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极值点偏移问题
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有构造对称函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色．
1. 已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)所示．
2. 若≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)所示．
图(1)
(无偏移，左右对称，二次函数)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0
图(2)
(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>2x0
图(3)
(左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2<2x0
考法1 对称构造法求极值点偏移问题
【例1】(2022·启东模拟)已知函数，若有两个不同的零点、．证明：
【解题指导】由→令→求导→由的单调性→函数求导→分析的单调性→得到结论
【解析】由，得，令，则，
由，得；由，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，
由于、是方程的实根，不妨设，
【技巧】不妨设，（只要证明一种情况即可）
要证，只要证．
由于在单调递减，故只要证，
由于，故只要证，
令，
【技巧】对称构造
则，
因为，所以，，所以，即，
所以，所以在上为增函数．
所以，即有成立，所以．
【例2】（2022·黑龙江·鹤岗一中高三期末）已知函数有两个不同的零点，求证：.
【解题指导】→函数求导→分析的单调性→得到结论
【解析】由题意，假设，要证明，只需证明.
只需证，又.
即只需证，构造函数.
【卡壳点】对称构造法构造函数
，所以在单调递减.
，即成立，即
所以原命题成立.
【解题技法】对称变换求极值点偏移的三步骤
第一步：求导，获得的单调性,极值情况,作出的图像,由得,的取值范围；
第二步：构造辅助函数（对结论,构造；对结论,构造）,求导,限定范围（或的范围）,判定符号,获得不等式；
第三步：代入（或）,利用及的单调性证明最终结论．
【跟踪训练】（2022·山东省青岛二中高三模拟）已知函数，．
（1）若函数有两个零点，求的取值范围；
（2）设，是函数的两个零点，证明：．
【解析】（1）由得，令，
，
由得，函数在单调递增，
由得，函数在上单调递减，
当时，函数有极小值同时也是最小值，，
当时，，当时，，且，
则要使有两个不同的零点，
则，即当时，函数有两个零点．
（2）证明：，是函数的两个零点，
由图象知，且，
不妨设，，则，
令，
则，
当时，，此时在上为增函数，
，即，即
，，
，，
由（1）知，在上为减函数，
，即．
考法2 消参减元法求极值点偏移问题
【例3】已知函数,为常数,若函数有两个零点，试证明：
【解题指导】由函数f(x)有两个零点x1、x2→lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0→→转化为证lnx1+lnx2＞2→lnx1+lnx2＝a（x1+x2）→证明（x1＞x2）→换元后利用导数得到证明．
【解析】不妨设,
∵,∴,
∴,欲证明,即证.
∵,∴即证,
∴原命题等价于证明,
即证：,令,
【卡壳点】利用参数作为媒介消参，换元后构造新函数
构造
，
在上单调递增，
又（1），（1），
，即．
【例4】（2022届广东省普宁市高三期中）已知函数,存在,有成立,证明：．
【解题指导】由→→令→转化为证lnx1+lnx2＞2→lnx1+lnx2＝a（x1+x2）→证明（x1＞x2）→换元后利用导数得到证明．
【解析】设,由,
∴,即．
令,,则,即该函数在单调递增,
∴,即,
∴,
∴．
【点拨】注意
要证,只需证明,令,即,只需证明,
设,则在上,
【卡壳点】利用参数作为媒介消参，换元后构造新函数
∴在上单调递减,,即成立,
∴,得证.
【解题技法】含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元的基础上,又多了一个参数,故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数.由于可导函数的极值点是的零点,也是方程的实根,所以有些与零点或方程实根有关的问题可以利用求解极值点偏移问题的方法去解决.
【跟踪训练】
已知函数有两个零点，．证明：．
【解析】由题意得，令，
两式相除得，变形得，
欲证，即证，即证，
记，，
故在上单调递减，
从而，即，
所以，得证．
考法3 比（差）值换元法求极值点偏移问题
【例5】已知函数，如果，且．证明：．
【解题指导】函数求导→函数的单调性→由→→令→→→→函数→利用导数求得函数的单调性与最值→得到结论.
【解析】由题意，函数，可得，
当时，；当时，，
可得函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，得，化简得…①，
不妨设，可得，
令，则，代入①式，可得，解得，
则，故要证，即证，
又因为，等价于证明：…②，
构造函数，则，
故在上单调递增，，
从而也在上单调递增，，
即证②式成立，也即原不等式成立．
【例5】（2022·山东枣庄滕州一中高三模拟）已知f(x)＝xlnx－mx2－x，若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞e2(e为自然对数的底数)．
【解题指导】f(x)求导→极值点为→→→→→→可证得结论.
【解析】，
在上存在两个极值点，且
且
，即
设，则
要证，即证
只需证明，即证明
设，则
则在上单调递增，
即
【解题技法】比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用t表示)表示两个极值点，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题．
【跟踪训练】
（2022届黑龙江省大庆市高三二模）已知函数，若有两个相异零点,求证：.
【解析】因为有两个相异零点,,由（1）可知,,
不妨设,因为,,
所以,,
所以,
要证,
即证,
等价于证明,而,
所以等价于证明,
也就是. （*）
令,则,
于是欲证（*）成立,等价于证明成立,
设函数,
求导得,
所以函数是上的增函数,
所以,
即成立,
所以成立.
1．（2023·山西晋中·统考二模）已知函数．
(1)讨论在上的单调性；
(2)若时，方程有两个不等实根，，求证：．
【分析】（1）利用导数，分类讨论函数在区间内的单调性；
（2）令，原不等式即证，通过构造函数法，利用导数通过单调性证明.
【详解】（1）由题意得．
因为，所以．
当时，，，所以在上单调递减．
当时，令，则．
①若，则，当时，，所以在上单调递增；
②若，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．
综上，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：方程，即，
因为，则，
令，，所以函数在上单调递增，
因为方程有两个实根，，令，，则关于t的方程也有两个实根，，且，
要证，即证，即证，即证，
由已知，
所以，
整理可得，
不妨设，
即证，
即证，
令，即证，其中，
构造函数，，
所以函数在上单调递增，当时，，故原不等式成立．
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
2．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知函数
(1)若时，求的最值；
(2)若函数，且为的两个极值点，证明：
【分析】（1）由导数法求最值；
（2）由导数法说明单调性及，则，则转为证，最后再构造函数证明即可.
【详解】（1），，，，
所以当单调递减；单调递增.
所以在处有唯一极小值，即最小值，为，无极大值，即无最大值.
（2）证明：，令
因为，所以单调递减；单调递增，所以.
因为为的两个极值点，所以，且.
所以在、，，单调递增；在，，单调递减；
因为，则，则，
设，则，
所以在单调递减，所以，
所以，因为在，单调递减，所以.
所以要证，只需证，即，
令，
令.
所以在单调递增，，
所以在单调递增，，
所以，即.
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题，先由导数法说明极值点的大小关系，结合和函数单调性，将不等式放缩，再构造函数由导数法证明即可.
3．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，证明：.
【分析】（1）函数求导，分类讨论通过判断导函数符号，确定函数单调性.
（2）对分类讨论，求得有两个零点时的范围，及的范围，构造函数，研究在上的单调性，可得，又，及的单调性可得结论.
【详解】（1）函数的定义域为，
时，恒成立，所以在上单调递减；
时，令得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：时，由（1）知至多有一个零点.
时，由（1）知当时，取得最小值，最小值为.
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，即，故没有零点；
③当时，即，
又，
由（1）知在上有一个零点.
又，
由（1）知在有一个零点，
所以在上有两个零点，的取值范围为
不妨设，则，且，
令
，
则，
由于（且仅当等号成立，
所以当时，在单调递减，又，
所以，即，
又，所以，
又由于，且在上单调递增，
所以即.
【点睛】极值点偏移问题是根据极值点的偏移情况，即极值点两侧函数增长速度的差异构造关于其中一个极值点的一元差函数（或比函数），然后通过探究该函数的单调性解决问题。
4．（2022·湖南永州·统考一模）已知，
(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；
(2)当有两个极值点时，求证：.
【分析】（1）方法一：不等式变形得到，，构造，求导后利用根的判别式进行分类讨论，求出的取值范围；
方法二：同样不等式变形为，，构造函数，求导后对导函数变形为，结合基本不等式，分与两种情况讨论，求出的取值范围；
（2）求导后，转化为是方程的两个不等实根，记，求导后，研究其单调性及图象特征得到，得到，在第一问的基础上，取，得到，将分别代入，变形得到，，从而证明出结论.
（1）
方法一：当时，不等式两边同除以得：
，，
记，则，
①当即时，则，
所以在上递增，满足要求，
②当时，则在上递增，
满足要求
③当时，令得，
所以在上递减，与题设不符，舍去，
综上，的取值范围为；
方法二：化为，，
记，则
①当时，由基本不等式可知：则，当且仅当时取等，所以在上递增，
满足要求；
②当时，令得，
所以在上递减，
此时与题设不符
综上，的取值范围为；
（2）
定义域为，
，
令得，由题意，是方程的两个不等实根，
记，
则，令得：，令，，
故在上递增，在上递减，
因为，又，且当时，恒成立，
所以，
则，由（1）取，则时，
，
又代入，并整理得，
，
同理，，
所以.
【点睛】导函数处理极值点偏移问题，通常构造差函数，然后利用导函数研究其单调性，图象特征，从而确定两根的范围，结合单调性，证明出不等式，也可以根据函数特征将双元问题转化为单元问题进行求解.
5．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）已知函数．
(1)当时，证明；
(2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．
【分析】（1）利用切线放缩可得，且等号不同时成立，则结论可证；
（2）多次求导，利用导数与函数单调性的关系转化问题为，再由即可得解.
【详解】（1）当时，，定义域为，
设，则，
所以函数在单调递增，在上单调递减，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，，当且仅当时等号成立，
所以，且等号不同时成立，所以；
（2）函数，，
若存在极值点，则，所以，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
由，不妨设，
若，则；
若，由可得，则，
所以，即对恒成立，
令，则，
则
，
设，则，
，
令，，
则，
，
令，
则，
令，则，
当时，令，
则
，
设，
所以，所以，
所以当时，，单调递增，，单调递增，
，单调递增，，单调递减，，
，符合题意；
当时，，存在，单调递减，，
，，单调递增，，，
不符合题意；
所以，由单调递增可得.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过多次求导，利用导数与函数单调性的关系转化不等关系.
6．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【分析】（1）分，讨论，当时，求的最小值，根据可得；
（2）将问题转化为有两个零点，先利用导数研究两个零点的范围，然后由，，作商取对数得.若选①，令，构造函数，若选②，构造函数，根据极值点偏移问题的方法可证；若选③，构造函数，由单调性可证.
【解析】（1）当时，，
当时，因为，所以此时不合题意；
当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
要，只需，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，则由得，
所以，故实数b的取值范围为．
（2）当时，，，
令，则，
因为函数有两个极值点，，所以有两个零点，
若，则，单调递增，不可能有两个零点，所以，
令得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
因为有两个零点，所以，则，
设，因为，，则，
因为，所以，，
则，取对数得，
令，，则，即
①令，则，因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
令，
则，在上单调递减，
因为，所以，即，
亦即，
因为，，在上单调递增，所以，
则，整理得，
所以，故①成立
②令，则，
因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
令，则，在上单调递增，
又，所以当时，，即，
因为，，在上单调递增，所以，
所以，即，
所以，
即，故②成立．
③令，，则，
令，则，
∴在上单调递增，则，
∴，则，
两边约去后化简整理得，即，
故③成立．
【点睛】双变量的不等式证明问题，主要通过换元构造函数，利用单调性证明即可.本题属极值点偏移问题，关键在于构造适当的对称函数.
7．（2022·安徽淮北·统考一模）已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：.
【分析】（1）先求定义域，再求导，对进行分类讨论，利用导函数的正负，求出函数的单调性；（2）对要证明的不等式进行变形，然后构造函数进行证明.
【解析】（1），.
①当时，恒成立，单调递增；
②当时，由得，，单调递增，
由得，，单调递减.
综上：当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）∵在上有两个不相等的零点，，不妨设，
∴在上有两个不相等的实根，
令，，∴，
由得，，单调递减，由得，，单调递增，
，，，，
∴
要证，即证，又∵，
只要证，即证，
∵，即证
即证，即证，即证
令，，∴，
令，，则，当时，恒成立，所以在上单调递增，又，∴，∴，∴
∴在上递增，∴，∴
∴.
【点睛】极值点偏移问题，需要构造函数，利用函数单调性及极值，最值等进行求解.
8．（2021·浙江·模拟预测）已知函数.
(1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：；
(3)设函数的两个零点、，求证：.
【分析】（1）利用参变量分离法得出，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围；
（2）证明出，即可证得结论成立；
（3）分析可得，证得，利用基本不等式可得出，构造函数，分析看可知函数在上为增函数，分析得出，结合函数的单调性可证得结论成立.
【详解】（1）解：由可得，可得，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，，所以，；
（2）解：要证，即证，
由（1）可知，，当且仅当时，等号成立，
令，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，，
因为和取等的条件不同，故，即；
（3）解：由题知①，②，
①②得③，
②①得④.
③④得，
不妨设，记.
令，则，
所以在上单调递增，
所以，则，即，
所以.
因为
，
所以，即.
令，，则在上单调递增.
又，
所以，即，所以.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
9．（2022·河南郑州·校联考二模）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，且，证明：．
【分析】（1）求出，得出当时，；当时即可求解；（2）通过分析法将原问题转化为证明，构造，利用导数研究其单调性即可.
【详解】（1），，
由得，
当时，；当时，
∴在上单调递增，在上单调递减．
（2）∵，且，
∴由（1）知，不妨设．
要证，只需证明，
而，在上单调递减，
故只需证明．
又，∴只需证明．
令函数，
则.
当时，，，故，
∴在上单调递增，
故在上，
∴成立，故成立．
10．（2021·全国·模拟预测）已知函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围．
（2）若函数的两个零点为，，证明：．
【分析】（1）分离常数后构造函数，求导后利用函数的单调性求得函数的最小值即可得出结论；（2）要证，即要证，即证．构造函数，求导后利用函数的单调性求解即可.
【详解】（1）解：因为恒成立，所以，
即恒成立．
令，则，
易知在上单调递增，且．
所以当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故．
（2）证明：由题意可知方程的两根为，．
令，则的两个零点为，．
．
当时，，在上单调递增，不存在两个零点；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，得．
设，则，．
因为，所以，．
要证，即要证，即证．
令
，．
则，所以在上单调递减，所以．
因为，所以．
因为，，且在上单调递减，
所以，即，故成立．
思路引导
母题呈现
模拟训练
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极值点偏移问题
极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有构造对称函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色．
1. 已知函数f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)所示．
2. 若≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)所示．
图(1)
(无偏移，左右对称，二次函数)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2x0
图(2)
(左陡右缓，极值点向左偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>2x0
图(3)
(左缓右陡，极值点向右偏移)若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2<2x0
考法1 对称构造法求极值点偏移问题
【例1】(2022·启东模拟)已知函数，若有两个不同的零点、．证明：
【解题指导】由→令→求导→由的单调性→函数求导→分析的单调性→得到结论
【例2】（2022·黑龙江·鹤岗一中高三期末）已知函数有两个不同的零点，求证：.
【解题指导】→函数求导→分析的单调性→得到结论
【解题技法】对称变换求极值点偏移的三步骤
第一步：求导，获得的单调性,极值情况,作出的图像,由得,的取值范围；
第二步：构造辅助函数（对结论,构造；对结论,构造）,求导,限定范围（或的范围）,判定符号,获得不等式；
第三步：代入（或）,利用及的单调性证明最终结论．
【跟踪训练】（2022·山东省青岛二中高三模拟）已知函数，．
（1）若函数有两个零点，求的取值范围；
（2）设，是函数的两个零点，证明：．
考法2 消参减元法求极值点偏移问题
【例3】已知函数,为常数,若函数有两个零点，试证明：
【解题指导】由函数f(x)有两个零点x1、x2→lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0→→转化为证lnx1+lnx2＞2→lnx1+lnx2＝a（x1+x2）→证明（x1＞x2）→换元后利用导数得到证明．
【例4】（2022届广东省普宁市高三期中）已知函数,存在,有成立,证明：．
【解题指导】由→→令→转化为证lnx1+lnx2＞2→lnx1+lnx2＝a（x1+x2）→证明（x1＞x2）→换元后利用导数得到证明．
【解题技法】含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元的基础上,又多了一个参数,故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数.由于可导函数的极值点是的零点,也是方程的实根,所以有些与零点或方程实根有关的问题可以利用求解极值点偏移问题的方法去解决.
【跟踪训练】
已知函数有两个零点，．证明：．
考法3 比（差）值换元法求极值点偏移问题
【例5】已知函数，如果，且．证明：．
【解题指导】函数求导→函数的单调性→由→→令→→→→函数→利用导数求得函数的单调性与最值→得到结论.
【例5】（2022·山东枣庄滕州一中高三模拟）已知f(x)＝xlnx－mx2－x，若f(x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1x2＞e2(e为自然对数的底数)．
【解题指导】f(x)求导→极值点为→→→→→→可证得结论.
【解题技法】比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用t表示)表示两个极值点，继而将所求解问题转化为关于t的函数问题．
【跟踪训练】
（2022届黑龙江省大庆市高三二模）已知函数，若有两个相异零点,求证：.
1．（2023·山西晋中·统考二模）已知函数．
(1)讨论在上的单调性；
(2)若时，方程有两个不等实根，，求证：．
2．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知函数
(1)若时，求的最值；
(2)若函数，且为的两个极值点，证明：
3．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，证明：.
4．（2022·湖南永州·统考一模）已知，
(1)不等式对任意恒成立，求的取值范围；
(2)当有两个极值点时，求证：.
5．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）已知函数．
(1)当时，证明；
(2)若存在极值点，且对任意满足的，都有，求a的取值范围．
6．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）已知函数，其中a，b为常数，为自然对数底数，．
(1)当时，若函数，求实数b的取值范围；
(2)当时，若函数有两个极值点，，现有如下三个命题：
①；②；③；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
7．（2022·安徽淮北·统考一模）已知函数，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在上有两个不相等的零点，求证：.
8．（2021·浙江·模拟预测）已知函数.
(1)设函数，且恒成立，求实数的取值范围；
(2)求证：；
(3)设函数的两个零点、，求证：.
9．（2022·河南郑州·校联考二模）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，且，证明：．
10．（2021·全国·模拟预测）已知函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围．
（2）若函数的两个零点为，，证明：．
思路引导
母题呈现
模拟训练
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