6.4.1 平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例分层梯度式训练（含答案）-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
基础过关练
题组一　向量在平面几何中的应用
1.已知P是△ABC所在平面内一点,且||-|-2|=0,则△ABC的形状一定是 (　　)
A.等腰直角三角形　　　　B.直角三角形
C.等腰三角形　　　　D.等边三角形
2.在直角三角形ABC中,D是斜边AB的中点,P为线段CD的中点,则= (　　)
A.2　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.10
3.(多选)(2022广东深圳第三高级中学月考)在△ABC所在平面内有三点O、N、P,下列说法正确的是 (　　)
A.若||=||=||,则点O是△ABC的外心
B.若=0,则点N是△ABC的重心
C.若,则点P是△ABC的内心
D.若=0,且,则△ABC为等边三角形
4.如图,已知△ABC的面积为14 cm2,D,E分别为边AB,BC上的点,且AD∶DB=BE∶EC=2∶1,AE,CD交于点P,连接BP,则△APC的面积为　　　　cm2.
5.已知正方形ABCD中,E、F分别是CD、AD的中点,BE、CF交于点P,连接AP.用向量法证明:
(1)BE⊥CF;
(2)AP=AB.
6.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=3,点D在线段BC上,且BD=DC.求:
(1)AD的长;
(2)∠DAC的大小.
题组二　向量在物理中的应用
7.(2021福建三明三地三校期中联考)在日常生活中,我们会看到如图所示的情境,两个人共提一个旅行包.当两人提着质量为G的旅行包时,夹角为θ,两人拉力的大小都为|F|,若|F|=|G|,则θ的值为 (　　)
A.30°　　　　B.60°　　　　
C.90°　　　　D.120°
8.一艘渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向航行,到达对岸时,船的实际航程为8 km,则河水的流速为(　　)
A.2 km/h　　　　B.2 km/h
C. km/h　　　　D.3 km/h
9.如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移s,F的大小为50 N,且与小车的位移方向的夹角为60°,e是与小车位移方向相同的单位向量,则F在小车位移上的投影向量为　　　　,力F做的功为　　　　.
10.如图所示,一条河的两岸互相平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A点出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10 km/h,水流速度的大小为|v2|=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°).
(1)当cos θ多大时,船能垂直到达对岸
(2)当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短 为什么
11.已知一条河的两岸平行,河的宽度为d m,某人从河的北岸出发到河对岸,河水自西向东流速的大小为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中实际速度为v2.
(1)要使此人游的路程最短,且|v1|= m/s,求此人游泳的方向与水流方向的夹角α和v2的大小;
(2)要使此人游的时间最短,且|v1|= m/s,求他实际前进的方向与水流方向的夹角β和v2的大小.
答案与分层梯度式解析
基础过关练
1.B　∵P是△ABC所在平面内一点,且||=0,
∴||-|()+()|=0,
∴||,∴||,
两边平方并化简得=0,∴,
∴∠BAC=90°,即△ABC是直角三角形.无法判断△ABC是不是等腰三角形.故选B.
2.D　
=
=
=2+
=2+
=-6=42-6=10.
3.ABD　对于A,因为||,所以点O到△ABC的三个顶点的距离相等,所以O为△ABC的外心,故A正确.
对于B,设D为BC的中点,由=0得2,所以||∶||=2∶1,所以N是△ABC的重心,故B正确.
对于C,由得()·=0,即=0,所以AC⊥PB;同理可得AB⊥PC,PA⊥CB,所以点P是△ABC的垂心,故C错误.
对于D,由=0得角A的平分线垂直于BC,所以AB=AC,由得cos∠BAC=,所以∠BAC=,所以△ABC为等边三角形,故D正确.故选ABD.
4.答案　4
解析　设=a,=b,则=a+b,a+b.
∵点A,P,E共线,点D,P,C共线,
∴存在实数λ和μ,使=λa+λb,μa+μb.
又∵a+μb,
∴
∴S△PAB==8(cm2),S△PBC=14×=2(cm2),
∴S△APC=14-8-2=4(cm2).
5.证明　如图,建立平面直角坐标系xOy,
不妨设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).
(1)∵=(1,2)-(2,0)=(-1,2),=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),
∴=-1×(-2)+2×(-1)=0,
∴,即BE⊥CF.
(2)设P(x,y),则=(x,y-1),=(x-2,y),
由(1)知=(-2,-1),=(-1,2),
∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.①
同理,由,得y=-2x+4.②
联立①②,解得即P.
∴,
∴||,即AP=AB.
6.解析　(1)设=a,=b,则()=a+b.
∴|a2+2×a·b+b2=×9=3,
∴AD=.
(2)设∠DAC=θ(0°<θ<120°),则θ为的夹角.
∴cos θ==0,
∴θ=90°,即∠DAC=90°.
7.B　设两人用力分别为F1,F2,则|F1|=|F2|=|F|,|F1+F2|=|G|,∴+2F1·F2=G2,
又|F|=|G|,∴2|F|2+2|F|2cos θ=3|F|2,
解得cos θ=,∴θ=60°.故选B.
8.A　如图,设A为渔船,BC所在直线为对岸,AB=4 km,实际航程AC=8 km,则∠BCA=30°,又|vAB|=2 km/h,∴|vBC|=2 km/h,故选A.
9.答案　25e;1 000 J
解析　∵|F|=50,且F与小车的位移方向的夹角为60°,∴F在小车位移上的投影向量为|F|·cos 60°e=25e.
∵力F作用于小车G,使小车G发生了40米的位移,
∴力F做的功W=25×40=1 000(J).
10.解析　(1)船垂直到达对岸,即v1+v2与v2垂直,即(v1+v2)·v2=0,
所以v1·v2+=0,即|v1||v2|cos θ+|v2|2=0,
所以40cos θ+16=0,解得cos θ=-.
所以当cos θ=-时,船能垂直到达对岸.
(2)设船航行到对岸所需的时间为t h,
则t=.
故当θ=90°时,船的航行时间最短,最短时间为 h.故当船垂直到达对岸时,航行所需时间不是最短的.
11.解析　(1)要使此人游的路程最短,只需此人的游泳速度和水流的速度的和速度与对岸垂直,如图.
此人游泳的方向与水流方向的夹角α=∠ACB,此时|v2|==1 m/s,α=∠ACB=.
(2)如图,设v0与v1的夹角为θ,v0与v2的夹角为β,实际游泳的路程为s m,
则,sin β=,∴,
∴当v0与v1的夹角θ=时,此人游泳到对岸用时最短,
当|v1|= m/s时,∵|v0|=1 m/s,∴|v2|==2 m/s,
此时tan β=,解得β=.