湘教版初中数学七年级下册期末测试卷（困难）（含解析）

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湘教版初中数学七年级下册期末测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：全册；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 小杨在商店购买了件甲种商品，件乙种商品，共用元，已知甲种商品每件元，乙种商品每件元，那么的最大值是
( )
A. B. C. D.
2. 商家常将单价不同的、两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：、两种糖的总价与、两种糖的总质量的比现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的种糖和种糖混合而成的“什锦糖甲，另一种是由相同金额数的种糖和种糖混合而成的“什锦糖乙若种糖比种糖的单价贵元千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵元千克，则种糖的单价为( )
A. 元千克 B. 元千克 C. 元千克 D. 元千克
3. 已知实数、、满足，则的最大值是( )
A. B. C. D.
4. 设，是实数，定义@的一种运算如下：@ ，则下列结论：若@，则或；@@@不存在实数，，满足@；设，是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当时，@最大其中正确的是 ( )
A. B. C. D.
5. 设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
6. 因式分解的最后结果是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，，则；如图，，则；如图，，则；如图，，则以上结论正确的是( )
A. B. C. D.
8. 已知：如图，，则，，之间的关系是( )
A. B.
C. D.
9. 下列图形中，对称轴的总条数是：( )
A. B. C. D.
10. 如图，在中，，，，将绕点按顺时针方向旋转得到，过点作，垂足为点，当时，的长为( )
A. B. C. D.
11. 下列说法正确的是( )
A. 为了了解一本书页的书稿中错别字的个数，应采用普查的调查方式进行；
B. 为了了解我市今年夏季冷饮市场冰激凌的质量可采用普查的调查方式进行；
C. 销售某种品牌的鞋，销售商最感兴趣的是所销售的鞋的尺码的平均数；
D. 为了了解我市九年级学生中考数学成绩，从所有考生的试卷中抽取份试卷进行统计分析，在这个问题中，样本是被抽取的名学生；
12. 如下图是根据某班名同学一周的体育锻炼情况绘制的统计图，该班名同学一周参加体育锻炼时间的中位数，众数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 年是中国农历癸卯兔年。某商场推出“鸿福兔”、“吉祥兔”两种限量礼盒，每种礼盒均装有紫色、白色、红色三种颜色的兔公仔，每一种礼盒的成本是该礼盒中所有兔公仔的成本之和包装费用不计其中，“鸿福兔”礼盒分别装有个紫色，个白色，个红色兔公仔，“吉祥兔”礼盒分别装有个紫色，个白色，个红色兔公仔．每个“鸿福兔”礼盒中所有兔公仔的成本之和为个紫色兔公仔的倍，每个“吉祥兔”礼盒的利润率为，且每个“吉祥兔”礼盒的售价比每个“鸿福兔”礼盒高店庆当天销售这两种礼盒的总销售额为万元，总利润率为，则这天销售“鸿福兔”礼盒的总利润是____万元．
14. 如果是一个完全平方式，则的值是_____
15. 如图，直线上有两点、，分别引两条射线 、 ，，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间_____．
16. 数据，，，，，其中整数是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知：用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨．某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
请你帮该物流公司设计租车方案，且分别求出，的值；
若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
18. 本小题分
甲、乙两个同时解方程组甲看错了方程中的，得到方程组的解为乙看错了方程中的，得到方程组的解为试计算
的值．
19. 本小题分
已知，求的值．
20. 本小题分
利用我们学过的知识，可以推导出下面这种形式的优美等式：，该等式从左到右的变形中，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
请你检验这个等式的正确性
若，，，你能很快求出的值吗
21. 本小题分
材料一：对于个位数字不为零的任意三位数，将其个位数字与百位数字对调得到，则称为的“倒序数”，将一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与的商记为．
例如为的“倒序数”，；
材料二：对于任意三位数满足，且，则称这个数为“登高数”．
______；______；
任意三位数，求的值；
已知、均为“登高数”，且，求的最大值．
22. 本小题分
已知：射线
如图，的角平分线交射线与点，若，求的度数．
如图，若点在射线上，平分交于点，平分交于点，，求的度数．
如图，若，依次作出的角平分线，的角平分线，的角平分线，的角平分线，其中点，，，，，都在射线上，试求的度数．
23. 本小题分
完成下面的证明：
如图，点，，分别是三角形的边，，上的点，连接，，，，连接交于点，求证：．
证明：已知，
______
又已知，
______
______
______
24. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，的坐标分别为，，点是轴正半轴上一个动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接．
Ⅰ直接写出点的坐标，并判断的形状，说明理由；
Ⅱ如图，当点在线段上运动时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长及此时点的坐标；若不存在，说明理由；
Ⅲ当是直角三角形时，求点的坐标．直接写出结果即可
25. 本小题分
八班五位同学参加学校举办的“社会主义核心价值观”知识竞赛，试卷中共有道题，规定每题答对得分，答错扣分，未答得分．赛后，，，，五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况同学只记得有道题未答，具体如表所示
参赛同学 答对题数 答错题数 未答题数
根据以上信息，求，，，四位同学成绩的平均分；
最后获知，，，，五位同学成绩分别是分，分，分，分，分．
求同学的答对题数和答错题数；
经计算，，，，四位同学实际成绩的平均分是分，与中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况，请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况直接写出答案即可．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，，
，
，
是关于的一次函数且随的增大而减小，
当最小时，取最大值，
又，是正整数，
当时，的最大值．
故选：．
根据题意得出关于和的二元一次方程，然后用表示出，继而用表示出，然后可以利用函数的思想得出取得最值的条件，即能得出答案．
本题考查二元一次不定方程的应用，技巧性较强，解答本题的关键是函数思想的应用，同学们要注意掌握这种解题思想，它会在以后的解题中经常用到．
2.【答案】
【解析】解：设种糖的单价为元千克，则种糖的单价为元千克，
“什锦糖”甲的单价为元千克，
“什锦糖”乙的单价为元千克，
根据题意，得
，
解得，
经检验是分式方程的解，也符合题意，
所以种糖的单价为元千克．
故选：．
设种糖的单价为元千克，则种糖的单价为元千克，“什锦糖”甲的单价为元千克，“什锦糖”乙的单价为元千克，根据题意列出方程即可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
3.【答案】
【解析】解：实数、、满足，
当时的最大值是．
故选：．
由题意实数、、满足，可以将，用和表示出来，然后根据完全平方式的基本性质进行求解．
此题主要考查完全平方式的性质及代数式的求值，要学会拼凑多项式．
4.【答案】
【解析】解：根据题意得：@
，
整理得：，即，
解得：或，正确；
@
@@
，
@@@正确；
@，@，
令，
，即
解得，，，故错误；
@，
，则，即，
，
的最大值是，此时，
解得，，
@最大时，，故正确，
故选C．
根据新定义可以计算出各个小题中的结论是否成立，从而可以得到哪个选项是正确的．
本题考查因式分解的应用、整式的混合运算、完全平方公式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解的应用．注意整体思想的运用．
根据乘法分配律可求，将变形为，再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、完全平方公式和算术平方根可求，再比较大小即可求解．
【解答】
解：
，
，
，
，
．
故答案为：
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解的方法，掌握因式分解的方法是解决问题的关键先提出公因式，然后用完全平方公式分解因式即可．
【解答】
解：，
，
．
故选B．
7.【答案】
【解析】解：过点作直线，
，
，
，，
，故本小题错误；
过点作直线，
，
，
，，
，
，即，故本小题正确；
过点作直线，
，
，
，，
，即，故本选项正确；
，，，
，
，即，故本小题正确．
综上所述，正确的小题有共个．
故选：．
过点作直线，由平行线的性质即可得出结论；
过点作直线，由平行线的性质即可得出结论；
过点作直线，由平行线的性质可得出；
先得出，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断．
本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，，分别过、作的平行线和，由平行线的性质可得到，可求得答案
【解答】
解：如图，分别过、作的平行线和，
，
，
，，，
，
又，
，
又，
，
，
即．
故选C．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的知识点是轴对称图形，顺利的找出所有图形的对称轴条数是解题的关键，首先将四个图形的对称轴条数分别找出，再将对称轴条数的和找出即可得到答案．
【解答】
解：第一个图形有条对称轴，第二个图形有条对称轴，第三个图形没有对称轴，第四个图形没有对称轴，
对称轴条数之和为条．
故选C．
10.【答案】
【解析】解：如图：
，，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
∽，
，即，
，
故选：．
由，，，得，根据，得，而，即得，又，可得，从而∽，即得，故BF．
本题主要考查直角三角形中的旋转，涉及勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是证明∽，利用相似三角形对应边成比例解决问题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了全面调查和抽样调查，正确把握相关定义是解题关键，直接利用全面调查与抽样调查的意义分析得出答案．
【解答】
解：为了了解一本书页的书稿中错别字的个数，应采用普查的调查方式进行，此选项正确；
B.为了了解我市今年夏季冷饮市场冰激凌的质量可采用抽样的调查方式进行，此选项错误；
C.销售某种品牌的鞋，销售商最感兴趣的是所销售的鞋的尺码的众数，此选项错误；
D.为了了解我市九年级学生中考数学成绩，从所有考生的试卷中抽取份试卷进行统计分析，在这个问题中，样本是被抽取的名学生的成绩，此选项错误；
故选A．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是折线统计图，中位数，众数，由折线统计图中所提供的数据，根据中位数，众数的概念分别求得这组数据的中位数，众数即可．
【解答】
解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即这组数据的众数是；
将这组数据从小到大的顺序排列后，第个和第个数都是，所以这组数据的中位数是．
故选．

13.【答案】
【解析】解：设紫色、白色、红色三种颜色的兔公仔的成本分别为元，元，元，
根据题意可知，“鸿福兔”礼盒的成本为：元，“吉祥兔”礼盒的成本为：元，
每个“鸿福兔”礼盒中所有兔公仔的成本之和为个紫色兔公仔的倍，
，
，
，
每个“吉祥兔”礼盒的利润率为，
每个“吉祥兔”礼盒的售价为：元，
每个“吉祥兔”礼盒的售价比每个“鸿福兔”礼盒高，
每个“鸿福兔”礼盒的售价为元，
设当天销售“鸿福兔”、“吉祥兔”两种礼盒的数量分别为个，个，
总销售额为：，
两种礼盒的总销售额为万元，总利润率为，
总成本为：元，
，
联立可得，，
“鸿福兔”礼盒的总利润是万元，
故答案为：．
本题考查了三元一次方程组的应用，整体思想的应用，销售问题中各个量之间的关系，解题关键是设出相关未知数，列出方程．
设紫色、白色、红色三种颜色的兔公仔的成本分别为元，元，元，继而表示出“鸿福兔”礼盒的成本，“吉祥兔”礼盒的成本，再根据每个“鸿福兔”礼盒中所有兔公仔的成本之和为个紫色兔公仔的倍，用含的代数式表示出每个“吉祥兔”礼盒的售价，每个“鸿福兔”礼盒的售价，再设当天销售“鸿福兔”、“吉祥兔”两种礼盒的数量分别为个，个，结合题意得到，，继而得到“鸿福兔”礼盒的总利润是，代入计算即可．
14.【答案】或
【解析】
【分析】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
【解答】
解：是一个完全平方式，
，
则或，
故答案为：或．
15.【答案】秒或秒
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
分与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；
旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【解答】
解：，，
，，
分三种情况：
如图，与在的两侧时，
，，
要使，则，
即，
解得；
旋转到与都在的右侧时，
，，
要使，则，
即，
解得；
旋转到与都在的左侧时，
，，
要使，则，
即，
解得，
此情况不存在．
综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行．
16.【答案】或或
【解析】解：，，，，的中位数是整数，
或或，
当时，这组数据的平均数为
当时，这组数据的平均数为，
当时，这组数据的平均数为，
故答案为：或或．
根据中位数的定义确定整数的值，由平均数的定义即可得出答案．
本题主要考查了中位数和平均数，解题的关键是根据中位数的定义确定的值．
17.【答案】解：设一辆型车装满货物可运货吨，一辆型车装满货物可运货吨，
根据题意，得：，
解得：，
答：一辆型车装满货物可运货吨，一辆型车装满货物可运货吨；
由题意得：，
、均为正整数，
或或，
该物流公司共有以下三种租车方案，
方案一：租型车辆，型车辆；
方案二：租型车辆，型车辆；
方案三：租型车辆，型车辆．
方案一费用：元，
方案二费用：元，
方案三费用：元，
，
方案一：租型车辆，型车辆，最省钱，最少租车费为元．
【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．
设一辆型车装满货物可运货吨，一辆型车装满货物可运货吨，由题意：用两辆型车和一辆型车装满货物一次可运货吨；用一辆型车和两辆型车装满货物一次可运货吨．列出二元一次方程组，解方程组即可；
由题意：某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车和型车，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．列出二元一次方程，求出正整数解即可．
分别计算三种方案的费用，比较大小即可．
18.【答案】
【解析】略
19.【答案】解：，
，
即，
，，
解得，，
当，时，
原式．
【解析】把分成，然后分别与剩余的项组成完全平方形式，从而出现两个非负数的和等于的形式，那么每一个非负数都等于，从而求出、的值，再把、的值代入所求式子，计算即可．
本题主要考查完全平方公式、非负数的性质．完全平方公式：注意会正确的拆项．
20.【答案】略
【解析】略
21.【答案】
【解析】解：由题意得：，，
故答案为：，；
由题意得：，，
则，
故F；
设，，
由知，，，
由题意得：，
，则、同奇或同偶，
故和为偶数，
，
故A，，
要使尽可能大，则的百位数要尽可能大，
对而言，，
故最大取，
对而言，，
则最大可取，
故的最大值．
根据“倒序数”的定义即可求解；
由题意得：，，则，进而求解；
由知，，，而，则、同奇或同偶，求出，，进而求解．
因式分解的应用，主要考查用字母表示数，整式的加减运算、绝对值的意义等，正确理解题意是本题解题的关键．
22.【答案】解：如图，，
，
，是的角平分线，
，
；
如图，
，
，
平分，
，
平分，
，
；
如图，由可知，，，，
则．
【解析】根据平行线的性质得出，根据平角的定义求得，根据角平分线的性质和平行线的性质求得的度数；
利用已知条件和平行线的性质、角平分线的性质解答即可．
根据的规律即可求得．
本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
23.【答案】两直线平行，同位角相等 ；
等量代换
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补 ．
【解析】证明：已知，
两直线平行，同位角相等
又已知，
等量代换
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
依据两直线平行，同位角相等以及等量代换，即可得到，再根据同位角相等，两直线平行，即可得出，进而得出．
本题主要考查了平行线的性质与判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
24.【答案】解：Ⅰ，，是等边三角形，
如图，过点作于，
是等边三角形，于点，
，，
，
，
在中，，
；
是由绕点逆时针旋转得到的，
，，
是等边三角形；
Ⅱ存在；
理由如下：如图，由Ⅰ知，是等边三角形，
，
由旋转知，，
，
由垂线段最短可知，于时，的周长最小，此时，由可知，，
的周长最小值为，点；
Ⅲ，或．

【解析】
【分析】
此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，含度角的直角三角形，直角三角形的性质，解本题的关键是根据题意作出图形．
如图，过点作轴于点，由是等边三角形易得，结合、，可得，，由此即可得到点的坐标；由旋转的性质可知，结合旋转角可知是等边三角形；
如图，由可知是等边三角形，由此可得，由是由绕点旋转得到的，由此可得，从而可得的周长，由此可知，当时，最小，此时的周长最小，由可知，此时，，即当点的坐标为时，的周长最小，最小值为；
如图，由可得，由此可得，结合是直角三角形，可知：存在；如图，两种情况，分两种情况画出符合要求的图形，并结合已知条件进行分析计算即可．
【解答】
解：Ⅰ见答案；
Ⅱ见答案；
Ⅲ如图，
由旋转知，，
，
，
是直角三角形，
存在或如图，两种情况，
当时，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
；
当时，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：存在点使是直角三角形，此时点的坐标分别为：或．
25.【答案】解：分，
答：，，，四位同学成绩的平均分是分．
设同学答对题，答错题，由题意得
，
解得，
答：同学答对题，答错题．
同学，他实际答对题，答错题，未答题．
【解析】直接算出，，，四位同学成绩的总成绩，再进一步求得平均数即可；
设同学答对题，答错题，根据对错共和总共得分列出方程组成方程组即可；
根据表格分别算出每一个人的总成绩，与实际成绩对比：为分正确，为分正确，为错误，为正确，E正确；所以错误的是，多算分，也就是答对的少一题，打错的多一题，由此得出答案即可．
此题考查加权平均数的求法，二元一次方程组的实际运用，以及有理数的混合运算等知识，注意理解题意，正确列式解答．
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