第四单元《相交线与平行线》单元测试卷（困难）（含解析）

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湘教版初中数学七年级下册第四单元《相交线与平行线》单元测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第四单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若整数是关于的方程的负整数解，且是四条直线在平面内交点的个数，则满足条件的所有的个数为( )
A. B. C. D.
2. 如图，在中，，为上一点，，交于点，是上的一个动点，要使最小，则点应该满足( )
A. B.
C. D.
3. 在同一平面内，直线，相交于点，且，则直线和的关系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 以上都有可能
4. 如图，每个小正方形的边长均为个单位长度，把图中的一个直角三角形先横向平移个单位长度，再纵向平移个单位长度，可以与另一个直角三角形拼合成一些不同的四边形，那么移动的总数( )
A. 是一个定值 B. 有两个不同的值
C. 有三个不同的值 D. 有三个以上不同的值
5. 如图，沿方向平移后的图像为，已知，，则平移的距离是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，，，将沿直线方向平移个单位得到，与相交于点，连接，，则下列结论：≌；为等腰三角形；平分；四边形的面积为其中正确的个数是( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 如图，与互为同旁内角的角共有个．
A. B. C. D.
8. 观察如图所示的长方体，与棱平行的棱有几条( )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，，，，则与的数量关系是( )
A. B.
C. D.
10. 下列说法，其中正确的有
两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交
平面内的三条直线没有两条是平行的，则它们一定有三个交点
已知三条直线、、，其中，，那么
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11. 如图，，垂足为，则以下结论：与互相垂直；与互相垂直；点到的垂线段是线段；线段的长度是点到的距离；线段是点到的距离，正确的个数为：
A. B. C. D.
12. 在同一平面内有条直线，，，，如果，，，，，依此类推，那么与的位置关系是( )
A. 垂直 B. 平行 C. 垂直或平行 D. 重合
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 对于同一平面内的直线、、，如果与平行，与平行，那么与的位置关系是______．
14. 学校决定修建一块长方形草坪，长为米，宽为米，并在草坪上修建如图所示的十字路，已知十字路宽米，则草坪的面积是________平方米．
15. 大正方形的边长为厘米，小正方形的边长为厘米，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以厘米秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为秒，两个正方形重叠部分的面积为平方厘米．当时，小正方形平移的时间为 秒．
16. 如图，已知，为锐角，，点从点不与重合出发，沿射线的方向移动，交直线于点，交于点，，垂足为不与重合，若，则的度数为______度．用来表示
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
请在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，使得，两点的坐标分别为，，请画出坐标轴和原点；
在的条件下，过点作轴的垂线，垂足为点，在的延长线上截取．
写出点的坐标；
平移线段使点移动到点，画出平移后的线段，并直接写出点的坐标．
轴上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18. 本小题分
同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
如图，若，点在、内部，请写出、B、之间的数量关系不必说明理由
如图，将直线绕点逆时针方向转一定角度交直线于点，利用中的结论求、、D、之间有何数量关系并证明你的结论
如图，设交于点，交于点已知，，利用中的结论直接写出的度数和比大多少度．
19. 本小题分
如图，已知，垂足为，，垂足为，，平分，平分．
求的度数
求证：
试判断与之间的数量关系，并说明理由．
20. 本小题分
已知：如图，．
求证：；
若，求的度数．
21. 本小题分
如图，于点，于点，请问：平分吗？若平分，请说明理由．
22. 本小题分
对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：为图形上任意一点，如果两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为点与图形间的开距离，记作．
已知直线与轴交于点，与轴交于点的半径为
若，
求的值
若点在直线上，求的最小值
以点为中心，将线段顺时针旋转得到，点在线段组成的图形上，若对于任意点，总有，直接写出的取值范围．
23. 本小题分
如图，已知，点，是分别是直线，上的一点且．
填空：____；
如图所示，射线绕点从开始顺时针旋转至便立即回转至位置，转动的速度是每秒度在这个运动过程中，何时射线与线段的夹角为？
如图所示，射线绕点从开始顺时针旋转至便立即回转至位置，射线绕点从开始逆时针旋转至若转动的速度是每秒度，转动的速度是每秒度，射线先运动秒，设射线的运动时间为，当为何值时，射线与射线互相垂直？
24. 本小题分
在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点变换为点，点、分别是、的对应点．
请画出平移后的，并求的面积_____________；
若连接、，则这两条线段之间的关系是_________________；
点为方格纸上的格点异于点，若，则图中的格点共有_________个．
25. 本小题分
将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图方式叠放在一起其中，，；：
若，则的度数为____．
若，则的度数为______．
由猜想与的数量关系，并说明理由．
当且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出角度所有可能的值不必说明理由；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当四条直线平行时，无交点，
当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点，
当两两直线平行时，有个交点，
当有两条直线平行，而另两条不平行时，有个交点，
当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有个交点，
当四条直线同交于一点时，只有一个交点，
当四条直线两两相交，且不过同一点时，有个交点，
故四条直线在平面内交点的个数是或或或或或；
解方程得，
是负整数，是整数，
或或或或或，
解得或或或或或．
综上所述，或或或，满足条件的所有的个数为．
故选：．
从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出四条直线在平面内交点的个数；解方程，得，根据题意是负整数，是整数，所以或或或或或，解出的值即可解决问题．
本题考查了平行线与相交线的位置关系，没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案．同时考查了解一元一次方程，含有参数的方程在解方程过程中要把参数也看成“数”处理，避免与未知数“”搞混．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查轴对称中的最短路线问题，解题的关键是学会利用轴对称解决最短路线问题。如图，作点关于直线的对称点，连接交于，由对称知：，，两点之间线段最短，此时的值最小。
【解答】
解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于。
由对称知：
，此时的值最小。
由对称性可知：
最小时，点应该满足
故选D。
3.【答案】
【解析】由平行线的基本事实可得，直线和不可能平行，否则过点有两条直线与直线平行，又直线和不可能重合，所以直线和必定相交，故选B．
4.【答案】
【解析】当两斜边重合时，可以组成一个长方形，此时，，则
当两直角边重合时，有两种情况：
短直角边重合，此时，，则
长直角边重合，此时，，则．
综上，或或故选C．
5.【答案】
【解析】解：点平移后对应点是点．
线段就是平移距离，
已知，，
．
故选：．
利用平移的性质，找对应点，对应点间的距离就是平移的距离．
考查图形平移性质，关键找到平移前后的对应点．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平移的性质：平移前后的图形是全等形，即平移后的图形与原图形的形状和大小完全相同；连接各组对应点的线段平行且相等．同时也考查了勾股定理的运用．
【解答】
解：在中，由勾股定理得：
沿直线向右平移个单位得到，
，
，，
，
，，所以正确；
，
，所以正确；
又
，即平分，所以正确；
，所以正确．
故选．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了对同旁内角的定义的理解和运用，关键是能找出符合条件的所有情况，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
根据和被所截得出，根据和被所截得出，根据和被所截得出，即可得出答案．
【解答】
解：与互为同旁内角的是：、、、共个，
故选C．
8.【答案】
【解析】解：图中与平行的棱有；、、共有条．
故选：．
根据长方体即平行线的性质解答．
本题考查了平行线的定义、长方体的性质．一个长方形的两条对边平行．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平行线的判定与性质．
先分别过点，作，，得，设，，表示出与， 进而得解．
【解答】
解：如图
分别过点，作，，
设，，则，，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
故选D．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平行线的性质，相交线，平行线的判定方法对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别根据平行线的性质，相交线的定义，平行线的判定方法逐一判断即可．
【解答】
解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故正确；
平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故正确；
平面内的三条直线没有两条是平行的，则它们一定有三个交点，错误，可能相交于一点，故错误；
已知三条直线、、，其中，，那么，根据同垂直于一条直线的两条直线平行可知正确．
所以均正确．
故选C．

11.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了垂直的定义，点到直线的距离关键是注意点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线逐项进行分析解答即可．
【解答】
解：与互相垂直，说法正确
与互相垂直，说法错误
点到的垂线段是线段，说法错误，应该是
线段的长度是点到的距离，说法正确
线段是点到的距离，说法错误，应该是线段的长度是点到的距离
所以正确的有共有个．
故选B．
12.【答案】
【解析】解：，，，，，
，，，
以四次为一个循环，，，，
规律：下标除以余数为或垂直，下标除以余数为或平行，
的余数为，
，
所以直线与的位置关系是：．
故选A．
根据观察发现规律，以四次为一个循环，，，，，根据此规律即可解决问题．
本题考查了平行线的判定、规律探究题目，解题的关键是发现规律，以四次为一个循环，，，，．
13.【答案】平行
【解析】解：如果与平行，与平行，那么与平行，
故答案为：平行．
根据平行于同一条直线的两直线也平行可得答案．
此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理的推论．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此类题注意通过平移进行整体计算较为简便，熟练进行多项式的乘法计算．可以将四块草坪平移到一块儿整体计算．组成了一个矩形：矩形的长是，矩形的宽是根据矩形的面积公式计算．
【解答】
解：如图所示，将四块草坪平移到一块儿整体计算；
草坪的面积．
故答案为．

15.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了平移的性质，主要利用了长方形的面积，难点在于分两种情况解答．
先求出重叠部分长方形的宽，再分重叠部分在大正方形的左边和右边两种情况讨论求解．
【解答】
解：当时，重叠部分长方形的宽，
重叠部分在大正方形的左边时，秒，
重叠部分在大正方形的右边时，秒，
综上所述，小正方形平移的时间为或秒．
故答案为或．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【解答】
解：过作于，如图，
当点在延长线上时，点在线段上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
过作于，如图，当点在线段上时，点在延长线上，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的度数为或，
故答案为或．
17.【答案】解：如图所示即为所求；
；
；
存在，或．
【解析】根据，，即可画出坐标轴和原点；
根据网格即可写出点的坐标；
根据平移的性质即可平移线段使点移动到点，进而可以画出平移后的线段，写出点的坐标；
根据，即可写出点的坐标．
本题考查了作图平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质．
18.【答案】解：、B、之间的数量关系是：．
过点作，如图，
，
，
，，
；
结论：．
证明：如图，作，由，
，
由的结论可知：，
即，
，
，
；
，
，
由的结论可得：；
，
由的结论可得：，
，
，
得：．
答：的度数为；比大．
【解析】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，邻补角的定义，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
过点作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据即可得解；
结论：作，则，由的结论可知：，再证明，即可得出结论；
依据中的结论可得；再由，把两式相减即可得出比大．
19.【答案】解：，
，
平分，
；
，垂足为，，垂足为，
，
，
，
，
；
，
理由：设，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
根据平角的定义和角平分线的定义即可得到结论；
根据已知条件得到，由平行线的性质得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；
根据平分，平分，得到，，于是得到，根据平行线的性质得到，等量代换即可得到结论．
20.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
；
解：，，
，
，
即，解得，
，
，
，
，
．

【解析】本题考查了平行线的判定与性质：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
根据平行线的性质，由得到，则利用三角形外角性质得，加上，则，利用得到，然后根据平行线的判定即可得到结论；
利用，，再根据三角形内角和定理可计算出，则，然后根据平行线的性质由得到，再由得到．
21.【答案】解：平分．理由：
于，于，已知
，垂直的定义
，同位角相等，两直线平行
，两直线平行，内错角相等
，两直线平行，同位角相等
又已知
等量代换
平分角平分线的定义．
【解析】利用平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，得到，再利用平行线的性质和已知条件求出即可．
本题的关键是灵活应用平行线的性质及角平分线的定义，应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
22.【答案】解：如图，
，
，
；
过点作于，此时，直线上的点到点的距离最小，即取最小值，
直线与轴交于点，
令，则，
，
，
，
令，则，
，
，
根据勾股定理得，，
，
，
的最小值为
Ⅰ、当时，如图，
针对于直线，
令，则，
，
，
令，则，
，
，
，
则，，
，
由旋转知，，，
，
连接，
，
的半径为，
当线段与相切时，，
同的方法得，，
舍去负值，
对于任意点，总有，
，
，
即
Ⅱ、当时，如图，
同Ⅰ的方法得，，
综上述，或．
【解析】此题是考查了圆的综合题，主要考查了圆的性质，点到直线的距离，圆外一点到圆上一点的最大距离的求法，找出分界点是解本题的关键．
直接利用圆外一点到圆上的一点的最大距离，即可得出结论；
先判断出时，最短，即可得出结论；
Ⅰ、当时，当直线与相切时，最小，当点恰好在点时，最大，即可得出结论；
Ⅱ、当时，同Ⅰ的方法即可得结论．
23.【答案】解：；
当射线顺时针运动到左侧且夹角为时，射线运动了，运动时间为
当射线顺时针运动到右侧且夹角为时，射线运动了，运动时间为；
当射线顺时针运动到返回与右侧夹角为时，射线运动了，运动时间为；
当射线顺时针运动到返回与左侧侧夹角为时，射线运动了，时间为；
当射线顺时针运动到前，射线顺时针运动到左侧且，此时，
如图， ， ，
，，
，
，
；
当射线顺时针运动到前，射线顺时针运动到右侧且，此时：
如图，，
，
，
，
不成立；
当射线顺时针运动到后，立马返回到右侧的过程中，此时，，
， ，
，
，
，
舍；
当射线顺时针运动到后返回到左侧，射线与射线不相交；
综上所述： ．

【解析】本题主要考查了角的计算，垂直的判定等知识点，掌握好分类讨论的思想是解题的关键．
根据，，即可得出结果；
从几个方面讨论即可得出结果；
从四个方面讨论，便可得出结果．
【解答】
解：，，
，
故答案为；
见答案；
见答案．
24.【答案】解：如图所示：
个平方单位；
，且；
．
【解析】
【分析】
本题主要考查平移变换、平行线间的距离处处相等，掌握平移的性质是解题的关键．
连结，利用平移的性质，确定平移的方向和距离，确定出点，的对应点，，顺次连结，，即可．
由平移的性质可知，对应点的所连线段相等且平行或在同一直线上，即可得出，两条线段的关系．
因为两三角形公共一条边，当两三角形面积相等时，点到直线的距离与点到直线的距离相等，所以根据平行线间的距离处处相等，先作点关于的对称点，然后分别过这两点作的平行线，这两条线通过的格点即为点．
【解答】
解：连结，确定平移的方向和距离，从而分别确定，的对应点，，顺次连结，，，即可得到，见答案．
与面积相等，
画图如下：
故答案为：．
根据平移的性质可知，对应点所连线段相等且相互平行或在同一直线上，图中，不在同一直线上，
且．
故答案为：且．
与公共一条边，
当两三角形面积相等时，点到直线的距离与点到直线的距离相等，
根据平行线间的距离处处相等，先作点关于的对称点，然后分别过这两点作的平行线，这两条线通过的格点即为点．
画图如下，从图中可知，满足题意的有，，，四个点．
故答案为：．

25.【答案】解：；
；
与的数量关系是：．
理由：，
；
存在，当时，，理由如下，如图所示：
，，
，
；
当时，，理由如下，如图所示：
，
；
当时，，理由如下，如图所示：
，
，
又，
，
；
当时，，理由如下，如图所示：
，
，
，
，
；
当时，理由如下：
延长交于，如图所示：
，
，
，
，
，
，
．
故当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，．

【解析】
【分析】
本题主要考查角的计算，互余的性质，平行线的判定以及分类讨论的思想关键是理清图中角的和差关系．
首先计算出的度数，再用即可求出的度数；
首先计算出的度数，再计算出即可；
根据中的计算结果可得，再根据图中的角的和差关系进行推理即可；
根据平行线的判定方法可得．
【解答】
解：由互余，
由角的和差得．
故答案为；
，，
，
．
故答案为；
见答案；
见答案．
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