(共13张PPT)
八（下）数学教材习题
习题 19.1
1．如图，在 ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AB=6，BC=8，AC=10，
∴AB2+BC2=AC2．
∴∠ABC=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
1．如图，在 ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10．
（2）求BD的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC=10．
2．如图，在 ABCD中，O是边AB的中点，且∠AOD=∠BOC．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AD∥CB．
∴∠A+∠B=180°．
∵O是AB的中点，∴OA=OB．
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠ODC=∠OCD．∴OD=OC．
在△AOD和△BOC中，
∴△AOD≌△BOC（SAS）．∴∠A=∠B．
∵∠A+∠B=180°，∴∠A=∠B=90°．
即平行四边形ABCD是矩形．
3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点，过点A、D分别作BC与AB的平行线，相交于点E，连接EC、AD．求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AE∥BD，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AB=DE，AE=BD．
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴BD=CD，AD⊥BC．
∴AE=DC，∠ADC=90°．
∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形．
∵∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
4．如图，在 ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD与∠CDA的平分线，AF与BH交于点E，CH与DF交于点G．求证：EG=FH．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°．
∵AF，BF分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠EAB+∠EBA= （∠DAB+∠ABC）=
×180°=90°．∴∠AEB=90°．
同理：∠AFD=90°，∠DGC=90°．
∴∠HGF=∠DGC=90°．
∴四边形EFGH是矩形．∴EG=FH．
5．如图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC，EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．
证明：∵AE=AF，∠EAB=∠FAC，AB=AC，
∴△AEB≌△AFC．
∴EB=FC，∠ABE=∠ACF．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∴∠EBC=∠FCB．
∵EB=FC，EF=BC，
∴四边形EBCF是平行四边形．∴EB∥FC．
∴∠EBC+∠FCB=180°．
∴∠EBC=∠FCB=90°．
∴平行四边形EBCF是矩形．
6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使边AD与对角线BD重合，得折痕DG，AB=2，BC=1．求AG的长．（精确到0.01．提示：作GE⊥BD，记垂足为点E，设AG=x，列出x满足的等量关系）
解：如图，作GE⊥BD，记垂足为点E．
∵AB=2，BC=1，∴BD=
由折叠可得∠ADG=∠BDG．
又∵DG=DG，∠DAG=∠DEG=90°，
∴△ADG≌△EDG（AAS）．
∴AD=DE=1，AG=GE．∴BE=
∵GE2+BE2=BG2，
∴AG2+ =（2-AG）2．∴AG≈0.62．(共37张PPT)
八（下）数学教材习题
第19章
1.在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．
（1）如果∠ABO+∠ADO=90°，那么 ABCD一定是 形；
（2）如果∠AOB=∠AOD，那么 ABCD一定是 形；
（3）如果AB=BC，AC=BD，那么 ABCD一定是 形．
矩
菱
正方
2．如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、AD的长度分别为15 cm和25 cm，∠BAD的平分线与边BC相交于点E．试求BE与CE的长度．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=25cm，AD∥BC．
∴∠DAE=∠AEB.
∵∠BAD的平分线与BC相交点E，
∴∠BAE=∠DAE．
∴∠AEB=∠BAE．
∴BE=AB=15 cm．
∴CE=BC-BE=25-15=10（cm）．
3.已知正方形纸片ABCD的一条对角线AC的长为4cm．求它的边长和面积．（长度精确到0.1 cm）
解：设正方形的边长为x cm．
根据勾股定理，得x2+x2=42，则x2=8．
解得x= ≈2.8（负值舍去）．
答：它的边长和面积分别为2.8 cm，8 cm2．
4．已知菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1:2．求较短的对角线长．
解：如图，∵四边形ABCD是菱形，
两个相邻的内角的度数之比为1:2，∴AB=BC=CD=AD=20÷4=5(cm)，∠ABC=60°，∠BAD=120°．
∴△ABC为等边三角形．∴AC=AB=5 cm．
即较短的对角线长为5 cm．
5．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=CD，求证：四边形ABCD是矩形．
证明：如图，连接AC．∵∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL）．
∴AD=BC．
∵AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，四边形ABDE、AGFC都是正方形．求证：BG=EC．
证明：∵四边形ABDE，AGFC都是正方形，
∴AE=AB，AC=AG，∠EAB=∠CAG=90°．
∴∠EAC+∠CAB=
∠GAB+∠CAB=90°．
∴∠EAC=∠BAG．
在△EAC和△BAG中，
∴△EAC≌△BAG（SAS）．∴BG=CE．
7．如图，在 ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、F分别是AB、CD的中点．求证：四边形DEBF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC，
E，F分别为AB，CD的中点．
∴BE= AB，DF= CD．∴BE=DF．
∴四边形DEBF是平行四边形．
在△ABD中，E是AB的中点，
∴AE=BE= AB=AD．
∵∠DAB=60°，∴△AED是等边三角形．
∴DE=AE．∴DE=BE．
∴平行四边形DEBF是菱形．
8．如图，在等边△ABC中，点D是AC的中点，点F是BC的中点，以BD为边作等边△BDE，连结点A、E．求证：四边形AEBF为矩形．
证明：∵等边△ABC中，点D是AC的中点，F是BC的中点，
∴AF=BD，AF⊥BC，∠CBD=
∠ABC=30°．∴∠AFB=90°．
∵△BDE是等边三角形，
∴BE=BD，∠DBE=60°．
∴AF=BD=BE，∠EBF=∠AFB=90°．∴AF∥BE．
又∵AF=BE，
∴四边形AEBF是平行四边形．
∵∠AFB=90°，
∴四边形AEBF是矩形．
9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．
（1）求证：四边形AODE是菱形；
证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC= AC，OD=OB= BD，AC=BD．∴OA=OD．
∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形．∴四边形AODE是菱形．
（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是怎样的四边形？请给出证明．
解：四边形AODE是矩形．证明：∵DE∥CA，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
∴∠AOD=90°．∴四边形AODE是矩形．
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB、∠CBA的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：
（1）四边形CFDE是矩形；
证明：∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠C=90°，
∴∠C=∠CFD=∠DEC=90°．
∴四边形CFDE是矩形．
（2）四边形CFDE是菱形．
证明：如图，过D作DM⊥AB于M．
∵∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DM，DM=DF．∴DE=DF．
∵四边形CFDE是矩形，
∴四边形CFDE是菱形．
11．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形A'B'C′O的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，那么正方形A'B′C′O绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．想一想，这是为什么？
解：如图，设AB与A'O交于点E，
BC与OC'交于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°，AC⊥BD．
∴∠AOB=∠EOF=90°．∴∠AOE=∠BOF．
∴△AOE≌△BOF（ASA）．
∴S△AOE=S△BOF．
∴S四边形EOFB=S△AOB= S正方形ABCD，
∴正方形A'B′C′O绕点O无论怎样
旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．
解：如图所示，四边形ABCD为矩形（答案不唯一）．
12．尽可能多地用各种方法画一个矩形与菱形．
如图所示，四边形ABCD为菱形（答案不唯一）．
13．如图，在△ABC中，边BC上是否存在点P，过点P分别作AB、AC的平行线，交AC和AB于点D、E，使四边形ADPE为菱形？请说明理由．
解：存在．理由如下：
如图，作∠CAB的平分线AP交BC于点P，过点P分别作AB、AC的平行线，交AC和AB于点D、E．
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴四边形ADPE为平行四边形．
∵AP平分∠CAB，∴∠DAP=∠PAE．
∵PD∥AE，∴∠DPA=∠PAE．
∴∠DAP=∠DPA．∴DA=DP．
∴四边形ADPE为菱形．
即边BC上存在点P，过点P分别作AB、AC的平行线，交AC和AB于点D、E，使四边形ADPE为菱形．
14．如图，根据图形解答下列问题：
（1）以△ABC三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，判断四边形ADFE的形状；
解：∵△ABE、△CBF是等边三角形，
∴BE=AB，BF=CB，∠EBA=∠FBC=60°．
∴∠EBF=∠ABC=60°-∠ABF．
∴△EFB≌△ACB．
∴EF=AC=AD．
同理可证△CDF≌△CAB，得DF=AB=AE．
由AE=DF，AD=EF可得四边形AEFD是平行四边形．
（2）在题（1）中，是否一定存在 ADFE？若存在，写出△ABC应满足的条件；若不一定存在，请说明理由；
解：不一定存在 ADFE；若存在，则△ABC需满足的条件是∠BAC≠60°．
理由：∵△ABE、△ACD是等边三角形，∴∠BAE=∠CAD=60°．
若∠BAC=60°，则∠BAE+∠CAD+∠BAC=180°．
则E、A、D三点共线．则以A、E、F、D为顶点够不成四边形；
当∠BAC≠60°时，由（1）知四边形AEFD是平行四边形．
（3）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？
解：△ABC满足∠BAC=150°时，四边形AEFD是矩形．
（4）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？
解：△ABC满足AB=AC，且∠BAC≠60°时，四边形AEFD是菱形．
（5）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？
解：综合（3）（4）的结论知：当△ABC满足∠BAC=150°且AB=AC时，四边形AEFD是正方形．
15．如图，已知正方形ABCD与CEFG，连结DE，以DE为边作正方形EDHI，试用该图形证明勾股定理：
CD2+CE2=DE2．
（提示：运用面积割补法）
解：设正方形ABCD的边长是a，正方形CEFG的边长是b，正方形EDHI的边长是c．
如图，过H作HM⊥CD于点M，过点I作IN⊥HM于点N．
则四边形AHMD是矩形，则△ADH≌△MHD．
在Rt△ADH和Rt△CDE中，
∴Rt△ADH≌Rt△CDE（HL）．
∵∠AHM=∠DHI=90°，∴∠AHD=∠NHI．
在△ADH和△NIH中，
∴△ADH≌△NIH（AAS）．
则△ADH≌△MHD≌△CDE≌△NIH．
则CE=DG=HN=b，四边形MNKC是正方形，CM=a-b．
则S正方形EDHI=4S△CDE+S正方形MNKC，
即c2=4× ab+（a-b）2．
则c2=a2+b2．
∴CD2+CE2=DE2．(共8张PPT)
八（下）数学教材习题
习题 19.3
1．如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，点F是CB的延长线上的一点，且EA⊥AF，求证：DE=BF．
证明：∵EA⊥AF，四边形ABCD是正方形，
∴∠FAE=90°=∠BAD，AB=AD．
∴∠FAB+∠BAE=∠BAE+∠EAD．
∴∠FAB=∠EAD．
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE（ASA）．
∴DE=BF．
2．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF，求证：CE=DF．
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠DCF=90°．
∴∠BCE+∠DCE=90°．
∵CE⊥DF，∴∠DCE+∠CDF=90°，
∴∠BCE=∠CDF．
在△BCE和△CDF中，
∴△BCE≌△CDF（ASA），∴CE=DF．
3．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形．求△BPD的面积．（精确到0.01）（提示：S△BPD=S△PBC+S△PCD-S△BCD）
解：如图，过P作PE⊥CD于E，PF⊥
BC于F，则∠PEC=∠PFC=90°．
易得四边形PECF为矩形，
∴PE=FC．
∵正方形ABCD的边长是1，△BPC为正三角形，
∴∠BCD=90°，PB=PC=BC=CD=1．
∵PF⊥BC，∴BF=FC= BC= ．
∴PE=FC= .
由勾股定理得
PF= ．
∴S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD=
×1× + ×1× - ×1×1= ≈0.18．(共11张PPT)
八（下）数学教材习题
习题 19.2
1．已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别为6 cm和8 cm．求这个菱形的周长和它的面积．
解：∵菱形ABCD的两条对角线AC=6 cm，BD=8 cm，
∴菱形的边长为 =5(cm)．
∴周长=4×5=20(cm)．
面积=6×8÷2=24(cm2)．
2．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD．
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠EAD=∠FAD．
∴∠EAD=∠EDA．∴EA=ED．
∴四边形AEDF为菱形．
3．如图，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F．求证：四边形AEDF是菱形．
证明：如图，∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵EF⊥AD，
∴∠AOE=∠AOF=90°．
在△AEO和△AFO中，
∴△AEO≌△AFO（ASA）．∴EO=FO．
∵EF垂直平分AD，∴EF、AD相互平分．
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形．
4．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DG⊥AB于点G，EK⊥AB于点K，GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F．求证：GE与FD互相垂直平分．
证明：∵DE⊥AC，DG⊥AB，EK⊥AB，GH⊥AC，
∴∠DGB=∠DEC=90°，EK∥DG，DE∥GH．
∴四边形DEFG是平行四边形．
∵AB=AC，∴∠B=∠C．
在△DGB和△DEC中，
∴△DGB≌△DEC（AAS）．∴DG=DE．
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴四边形DEFG是菱形．
∴GE与FD互相垂直平分．
5．如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、BD相交于点O，AC+BD=q．求菱形ABCD的面积．（提示：利用两数和的平方公式（AC+BD）2=AC2+2 AC BD+BD2与勾股定理）
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD．
∵菱形ABCD的周长为2p，∴AB= p．
∴OA2+OB2=AB2=（ p）2= p2．
∵OA+OB= （AC+BD）= q，
∴（OA+OB）2= q2．
∴OA2+OB2+2OA OB= q2．
∴2OA OB= q2- p2．
∴S菱形ABCD=4S△AOB=2OA OB= （q2-p2）．
6．如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为点O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．求证：四边形AFCE为菱形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴∠EAO=∠FCO．
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA）．∴AE=FC．
∴四边形AFCE是平行四边形．
∵直线l垂直分线段AC，
∴平行四边形AFCE是菱形．
