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抽象函数的性质及应用
抽象函数是高中数学的难点，也是近几年考试的热点和重点，抽象函数的奇偶性、周期性、单调性结合的题目往往难度较大，综合性较强，旨在提升数学抽象，数学建模，数学运算的核心素养
类型一 抽象函数的奇偶性
【典例1】（2021·新高考Ⅱ卷T8） 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【解题技法】通过对称性判断函数奇偶性的常见情况：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
【跟踪训练】已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则（ ）
A．5 B．-2 C．1 D．2
类型二 抽象函数的周期性
【例2】（2022·新高考Ⅱ卷T8） 若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【解题技法】函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
【跟踪训练】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
A． B． C． D．
类型三 抽象函数的对称性
【例3】函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题指导】由的图象关于点对称→函数是奇函数→结合→求解.
【解题技法】已知函数f(x)是定义在R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．
【跟踪训练】已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝( )
A．0 B．m C．2m D．4m
类型四 抽象函数的综合问题
【例4】设函数f(x)是定义域(0，＋∞)上的增函数，且f()＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，求不等式f(x＋3)＋f()≤2的解集．
【解题指导】(1)赋值求解；（2）由已知猜想f(x)是对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的抽象函数，先确定单调性，列出满足条件的不等式求解。
【解题技法】(1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；
(2)本题是增函数概念“若x1【跟踪训练】设函数f(x)的定义域为实数集R，满足条件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，对任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．
(1)求f(0)；
(2)对任意x∈R，判断f(x)值的正负．
1．（2023·陕西安康·统考二模）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2．
2．（2023·河南郑州·统考一模）设f（x）是定义城为R的奇函数，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知定义在R上的函数满足，为偶函数且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（2023·江苏泰州·统考一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）定义在上的偶函数满足，且在上是减少的，下面关于的判断不正确的是（ ）
A．是函数的最小值 B．的图像关于点对称
C．在上是增加的 D．的图像关于直线对称
6．（2023·广西梧州·统考一模）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，，则的值为（ ）
A．117 B．118 C．122 D．123
8．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·四川泸州·统考一模）已知定义在上的函数的图象关于y轴对称，且满足，又，，则的值是（ ）
A．1 B． C．2022 D．2023
10．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（ ）
A．1为的周期 B．的图象关于点对称
C． D．的图象关于直线对称
11．（多选题）已知奇函数的定义域为，且在上单调递减，若，则下列命题中正确的是（ ）
A．有两个零点 B．
C． D．
12．（多选题）已知函数为偶函数，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．是周期为的周期函数
C．的图象关于直线轴对称 D．为偶函数
13．（多选题）（2023·江苏连云港·统考模拟预测）函数的定义域为，且与都为奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为周期函数
C．为奇函数 D．为偶函数
14．（多选题）函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是周期为的周期函数 B．是周期为的周期函数
C．为奇函数 D．为奇函数
15．（2023·广东中山·校联考模拟预测）函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，以下选项正确的有（ ）
A．关于中心对称
B．关于中心对称
C．函数的图象关于点对称，则
D．函数的图象关于对称的充要条件是为偶函数
16．（2023·福建·统考一模）写出一个同时满足下列三个性质的函数__________．
①若，则；②；③在上单调递减．
17．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考三模）定义在R上的奇函数满足， ，______.
18．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）设是定义域为的奇函数，且，则______.
19．（2023·广西北海·统考一模）已知奇函数的定义域为,且对任意恒成立,若,则____________.
20．（2023·河南新乡·统考一模）已知函数对任意的，都有，若的图像关于直线对称，且，则______．
思路引导
母题呈现
模拟训练
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抽象函数的性质及应用
抽象函数是高中数学的难点，也是近几年考试的热点和重点，抽象函数的奇偶性、周期性、单调性结合的题目往往难度较大，综合性较强，旨在提升数学抽象，数学建模，数学运算的核心素养
类型一 抽象函数的奇偶性
【典例1】（2021·新高考Ⅱ卷T8） 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.故选：B.
【解题技法】通过对称性判断函数奇偶性的常见情况：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
【跟踪训练】已知定义在上的函数，对任意实数有，若函数的图象关于直线对称，，则（ ）
A．5 B．-2 C．1 D．2
【答案】D
【解析】由函数的图象关于直线对称可知，函数的图象关于y轴对称，故为偶函数，又由，得，
所以是周期为的偶函数.所以，故选D.
类型二 抽象函数的周期性
【例2】（2022·新高考Ⅱ卷T8） 若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
【解析】因为，令可得，，
所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，
从而可知，，
故，即，所以函数的一个周期为．
因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选A．
【解题技法】函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)；(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
【跟踪训练】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，∴函数周期为．
∵，，，，∴，
∴．
类型三 抽象函数的对称性
【例3】函数对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题指导】由的图象关于点对称→函数是奇函数→结合→求解.
【解析】因为函数的图象关于点对称，
所以函数的图象关于点对称，即，
又因为，所以，即，
所以函数的周期为，又，
所以.故选：D
【解题技法】已知函数f(x)是定义在R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．
【跟踪训练】已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，若函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则xi＝( )
A．0 B．m C．2m D．4m
【答案】B
【解析】∵函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(2－x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
函数y＝|x2－2x－3|的图象也关于直线x＝1对称，
故函数y＝|x2－2x－3|与y＝f(x)图象的交点也关于直线x＝1对称，
且相互对称的两点横坐标和为2.当f(x)不过点(1,4)时，xi＝×2＝m，
当f(x)的图象过点(1,4)时，xi＝×2＋1＝m.综上，xi＝m.
类型四 抽象函数的综合问题
【例4】设函数f(x)是定义域(0，＋∞)上的增函数，且f()＝f(x)－f(y)．
(1)求f(1)的值；
(2)若f(6)＝1，求不等式f(x＋3)＋f()≤2的解集．
【解题指导】(1)赋值求解；（2）由已知猜想f(x)是对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的抽象函数，先确定单调性，列出满足条件的不等式求解。
【解析】(1)将x＝y＝1代入f()＝f(x)－f(y)，
得f(1)＝f(1)－f(1)，所以f(1)＝0.
(2)因为f(6)＝1，所以2＝f(6)＋f(6)，
于是f(x＋3)＋f()≤2等价于f(x＋3)－f(6)≤f(6)－f()，即f()≤f(6x)，
而函数f(x)是定义域(0，＋∞)上的增函数，
所以，解得x≥，
因此满足已知条件的不等式解集为[，＋∞)．
【解题技法】(1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；
(2)本题是增函数概念“若x1【跟踪训练】设函数f(x)的定义域为实数集R，满足条件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，对任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．
(1)求f(0)；
(2)对任意x∈R，判断f(x)值的正负．
【解析】(1)将y＝0代入f(x＋y)＝f(x)·f(y)，
得f(x)＝f(x)·f(0)，于是有f(x)[1－f(0)]＝0.
若f(x)＝0，则对任意x1≠x2，有f(x1)＝f(x2)＝0，
这与已知题设矛盾，所以f(x)≠0，从而f(0)＝1.
(2)设x＝y≠0，则f(2x)＝f(x)·f(x)＝[f(x)]2≥0，
又由(1)知f(x)≠0，所以f(2x)>0，
由x为任意实数，知f(x)>0.
故对任意x∈R，都有f(x)>0.
1．（2023·陕西安康·统考二模）已知定义在上的奇函数满足，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2．
【答案】B
【分析】由奇偶性及对称性得函数的周期性，由周期性计算函数值，
【详解】由及是奇函数得，，
所以，所以是周期函数，周期为4，
，
故选：B．
2．（2023·河南郑州·统考一模）设f（x）是定义城为R的奇函数，且．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出的周期，利用函数周期性即可求解.
【详解】由题知，，，则，
，变形可得，
，的周期为：，
，
故选：.
3．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）已知定义在R上的函数满足，为偶函数且，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据为偶函数，得到，再结合，得到，故函数的一个周期为4，故可求解.
【详解】因为为偶函数，所以，所以．
又，所以，
所以，所以函数的一个周期为4，
所以．
故选：A．
4．（2023·江苏泰州·统考一模）已知函数的定义域为，且为偶函数，，若，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】设，满足题意，即可求解.
【详解】因为为偶函数，所以，
则关于对称，
设，
，关于对称，
.
，
即满足条件，.
故选:A.
5．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）定义在上的偶函数满足，且在上是减少的，下面关于的判断不正确的是（ ）
A．是函数的最小值 B．的图像关于点对称
C．在上是增加的 D．的图像关于直线对称
【答案】C
【分析】根据函数性质的定义与性质逐项分析判断.
【详解】A 项：∵ ，则，
∴是周期为 4 的周期函数，
又∵在上是减少的，且在上是偶函数，
∴在上是增加的，
故是函数在上的最小值，结合周期性可得：是函数的最小值，A正确；
B项：∵ ，则，
∴的图象关于点中心对称，B正确；
C 项： ∵ 在上是减少的，且是周期为 4 的周期函数，
∴在上是减少的，C错误；
D 项：∵，故 的图象关于直线对称，D正确.
故选：C.
6．（2023·广西梧州·统考一模）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分与两种情况，结合函数单调性，奇偶性及，解不等式，求出解集.
【详解】偶函数在上单调递减，则在单调递增，
因为，
则当时，，即，
故或，解得：或，
或与取交集得：，
则当时，，即
故，解得：，
与取交集，解集为空集，
综上：不等式的解集为．
故选：D．
7．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，，则的值为（ ）
A．117 B．118 C．122 D．123
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解即可.
【详解】由解得，即是以4为周期的周期函数，所以，
因为为偶函数，所以，当时有，
又因为，所以，
所以，，
所以，
所以即，
故选：C
8．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意分析可得函数是周期为4的周期函数，结合奇偶性与周期性运算求解.
【详解】∵为奇函数，则，即，
∴，则的周期为4，
则，
故.
故选：C.
9．（2023·四川泸州·统考一模）已知定义在上的函数的图象关于y轴对称，且满足，又，，则的值是（ ）
A．1 B． C．2022 D．2023
【答案】A
【分析】求得的周期，根据函数的奇偶性和已知函数值，结合题意，求解即可.
【详解】，则，，故的周期为；
又，则；
，则；
又为偶函数，故，则；
故.
故选：A.
10．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且的一个周期为2，则（ ）
A．1为的周期 B．的图象关于点对称
C． D．的图象关于直线对称
【答案】C
【分析】举例判断A，B，D错误，再由条件结合奇函数的性质和周期函数的性质列关系式论证C正确.
【详解】因为为定义域为奇函数，周期为，
故函数满足条件，
令可得，，
函数的最小正周期为4，对称中心为，，
函数没有对称轴，
A错误，B错误，D错误；
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
取可得，，
因为的一个周期为2，
所以，
取可得，，
由可得，函数为周期为4的函数，
所以，C正确；
故选：C.
11．（多选题）已知奇函数的定义域为，且在上单调递减，若，则下列命题中正确的是（ ）
A．有两个零点 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据奇函数的图象关于原点对称的特点，以及单调性和函数值结合选项可得答案.
【详解】根据题意可得函数在上为减函数，上为减函数.，由可得.
对于A，由在上为减函数，且，，所以存在，，所以在上有一个零点，同理在上有一个零点，
又因为，所以有三个零点，故A错误；
对于B，因为函数在上为减函数.所以，故B正确；
对于C，因为函数在上为减函数，所以，故C错误；
对于D，，，所以，故D正确.
故选:BD.
12．（多选题）已知函数为偶函数，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．的图象关于点中心对称 B．是周期为的周期函数
C．的图象关于直线轴对称 D．为偶函数
【答案】AD
【分析】由，可知的图象关于点中心对称；结合函数为偶函数可得是周期为以及关于直线轴对称，结合周期，对称中心和对称轴可判断出为偶函数
【详解】因为，
所以的图象关于点中心对称，
又因为函数为偶函数，
所以是周期为的周期函数，且它的图象关于点中心对称和关于直线轴对称，所以为偶函数.
故选：AD.
13．（多选题）（2023·江苏连云港·统考模拟预测）函数的定义域为，且与都为奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为周期函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】ABC
【分析】由题设可得，进而可得、，即可判断A、B、D的正误，又可判断C的正误.
【详解】由题意知：且，
∴，即，可得，
∴是周期为2的函数，且、为奇函数，故A、B正确，D错误；
由上知：，即为奇函数，C正确.
故选：ABC.
14．（多选题）函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是周期为的周期函数 B．是周期为的周期函数
C．为奇函数 D．为奇函数
【答案】BD
【分析】AB选项，利用周期函数的定义判断；CD选项，利用周期性结合，为奇函数判断.
【详解】因为函数的定义域为，且与都为奇函数，
所以，，
所以，，
所以，即，故B正确A错误；
因为，且为奇函数，所以为奇函数，故D正确；
因为与相差1，不是最小周期的整数倍，且为奇函数，所以不为奇函数，故C错误.
故选：BD.
15．（2023·广东中山·校联考模拟预测）函数的图像关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，以下选项正确的有（ ）
A．关于中心对称
B．关于中心对称
C．函数的图象关于点对称，则
D．函数的图象关于对称的充要条件是为偶函数
【答案】BCD
【分析】根据函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，即可判断A错误，B正确.对选项C，根据充要条件的定义即可判断C正确，对选项D，根据函数的对称性、偶函数的定义以及充要条件的定义即可判断D正确.
【详解】对选项A，，，，
，故A错误.
对选项B，由，若，
则，故B正确.
对选项C，因为函数为奇函数，
所以，
即，
令，则有，
即，故C正确.
对选项D，若为偶函数，则，
令，则有，
函数的图象关于对称，故必要性成立，
函数的图象关于对称，则有，
令，则有，
即为偶函数，故充分性成立，故D正确.
故选：BCD
16．（2023·福建·统考一模）写出一个同时满足下列三个性质的函数__________．
①若，则；②；③在上单调递减．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可.
【详解】比如，，故，又，也即成立，
又在上单调递减．
故答案为：.
17．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考三模）定义在R上的奇函数满足， ，______.
【答案】
【分析】根据条件求出 的周期即可.
【详解】∵奇函数，∴，∴，
，∴∴函数的周期为3，
∴，∴；
故答案为：.
18．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）设是定义域为的奇函数，且，则______.
【答案】
【分析】结合函数的奇偶性、周期性等知识求得正确答案.
【详解】依题意，是定义域为的奇函数，，
由令得，
，
所以是周期为的周期函数，
所以.
故答案为：
19．（2023·广西北海·统考一模）已知奇函数的定义域为,且对任意恒成立,若,则____________.
【答案】2
【分析】根据的周期性和对称性,求出一个周期内的整数点处的函数值及它们的和,再根据,求出505个周期内的和加上即可.
【详解】解:由题知,,所以周期为4,
因为奇函数,所以,
因为,所以,
所以,
因为,所以,
又,所以,
因为,
所以.
故答案为:2
20．（2023·河南新乡·统考一模）已知函数对任意的，都有，若的图像关于直线对称，且，则______．
【答案】3
【分析】利用函数的对称性和周期性求解即可.
【详解】因为的图像关于直线对称，所以的图像关于y轴对称，即为偶函数，
令，则，所以，
因为，所以，所以，即的周期为8，
因为，所以，
故答案为：3
思路引导
母题呈现
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