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9.5 多项式的因式分解
9.5.2 利用平方差公式因式分解
知识总结：
1.用平方差公式分解因式：____.即：两个数的平方差等于这两个数的__和___与这两个数的__差___的积。
2.能用平方差公式分解因式的多项式具有的特点：该多项式可以写成的形式，其中可以是_单项式__也可以是_多项式_.
基础练习
1.分解因式 1－4m2 的结果是( B )
A.(1－4m)(1＋4m) B.(1－2m)(1＋2m) C.(1－2m)2 D.(1＋2m)2
2.分解下列各式因式，结果为(3a＋2b)(3a－2b)的是( A )
A.9a2－4b2 B.9a2－2b2＋6ab C.4a2－9b2 D.3a2＋2b2－6ab
3.若多项式x2＋m能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么m的值可以为( A )
A.－4 B.0 C.9 D.－5
4.分解因式：(1)x2y2－4＝__xy＋2)(xy－2)___； (2)25a2b2＝___（5a＋)(5a)___.
5.下面是小明同学对多项式x2－4y2＋2x－4y进行因式分解的过程.请将过程补充完整，并在过程旁边，写出该步骤对应运用的因式分解方法.
x2－4y2＋2x－4y
＝(x2－4y2)＋(2x－4y)
＝(x－2y)(__x＋2y__)＋2(x－2y) ……( 平方差公式与提公因式法 )
＝（x－2y)(_x＋2y＋2_). ……( 提公因式法 )
6.把下列各式分解因式：
(1)(x－3)2－25； (2)(m＋1)(m－9)＋8m
(3)x4－16； (4)(a－b＋c)－(a＋b＋c).
解：(1)原式＝[(x－3)＋5][(x－3)－5]＝(x＋2)(x－8)；
(2)原式＝m2－9m＋m－9＋8m＝m2－9＝(m＋3)(m－3)；
(3)原式＝(x2＋4)(x2－4)＝(x2＋4)(x＋2)(x－2)；
(4)原式＝(a－b＋c＋a＋b＋c)(a－b＋c－a－b－c)＝(2a＋2c)(－2b)＝－4b(a＋c).
7.计算：20232－20222＝__4045___.
8.如图，是一张直径为D的圆形纸片，纸片上被剪掉了4个直径为d的小圆，小刚通过测量得D＝18，
d＝6，他想知道余下纸片的面积以计算纸片的利用率，请用因式分解的知识计算余下纸片的面积.
解：余下纸片的面积＝＝
＝＝π×(9＋6)×(9－6)＝45π.
9.分解因式：m2(m－n)－49(m－n).
解：原式＝(m－n)(m2－49)＝(m－n)(m＋7)(m－7).
综合拓展
10.已知a＋b＝4，a－b＝2，则a2－b2的值为( D )
A.2 B.3 C.6 D.8
11.设m＝4044，n＝20232－20222，那么m，n的大小关系为( B )
A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.无法比较
12.△ABC的三边长a，b，c满足(a＋b)2－c2＝24，且a＋b－c＝3，则△ABC的周长为___8__.
13.分解因式：(m2－7)2－4 .
解：原式＝(m2－7－2)(m2－7＋2)＝(m2－9)(m2－5)＝(m－3)(m＋3)(m2－5).
14.已知｜m＋3n－3｜＋(3m＋n＋2)2＝0，求整式4(m＋n)2－(m－n)2的值.
解：4(m＋n)2－(m－n)2
＝[2(m＋n)＋(m－n)]·[2(m＋n)－(m－n)]
＝(2m＋2n＋m－n)·(2m＋2n－m＋n)
＝(3m＋n)·(m＋3n)，
因为｜m＋3n－3｜＋(3m＋n＋2)2＝0，所以m＋3n－3＝0.3m＋n＋2＝0，
所以m＋3n＝3，3m＋n＝－2，所以原式＝－2×3＝－6.
15. 312－1可以被20和30之间的整数整除，求这个数.
解：原式＝312－1＝(36－1)(36＋1)＝(33－1)(33＋1)(36＋1)
因为33－1＝26，33＋1＝28，所以这个数是26或28.
16.(阅读理解题)在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，
例如：12＝42－22，20＝62－42，28＝82－62，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”.
(1)36_是__“智慧数”；(填“是”或“不是”)；
(2)设两个连续偶数是2n和2n＋2(其中n取正整数)，由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？为什么？
(3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为100，求阴影部分的面积.
.解：(2)由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数，
理由：因为(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝(4n＋2)·2＝8n＋4＝4(2n＋1)，
所以由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数；
(3)＝1002－982＋962－942＋922－902＋…＋82－62＋42－22
＝(100＋98)(100－98)＋(96＋94)(96－94)＋(92＋90)(92－90)＋…＋(8＋6)(8－6)＋(4＋2)(4－2)
＝(100＋98＋96＋…＋4＋2)×2
＝×2
＝5100.
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9.5 多项式的因式分解
9.5.2 利用平方差公式因式分解
知识总结：
1.用平方差公式分解因式：_______________.即：两个数的平方差等于这两个数的________与这两个数的___________的积。
2.能用平方差公式分解因式的多项式具有的特点：该多项式可以写成的形式，其中可以是__________也可以是___________.
基础练习
1.分解因式 1－4m2 的结果是( )
A.(1－4m)(1＋4m) B.(1－2m)(1＋2m) C.(1－2m)2 D.(1＋2m)2
2.分解下列各式因式，结果为(3a＋2b)(3a－2b)的是( )
A.9a2－4b2 B.9a2－2b2＋6ab C.4a2－9b2 D.3a2＋2b2－6ab
3.若多项式x2＋m能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么m的值可以为( )
A.－4 B.0 C.9 D.－5
4.分解因式：(1)x2y2－4＝_________________； (2)25a2b2＝__________________.
5.下面是小明同学对多项式x2－4y2＋2x－4y进行因式分解的过程.请将过程补充完整，并在过程旁边，写出该步骤对应运用的因式分解方法.
x2－4y2＋2x－4y
＝(x2－4y2)＋(2x－4y)
＝(x－2y)(_______)＋2(x－2y) ……( )
＝（x－2y)(_______). ……( )
6.把下列各式分解因式：
(1)(x－3)2－25； (2)(m＋1)(m－9)＋8m；
(3)x4－16； (4)(a－b＋c)－(a＋b＋c).
7.计算：20232－20222＝_________________
8.如图，是一张直径为D的圆形纸片，纸片上被剪掉了4个直径为d的小圆，小刚通过测量得D＝18，
d＝6，他想知道余下纸片的面积以计算纸片的利用率，请用因式分解的知识计算余下纸片的面积.
9.分解因式：m2(m－n)－49(m－n).
综合拓展
10.已知a＋b＝4，a－b＝2，则a2－b2的值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
11.设m＝4044，n＝20232－20222，那么m，n的大小关系为( )
A.m＞n B.m＜n C.m＝n D.无法比较
12.△ABC的三边长a，b，c满足(a＋b)2－c2＝24，且a＋b－c＝3，则△ABC的周长为__________.
13.分解因式：(m2－7)2－4 .
14.已知｜m＋3n－3｜＋(3m＋n＋2)2＝0，求整式4(m＋n)2－(m－n)2的值.
15. 312－1可以被20和30之间的整数整除，求这个数.
16.(阅读理解题)在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，比如：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，
例如：12＝42－22，20＝62－42，28＝82－62，我们称12，20，28这三个数为“智慧数”.
(1)36__________“智慧数”；(填“是”或“不是”)；
(2)设两个连续偶数是2n和2n＋2(其中n取正整数)，由这两个连续偶数构造的“智慧数”是4的倍数吗？为什么？
(3)如图，拼叠的正方形边长是从2开始的连续偶数…，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为100，求阴影部分的面积.
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