原点对称的双曲线，两个分支无限接近，但永远不能达到坐标轴。
3.反比例函数(k≠0)的性质：
⑴当k＞0时，图像载一、三象限内，在每一个象限内， y的值随着x的增大而减小；
⑵当k＜0时，图像载二、四象限内，在每一个象限内，y的值随着x的增大而增大。
A组题
1.已知y是关于x的分比例函数，当x=4时，y=3，那么y与x之间的函数关系式是 。
2.已知双曲线过点(，– 2 )，那么k= ，它的两条分支分别在第 一、三 象限内，如果点A(a1，b1)与B(a2，b2)在双曲线的同一支上，且a1＜a2，则b1 ＞b2。
3.已知是反比例函数，则n= – 2 。
4.如果函数随x的增大而减小，那么k的取值范围是 k＞。
5.函数y=kx – k，(k≠0) 在同一坐标系中的图象大致为（ B）
6.已知与y=k2x图象的交点是( – 2，5)，则它们的另一个交点是（ D ）
A.(2，5) B.(5，– 2) C.( – 2，– 5) D.(2，– 5)
7.已知：y1、y2都与x成正比例，且x=2时，y= –1，设y= y1+y2，试把y写成x的函数。
解：设y1= k1x，y2= k2x，∴y=k1x+ k2x=( k1+k2)x，将x=2时，y= –1代入：
解得k1+k2=，即
8.已知函数，当m取何值时，
①函数是正比例函数；m为2或–1。
②函数十分比例函数；m为0。
③函数的图像为一条直线，且y随x的增大而减小；m=–1
④函数的图像为一直线，且在第一、三象限内。m=2
B组题
9.如图，在函数的图像上有三点A、B、C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过没一点所作的两条垂线段与x轴、y轴所围成的矩形的面积分别为S1、S2、S3，则（ D ）
A. S1＞S2＞S3 B. S1＜S2＜S3
C. S1＜S3＜S2 D. B. S1=S2=S3
10.如图，A、B是函数图像上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴交x轴于点C，BD平行于y轴，交x轴于点D，设四边形ABCD的面积为S，则（ C ）
A.S=1 B.1＜S＜2
C.S=2 D.S＞2
11.已知反比例函数和正比例函数y=k2x，其中k1– k2=9，且点(4，– 2)在直线y=k2x上，则反比例函数的解析式为 。
12.已知正比例函数y=k1 x和反比例函数，k1·k2= –1，且y=k1 x的图像过点(，)，则反比例函数的解析式为 。
13.已知y= y1–y2，其中y1与成反比例，y2与成正比例，且当x=1时，y= –1，函数的图像过点(3，5)，求
①y与x的函数关系式； ②当x=4时，y的值。
解：设，，将x=1时，y= –1， x=3时，y=5代入，
得：解得：
14.已知：一次函数y=2x–k的图像与反比例函数的图像相交，其中有一个交点的纵坐标为– 4，求这两个函数的解析式。
解：由题意，得：，∴，即
15.反比例函数（k＞0）在第一象限的图像如图，点M是图像上一点，MP垂直x轴于点P，如果⊿MOP的面积是1，求k的值。
解：设M(x，y)，S⊿MOP=xy，∴xy=2，即k=2
16.已知：函数的图像和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别交于P1和P2两点，过点P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1、P1R1，垂足分别为Q1、R1，过点P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2、P2R2，垂足分别为Q2、R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小。
解：∵，∴xy=4，∴∴；∴∴；
即C1=8，C2=
17.如图，第一象限的点A、B在反比例函数的图像上，过A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
①求证：⊿OMA与⊿ONB的面积相等；
②设M是线段ON的中点，求⊿AOB的面积。
解设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A、B均在上，∴x1y1=x2y2=8
S⊿MOA=x1y1=4，S⊿NOB=x2y2=4，∴S⊿MOA=S⊿NOB
选做题
18.如图，已知反比例函数（k＞0）的图像经过点A(，b)，过A作AB⊥Ox轴于点B，⊿AOB的面积为，
①求k和b的值；
②若一次函数y=ax+1的图像经过点A，并且与x轴相交于点M， 求AO：AM的值。
19.已知反比例函数的图像和一次函数y=kx–7的图像都过点(m，2)
①求这个一次函数的解析式；
②如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图像上，顶点C、D在这个反比例函数的图像上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和a+2，求a的值。
20.如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点B、点P(m，n)是函数(k＞0，x＞0)的图像上的点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分面积为S，
①求点B坐标与k的值；
②当S=时，求P点坐标；
③写出S关于m的函数关系式。
N
C
A
B
x
y
O
M
y
x
O
P
M
x
y
O
A
B
C
B
D
O
C
A
y
x
Q2
O
R2
R1
Q1
P2
P1
y
x
P(m, n)
E
O
F
A
C
B
y
x
M05学年第二学期上城区双休日班初二数学讲义
第五讲 反比例函数
主要概念：
1.形如(k≠0)的函数叫做反比例函数，自变量x的取值范围是不为零的实数，函数值是不为零的实数。
2.反比例函数的图像是关于原点对称的双曲线，两个分支无限接近，但永远不能达到坐标轴。
3.反比例函数(k≠0)的性质：
⑴当k＞0时，图像载一、三象限内，在每一个象限内， y的值随着x的增大而减小；
⑵当k＜0时，图像载二、四象限内，在每一个象限内，y的值随着x的增大而增大。
A组题
1.已知y是关于x的分比例函数，当x=4时，y=3，那么y与x之间的函数关系式是 。
2.已知双曲线过点(，– 2 )，那么k= ，它的两条分支分别在第 象限内，如果点A(a1，b1)与B(a2，b2)在双曲线的同一支上，且a1＜a2，则b1 b2。
3.已知是反比例函数，则n= 。
4.如果函数随x的增大而减小，那么k的取值范围是 。
5.函数y=kx – k，(k≠0) 在同一坐标系中的图象大致为（ ）
6.已知与y=k2x图象的交点是( – 2，5)，则它们的另一个交点是（ ）
A.(2，5) B.(5，– 2) C.( – 2，– 5) D.(2，– 5)
7.已知：y1、y2都与x成正比例，且x=2时，y= –1，设y= y1+y2，试把y写成x的函数。
8.已知函数，当m取何值时，
①函数是正比例函数；
②函数十分比例函数；
③函数的图像为一条直线，且y随x的增大而减小；
④函数的图像为一直线，且在第一、三象限内。
B组题
9.如图，在函数的图像上有三点A、B、C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过没一点所作的两条垂线段与x轴、y轴所围成的矩形的面积分别为S1、S2、S3，则（ ）
A. S1＞S2＞S3 B. S1＜S2＜S3
C. S1＜S3＜S2 D. B. S1=S2=S3
10.如图，A、B是函数图像上关于原点O对称的任意两点，AC平行于y轴交x轴于点C，BD平行于y轴，交x轴于点D，设四边形ABCD的面积为S，则（ ）
A.S=1 B.1＜S＜2
C.S=2 D.S＞2
11.已知反比例函数和正比例函数y=k2x，其中k1– k2=9，且点(4，– 2)在直线y=k2x上，则反比例函数的解析式为 。
12.已知正比例函数y=k1 x和反比例函数，k1·k2= –1，且y=k1 x的图像过点(，)，则反比例函数的解析式为 。
13.已知y= y1–y2，其中y1与成反比例，y2与成正比例，且当x=1时，y= –1，函数的图像过点(3，5)，求
①y与x的函数关系式；
②当x=4时，y的值。
14.已知：一次函数y=2x–k的图像与反比例函数的图像相交，其中有一个交点的纵坐标为– 4，求这两个函数的解析式。
15.反比例函数（k＞0）在第一象限的图像如图，点M是图像上一点，MP垂直x轴于点P，如果⊿MOP的面积是1，求k的值。
16.已知：函数的图像和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别交于P1和P2两点，过点P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1、P1R1，垂足分别为Q1、R1，过点P2分别作x轴、y轴的垂线P2Q2、P2R2，垂足分别为Q2、R2，求矩形OQ1P1R1和OQ2P2R2的周长，并比较它们的大小。
17.如图，第一象限的点A、B在反比例函数的图像上，过A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，
①求证：⊿OMA与⊿ONB的面积相等；
②设M是线段ON的中点，求⊿AOB的面积。
选做题
18.如图，已知反比例函数（k＞0）的图像经过点A(，b)，过A作AB⊥Ox轴于点B，⊿AOB的面积为，
①求k和b的值；
②若一次函数y=ax+1的图像经过点A，并且与x轴相交于点M， 求AO：AM的值。
19.已知反比例函数的图像和一次函数y=kx–7的图像都过点(m，2)
①求这个一次函数的解析式；
②如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图像上，顶点C、D在这个反比例函数的图像上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和a+2，求a的值。
20.如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点B、点P(m，n)是函数(k＞0，x＞0)的图像上的点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，并设矩形OEPF和正方形OABC不重合部分面积为S，
①求点B坐标与k的值；
②当S=时，求P点坐标；
③写出S关于m的函数关系式。
N
C
A
B
x
y
O
M
y
x
O
P
M
x
y
O
A
B
C
B
D
O
C
A
y
x
Q2
O
R2
R1
Q1
P2
P1
y
x
P(m, n)
E
O
F
A
C
B
y
x
M
