2022-2023学年初数北师大版八年级下册 3.2 图形的旋转 同步必刷题
一、单选题
1．（2022八下·普宁期末）将图中可爱的“小鸭子”图片按逆时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：将图中可爱的“小鸭子”图片按逆时针方向旋转90°后得到的图片是：
故答案为：D
【分析】根据图形的旋转的特征求解即可。
2．（2022八下·胶州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A烧原点O逆时针方向旋转得到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：绕原点逆时针旋转90°的点坐标变换规律：先将横、纵坐标互换位置，再将横坐标变为相反数，
∵A，
∴B，
故答案为：B．
【分析】绕原点逆时针旋转90°的点坐标变换规律：先将横、纵坐标互换位置，再将横坐标变为相反数，据此解答即可.
3．（2022八下·巴州期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝22°，则∠ADC＝（ ）
A．57° B．62° C．67° D．72°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由旋转可得：∠ACB＝∠DCE＝22°，CA＝CE，∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠E＝45°，
∵∠ADC是△CDE的一个外角，
∴∠ADC＝∠E+∠DCE＝45°+22°＝67°.
故答案为：C.
【分析】由旋转的性质可得：∠ACB＝∠DCE＝22°，CA＝CE，∠ACE＝90°，推出△ACE是等腰直角三角形，得到∠E＝45°，根据外角的性质可得∠ADC＝∠E+∠DCE，据此计算.
4．（2022八下·佛山月考）如图，△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠BAC＝50°，则∠DAC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】A
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAD＝40°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠DAC＝∠BAC-∠BAD＝50°-40°＝10°，
故答案为：A．
【分析】利用旋转的性质可得∠BAD＝40°，再利用角的运算求出∠DAC的度数即可。
5．（2022八下·黄冈期中）如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BE＞EA），若过EF上异于点O的一点作直线与正方形的一组对边所在的直线分别交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
【答案】C
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据对称性以及旋转变换的性质可知满足条件的线段有3条，如图所示；
故答案为：C
【分析】利用旋转的性质可知当GH⊥EF时，再利用轴对称性，可得到其它满足条件的两条直线，即可得到这样的直线GH（不同于直线EF）的条数.
6．（2022八下·茂名期中）如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在AB边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．10 B．20 C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BB′，
将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，则∠BCB′=∠ACA′，CB=CB′，CA=CA′，
∵∠A=60°，
∴△ACA′是等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴∠BCB′=60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴BB′=BC，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，则AB=2AC=20，
∴，
∴BB′=，
故答案为：D
【分析】连接BB′，先证明△BCB′是等边三角形，可得BB′=BC，求出AB=2AC=20，再利用勾股定理求出BC的长，即可得到BB′=。
7．（2022八下·大田期中）如图，E是正方形ABCD中CD边上的点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转，得到△ABF.下列角中，是旋转角的是（ ）
A．∠DAE B．∠EAB C．∠DAB D．∠DAF
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得：旋转角为∠DAB或∠EAF，
故答案为：C.
【分析】根据旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即可得出∠DAB或∠EAF为旋转角，即可得出正确答案.
8．（2022八下·南京月考）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（ ）
A．5 B． C．7 D．7
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，将绕点D顺时针旋转90°得到
由旋转的性质可知：，，
∴是等腰直角三角形，
∴根据勾股定理，
∴，
∴当的值最大时，的值最大，
∵，，
∴，
∴的最大值为，
∴的最大值为.
故答案为：C.
【分析】将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，由旋转的性质可知AB=CM=4，DA=DM，∠ADM=90°，推出△ADM是等腰直角三角形，根据勾股定理可得AD=AM，根据两点之间，线段最短的性质可得当A、C、M共线时，AC+CM取得最小值，为AM，据此计算.
9．（2022八下·漳浦期中）如图，在中，，，BD是的角平分线，过点D作交BC边于点E.若，则图中阴影部分面积为 （ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，BD是的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵，
∴∠BDE=90°，
∴∠CBD=∠DEB=45°，
∴BD=DE，
将△DEC绕点D顺时针旋转90°得到△DBT.
∴∠DEC=∠DBT=135°，
∴∠ABD+∠DBT=180°，
∴A，B，T共线，
∵AC=6，AD=2，
∴DC=DT=4，
∴图中阴影部分的面积.
故答案为：B.
【分析】由角平分线定义及∠ABC为90°得∠ABD=∠CBD=45°，由∠BDE=90°得∠CBD=∠DEB=45°，从而得到BD=DE，再将△DEC绕点D顺时针旋转90°得到△DBT，可得∠DEC=∠DBT=135°，从而得到∠ABD+∠DBT=180°，即得A，B，T共线，再根据AC=6，AD=2，即可求得DC=DT=4，最后根据三角形面积公式，代入数据计算即可求解.
10．（2022八下·郑州期中）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：连接FC，PC，
由图可知， ，且，
连接EC，RC，
由图可知， ，且，
连接GC，QC，
由图可知， ，且，
故点C为旋转中心，
故答案为：C.
【分析】分别将两个三角形的三个顶点与A、B，C，D相连，判断连线是否长度相等，围成角度是否相等，如果都相等则是旋转中心.
二、填空题
11．（2021八下·青冈期末）如图，在中，，，将绕点O逆时针转得到，则 ．
【答案】70°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，
∴∠A1OA＝100°，
∴∠A1OB＝∠A1OA﹣∠AOB＝100°﹣30°＝70°．
故答案为70°．
【分析】根据旋转的性质先求出∠A1OA＝100°，再计算求解即可。
12．（2022八下·成都月考）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为 .
【答案】36°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：
将绕点旋转到的位置
，
故答案为：.
【分析】由平行线的性质可得∠C′CA=∠CAB=72°，根据旋转的性质可得AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，由等腰三角形的性质可得∠ACC′=∠AC′C，然后结合内角和定理进行计算.
13．（2021八下·江都期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为1，将 ABC绕P点逆时针旋转至 ，使点B′恰好落在y轴上，则旋转中心P的坐标是 .
【答案】（1，-1）
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由图形可知，
对应点的连线CC′，AA′的垂直平分线的交点是点（1，-1），
根据旋转变换的性质，点（1，-1）即为旋转中心.
故旋转中心坐标是P（1，-1）.
故答案为：（1，-1）
【分析】根据旋转的性质，可知对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可.
14．（2022八下·晋中期末）如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了点，则 度．
【答案】47
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵秋千旋转了86°，小艾同学的位置也从A点运动到了A'点，
∴
∴
故答案为：47．
【分析】由旋转的性质可得根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理的度数即可.
15．（2022八下·郑州期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，且AB=1，BC=2，则AD的值为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
由旋转得：
BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，
∴BD＝，
由旋转得：
CA＝CE，∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠E＝45°，
由旋转得：
∠CAB＝∠E＝45°，
∴∠BAD＝∠CAB+∠CAE＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝1，
∴AD＝ ，
故答案为：.
【分析】连接BD，由旋转的性质求出CD长，根据勾股定理求出BD长，然后由旋转的性质求出∠BAD=90°，再利用勾股定理求AD长即可.
16．（2022八下·镇平县期中）如图，已知OD为等边△OAC的高，顶点，，若△OAC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，D点坐标为 .
【答案】（-1，-1）
【知识点】图形的旋转；探索数与式的规律；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：每秒旋转45°，则第60秒时旋转，
∴（周），
∴OD绕点O逆时针旋转了7.5周，
∵，
∴旋转后点D在第三象限，点D（，）.
故答案为：（-1，-1）.
【分析】根据每秒旋转的度数可得OD绕点O逆时针旋转了7.5周，然后结合点D的坐标可得旋转后对应的坐标.
17．（2021八下·临邑期末）旋转变换在几何证明或计算中有很重要的应用，利用旋转解决问题：如图，P为正方形 内一点， ， ， ，则 ．
【答案】135°
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将 绕点 顺时针方向旋转90°得 ，如图，
则 且 ，
∴ ，
∴
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案是：135°．
【分析】将 绕点 顺时针方向旋转90°得 ，得出 且 ，根据勾股定理得出PE的值，由 是等腰直角三角形，得出，从而得出 的度数。
18．（2022八下·漳浦期中）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠C=30°，P在边BC上运动，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥PP'于D，
由旋转可得，AP=AP'，∠PAP'=120°，
∴PP'=2PD，∠APD=30°，
当PD最短时，PP'最短，且AD=PA，则PD==PA，
∵P为BC边上一动点，
∴当AP⊥BC时，AP最短，
∵AB=AC=4，∠C=30°，
∴当AP⊥BC时，AP=AC=2，
此时，PP'=2PD=2×PA=2，
故答案为：2.
【分析】过点A作AD⊥PP'于D，由旋转得AP=AP'，∠PAP'=120°，从而得PP'=2PD∠APD=30°，当PD最短时，PP'最短，且AD=PA，则PD==PA，由AP⊥BC时AP最短，求得AP的长，从而得到PD的长，即可求出PP'的最小值.
三、解答题
19．图中的图形均可以由“基本图案”通过变换得到.(填序号)
（1）通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案是 ；
（2）可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案是 ；
（3）既可以由平移变换，也可以由旋转变换得到的图案是 .
【答案】（1）①④
（2）②⑤
（3）③
【知识点】图形的旋转；图形的平移
【解析】【解答】解：（1）通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案是①④，
故答案为：①④；
（2）可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案是②⑤，
故答案为：②⑤；
（3）既可以由平移变换，也可以由旋转变换得到的图案是③，
故答案为：③.
【分析】平移、旋转、轴对称变换都不会改变图形的形状和大小，平移还不会改变图形的方向，旋转和轴对称可以改变图形的方向，据此一一判断得出答案.
20．（2022八下·泾阳期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长．
【答案】解：∵旋转，
∴AD=AB=1，∠BAD=90°，
在Rt△BAD中，
∴.
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质得出AD=AB，∠BAD=90°，然后在Rt△BAD中，根据勾股定理求BD长，即可解答.
21．（2022八下·本溪期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，且，，（本题不必写作图结论）．
( 1 )将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后的，并直接写出点的坐标： ▲ ， ▲ ， ▲ ；
( 2 )画出向下平移6个单位长度后的，并直接写出点的坐标： ▲ ， ▲ ， ▲ ；
【答案】解：(1)如图，即为所作．
A1（-4，2）B1（-2，1）C1（-1，5）
如图，即为所作．
A2；B2；C2
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据点坐标旋转的性质求解即可；
（2）根据点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
22．（2022八下·阜新期末）
（1）如图，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A 得到图形B．再由图形B先 （怎样平移）．再 （怎样旋转）得到图形C（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；
（2）如图，如果点P、P3的坐标分别为（0，0）、（2，1），写出点P2的坐标是 ；
【答案】（1）向上平移4个单位长度；向右平移4个单位长度；绕点P2顺时针旋转90°
（2）（4，4）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）解：在方格纸中通过平移或旋转这两种变换，由图形A向上平移4个单位长度得到图形B；再由图形B先向右平移4个单位长度，再绕点P2顺时针旋转90°得到图形C；故答案为：向上平移4个单位长度；向右平移4个单位长度；绕点P2顺时针旋转90°
（2）解：如图，如果点P、P3的坐标分别为（0，0）、（2，1），则点P3向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，即可得到点P2，∴点P2的坐标是 （4，4）．
【分析】（1）根据平移和旋转的性质求解即可；
（2）根据点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
23．（2022八下·鄄城期末）如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，．
（1）求的大小；
（2）连接DE，若BD=3，CD=5，求AD的长．
【答案】（1）解：∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠ADC=∠E，∠CAB=∠DAE=60°，
∵∠BFD=97°=∠AFE，
∴∠E=180°-97°-60°=23°，
∴∠ADC=∠E=23°；
（2）解：如图，连接DE，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE=60°，AD=DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD=BE=5，
∵∠BDC=7°，∠ADC=23°，∠ADE=60°，
∴∠BDE=90°，
∴，
∴AD=DE=4．
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得AB=AC，∠ADC=∠E，∠CAB=∠DAE=60°，再求出∠E的度数，即可得到∠ADC=∠E=23°；
（2）连接DE，先证明△ACD≌△ABE，可得CD=BE=5，再利用勾股定理求出DE的长，即可得到AD=DE=4。
24．（2022八下·南山期末）如图，在12×12正方形网格中建立直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标依次为：A（0，2），B（－3，5），C（－2，2）．
（1）将△ABC以点A为旋转中心旋转180°，得到，点B、C的对应点分别为点、，请在网格图中画出．
（2）将△ABC平移至，其中点A、B、C的对应点分别为点、、，且点的坐标为（－2，－4），请在图中画出平移后的．
（3）在第（1）、（2）小题基础上，若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为 ．（直接写出答案）
【答案】（1）解：作图如下：
（2）解：作图如下：
（3）(0，-1)
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：(3)根据上述图形可知C1坐标为(2，2)，
∵C1(2，2)和C2(-2，-4)，且C1(2，2)和C2(-2，-4)关于某点中心对称，
∴对称中点的坐标为：，即为：，
故答案为：．
【分析】（1）根据旋转的性质求解即可；
（2）根据平移的性质作图即可；
（3）先求出对称中点的坐标为：，再求点的坐标即可。
25．（2022八下·淮安开学考）探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”.
（1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN＝x，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝ ；（用含x的代数式表示出所有可能的结果）
（3）深入研究：如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒.当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；
【答案】（1）是
（2） 或者 或者
（3）解：依题意有三种情况：
① ∠NPQ=∠NPM，
由∠NPQ=10t， ，
∴ ，
解得t=18(秒)；
②
由∠NPQ=10t， ，
∴ ，
解得t=12(秒)；
③ ∠NPQ=∠NPM
由∠NPQ=10t， ，
∴ ，
解得：t=9(秒)，
故t为18秒或12秒或9秒时，射线PM是∠QPN的“巧分线”.
【知识点】旋转的性质；定义新运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：当OC是角∠AOB的平分线时，
∵∠AOB=2∠AOC，
∴一个角的平分线是这个角的“巧分线”；
故答案为：是；
（2）解：分三种情况，①∵射线PQ是的“巧分线”，
∴∠MPN =2 =x，
∴ = ，
②∵射线PQ是∠MPN 的“巧分线”，
∴∠QPN =2 ，
∵∠QPN+∠QPM=x，
∴3 =x，
∴ = x，
③∵射线PQ是∠MPN 的“巧分线”，
∴2∠QPN =∠QPM ，
∵∠QPN+∠QPM=x，
∴3∠QPN =x，
∴∠QPN = x，
∴∠QPM = x，
∴∠MPQ= 或者 或者 ；
故答案为： 或者 或者 ；
【分析】（1）根据"巧分线定义即可解答；
（2）射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，分①∠MPN =2∠MPQ=x，②∠QPN =2∠MPQ，③2∠QPN =∠QPM ，然后根据角的和差进行解答；
（3）分3种情况，即 ① ∠NPQ=∠NPM，② ， ③ ∠NPQ=∠NPM ，根据旋转的性质分别列出方程求解即可.
1 / 12022-2023学年初数北师大版八年级下册 3.2 图形的旋转 同步必刷题
一、单选题
1．（2022八下·普宁期末）将图中可爱的“小鸭子”图片按逆时针方向旋转90°后得到的图片是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022八下·胶州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，将点A烧原点O逆时针方向旋转得到点B，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022八下·巴州期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC.若点A、D、E在同一条直线上，∠ACB＝22°，则∠ADC＝（ ）
A．57° B．62° C．67° D．72°
4．（2022八下·佛山月考）如图，△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，∠BAC＝50°，则∠DAC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
5．（2022八下·黄冈期中）如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB、CD于E、F两点（BE＞EA），若过EF上异于点O的一点作直线与正方形的一组对边所在的直线分别交于G、H两点，满足GH＝EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条
6．（2022八下·茂名期中）如图，在Rt△ABC中，，，，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在AB边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A．10 B．20 C． D．
7．（2022八下·大田期中）如图，E是正方形ABCD中CD边上的点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转，得到△ABF.下列角中，是旋转角的是（ ）
A．∠DAE B．∠EAB C．∠DAB D．∠DAF
8．（2022八下·南京月考）如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（ ）
A．5 B． C．7 D．7
9．（2022八下·漳浦期中）如图，在中，，，BD是的角平分线，过点D作交BC边于点E.若，则图中阴影部分面积为 （ ）
A．2 B．4 C．3 D．5
10．（2022八下·郑州期中）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
二、填空题
11．（2021八下·青冈期末）如图，在中，，，将绕点O逆时针转得到，则 ．
12．（2022八下·成都月考）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为 .
13．（2021八下·江都期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形边长均为1，将 ABC绕P点逆时针旋转至 ，使点B′恰好落在y轴上，则旋转中心P的坐标是 .
14．（2022八下·晋中期末）如图，一个小孩坐在秋千上，秋千绕点O旋转了86°，小孩的位置也从A点运动到了点，则 度．
15．（2022八下·郑州期中）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，若点A，D，E在同一条直线上，且AB=1，BC=2，则AD的值为 .
16．（2022八下·镇平县期中）如图，已知OD为等边△OAC的高，顶点，，若△OAC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，D点坐标为 .
17．（2021八下·临邑期末）旋转变换在几何证明或计算中有很重要的应用，利用旋转解决问题：如图，P为正方形 内一点， ， ， ，则 ．
18．（2022八下·漳浦期中）如图，在△ABC中，AB=AC=4，∠C=30°，P在边BC上运动，连接AP，将线段AP绕点A顺时针旋转120°至AP′，则线段PP′的最小值为 .
三、解答题
19．图中的图形均可以由“基本图案”通过变换得到.(填序号)
（1）通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案是 ；
（2）可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案是 ；
（3）既可以由平移变换，也可以由旋转变换得到的图案是 .
20．（2022八下·泾阳期末）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，点C和点E是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，求BD的长．
21．（2022八下·本溪期末）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，且，，（本题不必写作图结论）．
( 1 )将以点为旋转中心逆时针旋转，画出旋转后的，并直接写出点的坐标： ▲ ， ▲ ， ▲ ；
( 2 )画出向下平移6个单位长度后的，并直接写出点的坐标： ▲ ， ▲ ， ▲ ；
22．（2022八下·阜新期末）
（1）如图，在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换，由图形A 得到图形B．再由图形B先 （怎样平移）．再 （怎样旋转）得到图形C（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；
（2）如图，如果点P、P3的坐标分别为（0，0）、（2，1），写出点P2的坐标是 ；
23．（2022八下·鄄城期末）如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，．
（1）求的大小；
（2）连接DE，若BD=3，CD=5，求AD的长．
24．（2022八下·南山期末）如图，在12×12正方形网格中建立直角坐标系，每个小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标依次为：A（0，2），B（－3，5），C（－2，2）．
（1）将△ABC以点A为旋转中心旋转180°，得到，点B、C的对应点分别为点、，请在网格图中画出．
（2）将△ABC平移至，其中点A、B、C的对应点分别为点、、，且点的坐标为（－2，－4），请在图中画出平移后的．
（3）在第（1）、（2）小题基础上，若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为 ．（直接写出答案）
25．（2022八下·淮安开学考）探索新知：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线”.
（1）一个角的平分线 这个角的“巧分线”；（填“是”或“不是”）
（2）如图2，若∠MPN＝x，且射线PQ是∠MPN的“巧分线”，则∠MPQ＝ ；（用含x的代数式表示出所有可能的结果）
（3）深入研究：如图2，若∠MPN＝60°，且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当PQ与PN成180°时停止旋转，旋转的时间为t秒.当t为何值时，射线PM是∠QPN的“巧分线”；
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：将图中可爱的“小鸭子”图片按逆时针方向旋转90°后得到的图片是：
故答案为：D
【分析】根据图形的旋转的特征求解即可。
2．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：绕原点逆时针旋转90°的点坐标变换规律：先将横、纵坐标互换位置，再将横坐标变为相反数，
∵A，
∴B，
故答案为：B．
【分析】绕原点逆时针旋转90°的点坐标变换规律：先将横、纵坐标互换位置，再将横坐标变为相反数，据此解答即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：由旋转可得：∠ACB＝∠DCE＝22°，CA＝CE，∠ACE＝90°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴∠E＝45°，
∵∠ADC是△CDE的一个外角，
∴∠ADC＝∠E+∠DCE＝45°+22°＝67°.
故答案为：C.
【分析】由旋转的性质可得：∠ACB＝∠DCE＝22°，CA＝CE，∠ACE＝90°，推出△ACE是等腰直角三角形，得到∠E＝45°，根据外角的性质可得∠ADC＝∠E+∠DCE，据此计算.
4．【答案】A
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，∠BAD＝40°，
∵∠BAC＝50°，
∴∠DAC＝∠BAC-∠BAD＝50°-40°＝10°，
故答案为：A．
【分析】利用旋转的性质可得∠BAD＝40°，再利用角的运算求出∠DAC的度数即可。
5．【答案】C
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据对称性以及旋转变换的性质可知满足条件的线段有3条，如图所示；
故答案为：C
【分析】利用旋转的性质可知当GH⊥EF时，再利用轴对称性，可得到其它满足条件的两条直线，即可得到这样的直线GH（不同于直线EF）的条数.
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接BB′，
将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到，则∠BCB′=∠ACA′，CB=CB′，CA=CA′，
∵∠A=60°，
∴△ACA′是等边三角形，
∴∠ACA′=60°，
∴∠BCB′=60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴BB′=BC，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，则AB=2AC=20，
∴，
∴BB′=，
故答案为：D
【分析】连接BB′，先证明△BCB′是等边三角形，可得BB′=BC，求出AB=2AC=20，再利用勾股定理求出BC的长，即可得到BB′=。
7．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：由题意得：旋转角为∠DAB或∠EAF，
故答案为：C.
【分析】根据旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角，即可得出∠DAB或∠EAF为旋转角，即可得出正确答案.
8．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，将绕点D顺时针旋转90°得到
由旋转的性质可知：，，
∴是等腰直角三角形，
∴根据勾股定理，
∴，
∴当的值最大时，的值最大，
∵，，
∴，
∴的最大值为，
∴的最大值为.
故答案为：C.
【分析】将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM，由旋转的性质可知AB=CM=4，DA=DM，∠ADM=90°，推出△ADM是等腰直角三角形，根据勾股定理可得AD=AM，根据两点之间，线段最短的性质可得当A、C、M共线时，AC+CM取得最小值，为AM，据此计算.
9．【答案】B
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，BD是的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∵，
∴∠BDE=90°，
∴∠CBD=∠DEB=45°，
∴BD=DE，
将△DEC绕点D顺时针旋转90°得到△DBT.
∴∠DEC=∠DBT=135°，
∴∠ABD+∠DBT=180°，
∴A，B，T共线，
∵AC=6，AD=2，
∴DC=DT=4，
∴图中阴影部分的面积.
故答案为：B.
【分析】由角平分线定义及∠ABC为90°得∠ABD=∠CBD=45°，由∠BDE=90°得∠CBD=∠DEB=45°，从而得到BD=DE，再将△DEC绕点D顺时针旋转90°得到△DBT，可得∠DEC=∠DBT=135°，从而得到∠ABD+∠DBT=180°，即得A，B，T共线，再根据AC=6，AD=2，即可求得DC=DT=4，最后根据三角形面积公式，代入数据计算即可求解.
10．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：连接FC，PC，
由图可知， ，且，
连接EC，RC，
由图可知， ，且，
连接GC，QC，
由图可知， ，且，
故点C为旋转中心，
故答案为：C.
【分析】分别将两个三角形的三个顶点与A、B，C，D相连，判断连线是否长度相等，围成角度是否相等，如果都相等则是旋转中心.
11．【答案】70°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，
∴∠A1OA＝100°，
∴∠A1OB＝∠A1OA﹣∠AOB＝100°﹣30°＝70°．
故答案为70°．
【分析】根据旋转的性质先求出∠A1OA＝100°，再计算求解即可。
12．【答案】36°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：
将绕点旋转到的位置
，
故答案为：.
【分析】由平行线的性质可得∠C′CA=∠CAB=72°，根据旋转的性质可得AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，由等腰三角形的性质可得∠ACC′=∠AC′C，然后结合内角和定理进行计算.
13．【答案】（1，-1）
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由图形可知，
对应点的连线CC′，AA′的垂直平分线的交点是点（1，-1），
根据旋转变换的性质，点（1，-1）即为旋转中心.
故旋转中心坐标是P（1，-1）.
故答案为：（1，-1）
【分析】根据旋转的性质，可知对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可.
14．【答案】47
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵秋千旋转了86°，小艾同学的位置也从A点运动到了A'点，
∴
∴
故答案为：47．
【分析】由旋转的性质可得根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理的度数即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
由旋转得：
BC＝CD＝2，∠BCD＝90°，
∴BD＝，
由旋转得：
CA＝CE，∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠E＝45°，
由旋转得：
∠CAB＝∠E＝45°，
∴∠BAD＝∠CAB+∠CAE＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝1，
∴AD＝ ，
故答案为：.
【分析】连接BD，由旋转的性质求出CD长，根据勾股定理求出BD长，然后由旋转的性质求出∠BAD=90°，再利用勾股定理求AD长即可.
16．【答案】（-1，-1）
【知识点】图形的旋转；探索数与式的规律；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：每秒旋转45°，则第60秒时旋转，
∴（周），
∴OD绕点O逆时针旋转了7.5周，
∵，
∴旋转后点D在第三象限，点D（，）.
故答案为：（-1，-1）.
【分析】根据每秒旋转的度数可得OD绕点O逆时针旋转了7.5周，然后结合点D的坐标可得旋转后对应的坐标.
17．【答案】135°
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将 绕点 顺时针方向旋转90°得 ，如图，
则 且 ，
∴ ，
∴
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案是：135°．
【分析】将 绕点 顺时针方向旋转90°得 ，得出 且 ，根据勾股定理得出PE的值，由 是等腰直角三角形，得出，从而得出 的度数。
18．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AD⊥PP'于D，
由旋转可得，AP=AP'，∠PAP'=120°，
∴PP'=2PD，∠APD=30°，
当PD最短时，PP'最短，且AD=PA，则PD==PA，
∵P为BC边上一动点，
∴当AP⊥BC时，AP最短，
∵AB=AC=4，∠C=30°，
∴当AP⊥BC时，AP=AC=2，
此时，PP'=2PD=2×PA=2，
故答案为：2.
【分析】过点A作AD⊥PP'于D，由旋转得AP=AP'，∠PAP'=120°，从而得PP'=2PD∠APD=30°，当PD最短时，PP'最短，且AD=PA，则PD==PA，由AP⊥BC时AP最短，求得AP的长，从而得到PD的长，即可求出PP'的最小值.
19．【答案】（1）①④
（2）②⑤
（3）③
【知识点】图形的旋转；图形的平移
【解析】【解答】解：（1）通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案是①④，
故答案为：①④；
（2）可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案是②⑤，
故答案为：②⑤；
（3）既可以由平移变换，也可以由旋转变换得到的图案是③，
故答案为：③.
【分析】平移、旋转、轴对称变换都不会改变图形的形状和大小，平移还不会改变图形的方向，旋转和轴对称可以改变图形的方向，据此一一判断得出答案.
20．【答案】解：∵旋转，
∴AD=AB=1，∠BAD=90°，
在Rt△BAD中，
∴.
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】根据旋转的性质得出AD=AB，∠BAD=90°，然后在Rt△BAD中，根据勾股定理求BD长，即可解答.
21．【答案】解：(1)如图，即为所作．
A1（-4，2）B1（-2，1）C1（-1，5）
如图，即为所作．
A2；B2；C2
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据点坐标旋转的性质求解即可；
（2）根据点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
22．【答案】（1）向上平移4个单位长度；向右平移4个单位长度；绕点P2顺时针旋转90°
（2）（4，4）
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）解：在方格纸中通过平移或旋转这两种变换，由图形A向上平移4个单位长度得到图形B；再由图形B先向右平移4个单位长度，再绕点P2顺时针旋转90°得到图形C；故答案为：向上平移4个单位长度；向右平移4个单位长度；绕点P2顺时针旋转90°
（2）解：如图，如果点P、P3的坐标分别为（0，0）、（2，1），则点P3向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，即可得到点P2，∴点P2的坐标是 （4，4）．
【分析】（1）根据平移和旋转的性质求解即可；
（2）根据点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
23．【答案】（1）解：∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠ADC=∠E，∠CAB=∠DAE=60°，
∵∠BFD=97°=∠AFE，
∴∠E=180°-97°-60°=23°，
∴∠ADC=∠E=23°；
（2）解：如图，连接DE，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE=60°，AD=DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD=BE=5，
∵∠BDC=7°，∠ADC=23°，∠ADE=60°，
∴∠BDE=90°，
∴，
∴AD=DE=4．
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得AB=AC，∠ADC=∠E，∠CAB=∠DAE=60°，再求出∠E的度数，即可得到∠ADC=∠E=23°；
（2）连接DE，先证明△ACD≌△ABE，可得CD=BE=5，再利用勾股定理求出DE的长，即可得到AD=DE=4。
24．【答案】（1）解：作图如下：
（2）解：作图如下：
（3）(0，-1)
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：(3)根据上述图形可知C1坐标为(2，2)，
∵C1(2，2)和C2(-2，-4)，且C1(2，2)和C2(-2，-4)关于某点中心对称，
∴对称中点的坐标为：，即为：，
故答案为：．
【分析】（1）根据旋转的性质求解即可；
（2）根据平移的性质作图即可；
（3）先求出对称中点的坐标为：，再求点的坐标即可。
25．【答案】（1）是
（2） 或者 或者
（3）解：依题意有三种情况：
① ∠NPQ=∠NPM，
由∠NPQ=10t， ，
∴ ，
解得t=18(秒)；
②
由∠NPQ=10t， ，
∴ ，
解得t=12(秒)；
③ ∠NPQ=∠NPM
由∠NPQ=10t， ，
∴ ，
解得：t=9(秒)，
故t为18秒或12秒或9秒时，射线PM是∠QPN的“巧分线”.
【知识点】旋转的性质；定义新运算；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：当OC是角∠AOB的平分线时，
∵∠AOB=2∠AOC，
∴一个角的平分线是这个角的“巧分线”；
故答案为：是；
（2）解：分三种情况，①∵射线PQ是的“巧分线”，
∴∠MPN =2 =x，
∴ = ，
②∵射线PQ是∠MPN 的“巧分线”，
∴∠QPN =2 ，
∵∠QPN+∠QPM=x，
∴3 =x，
∴ = x，
③∵射线PQ是∠MPN 的“巧分线”，
∴2∠QPN =∠QPM ，
∵∠QPN+∠QPM=x，
∴3∠QPN =x，
∴∠QPN = x，
∴∠QPM = x，
∴∠MPQ= 或者 或者 ；
故答案为： 或者 或者 ；
【分析】（1）根据"巧分线定义即可解答；
（2）射线PQ是∠MPN的“巧分线”时，分①∠MPN =2∠MPQ=x，②∠QPN =2∠MPQ，③2∠QPN =∠QPM ，然后根据角的和差进行解答；
（3）分3种情况，即 ① ∠NPQ=∠NPM，② ， ③ ∠NPQ=∠NPM ，根据旋转的性质分别列出方程求解即可.
1 / 1
