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利用导数研究函数的零点
利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0.
考法1 数形结合法研究函数的零点
【例1】已知函数f(x)＝xex＋ex，讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数．
【解题指导】函数求导→确定极值点→分析的单调性→画出的草图探讨零点个数
【例2】设函数f(x)＝ln x＋（m∈R），讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．
【解题指导】函数求导→令→构造函数→函数求导→分析的单调性→画出的草图探讨零点个数
【解题技法】含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．
【跟踪训练】已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．如果关于x的方程g(x)＝2exf(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
考法2 函数性质法研究函数的零点
【例3】已知函数h(x)＝x2＋4－4（xsin x＋cos x），试证明h(x)在R上有且仅有三个零点．
【解题指导】确定函数是偶函数→求→是零点→求导→函数在的单调性与最值→函数在时零点个数确定在R上零点个数
【例4】（2022·全国乙（文）T20节选） 已知函数．若恰有一个零点，求a的取值范围．
【解题指导】函数求导→对分类讨论→函数分析函数单调性→由一个零点的情况，确定范围
【解题技法】利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
【跟踪训练】(2020·全国Ⅲ卷T22改编)设函数f(x)＝x3－x＋c，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
考法3 构造函数法求函数的零点
【例5】已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．证明：f(x)只有一个零点．
【解题指导】=0→构造函数→函数求导→分析函数单调性→确定只有一个零点
【例6】（2022·全国乙（理）T21节选）已知函数，若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
【解题指导】求导→构造函数→对a分类讨论→求导→分析函数单调性→确定的取值范围
【解题技法】涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．
【跟踪训练】(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)．
(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
1．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的值．
2．（2023·河南·统考模拟预测）设函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，判断函数的零点个数，并说明理由.
3．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数.
(1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若，证明：函数有两个零点.
参考数据：
4．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，讨论函数的零点个数.
5．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数，求证：
(1)存在唯一零点；
(2)不等式恒成立．
6．（2023·上海·统考模拟预测）函数，且.
(1)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明；
(2)，且在上有零点，求的取值范围.
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．
(1)证明：为增函数的充要条件是；
(2)若函数有3个零点，求a的取值范围．
8．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知，函数．
(1)若和的最小值相等，求的值；
(2)若方程恰有一个实根，求的值．
9．（2023·云南·统考模拟预测）已知函数在点处的切线l与直线垂直.
(1)求切线l的方程；
(2)判断在上零点的个数，并说明理由.
10．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.
思路引导
母题呈现
模拟训练
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利用导数研究函数的零点
利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象．再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0.
考法1 数形结合法研究函数的零点
【例1】已知函数f(x)＝xex＋ex，讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数．
【解题指导】函数求导→确定极值点→分析的单调性→画出的草图探讨零点个数
【解析】函数的定义域为，且
令f(x)＝0，得x＝－1，当x<－1时，f(x)<0；
当x>－1时，f(x)>0，且f(x)的图象经过点，(－1,0)，(0,1)．
当x→－∞时，与一次函数相比，指数函数y＝e－x增长更快，从而f(x)＝→0；
【卡壳点】极限思想的应用
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞，根据以上信息，画出f(x)大致图象如图所示．
INCLUDEPICTURE "G:\\2022\\一轮\\数学人A（新教材）\\word\\3-22.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "G:\\2022\\一轮\\数学人A（新教材）\\word\\3-22.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\2022\\一轮\\数学人A（新教材）\\word\\3-22.TIF" \* MERGEFORMATINET
【易错点】忽视图象过（0,1）点
函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数为y＝f(x)的图象与直线y＝a的交点个数．
当x＝－2时，f(x)有极小值f(－2)＝－.
∴关于函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点个数有如下结论：
当a<－时，零点的个数为0；
当a＝－或a≥0时，零点的个数为1；
当－
【例2】设函数f(x)＝ln x＋（m∈R），讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．
【解题指导】函数求导→令→构造函数→函数求导→分析的单调性→画出的草图探讨零点个数
【解析】由题意知g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，
【易错点】忽视定义域
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．
【卡壳点】分离参数，构造新函数
设φ(x)＝－x3＋x(x>0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，
因此x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.
结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知，
INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\数学\\人教A版新教材新高考\\03\\3-17.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\数学\\人教A版新教材新高考\\13\\3-17.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\数学\\人教A版新教材新高考\\13\\已调\\3-17.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\2021\\看PPT\\数学 人A 新教材 新高考\\word\\3-17.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\数学\\人教A版新教材新高考(鲁)\\全书完整的Word版文档\\3-17.TIF" \* MERGEFORMATINET
①当m>时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0【解题技法】含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．
【跟踪训练】已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．如果关于x的方程g(x)＝2exf(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围．
【解析】方程g(x)＝2exf(x)可化为－x2＋ax－3＝2xln x，即a＝2ln x＋x＋.
令φ(x)＝2ln x＋x＋，x∈，
∴φ′(x)＝＋1－＝＝，
∵当x∈时，φ′(x)<0，当x∈(1，e]时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在上单调递减，在(1，e]上单调递增．
∴φ(x)min＝φ(1)＝4，
又φ＝3e＋－2，φ(e)＝＋e＋2，且φ>φ(e)
∴画出y＝φ(x)的图象如图所示．
INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\数学\\人教A版新教材新高考\\03\\3-18.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\数学\\人教A版新教材新高考\\13\\3-18.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\数学\\人教A版新教材新高考\\13\\已调\\3-18.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\2021\\看PPT\\数学 人A 新教材 新高考\\word\\3-18.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\E\\吕芳\\2021\\一轮\\数学\\人教A版新教材新高考(鲁)\\全书完整的Word版文档\\3-18.TIF" \* MERGEFORMATINET
则4故实数a的取值范围是.
考法2 函数性质法研究函数的零点
【例3】已知函数h(x)＝x2＋4－4（xsin x＋cos x），试证明h(x)在R上有且仅有三个零点．
【解题指导】确定函数是偶函数→求→是零点→求导→函数在的单调性与最值→函数在时零点个数确定在R上零点个数
【证明】h(x)＝x2＋4－4xsin x－4cos x，
∵h(－x)＝x2＋4－4xsin x－4cos x＝h(x)，
∴h(x)为偶函数．又∵h(0)＝0，∴x＝0为函数h(x)的零点．
下面讨论h(x)在(0，＋∞)上的零点个数：
h(x)＝x2＋4－4xsin x－4cos x＝x(x－4sin x)＋4(1－cos x)．
当x∈[4，＋∞)时，x－4sin x>0,4(1－cos x)≥0，
∴h(x)>0，∴h(x)无零点；
当x∈(0,4)时，h′(x)＝2x－4xcos x＝2x(1－2cos x)，
当x∈时，h′(x)<0；当x∈时，h′(x)>0，
∴h(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴h(x)min＝h＝＋4－sin －4cos ＝＋2－<0，
又h(0)＝0，且h(4)＝20－16sin 4－4cos 4>0，
∴h(x)在上无零点，在上有唯一零点．
综上，h(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，
又h(0)＝0且h(x)为偶函数，
故h(x)在R上有且仅有三个零点．
【例4】（2022·全国乙（文）T20节选） 已知函数．若恰有一个零点，求a的取值范围．
【解题指导】函数求导→对分类讨论→函数分析函数单调性→由一个零点的情况，确定范围
【解析】，则，
【卡壳点】如何对参数a进行讨论：（1）系数是否为0；（2）确定与1的大小
当时，，所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，此时函数无零点，不合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；
又，当x趋近正无穷大时，趋近于正无穷大，
所以仅在有唯一零点，符合题意；
当时，，所以单调递增，又，
所以有唯一零点，符合题意；
当时，，在上，，单调递增；
在上，，单调递减；此时，
又，当n趋近正无穷大时，趋近负无穷，
【卡壳点】考虑指数函数爆炸增长，趋近负无穷
所以在有一个零点，在无零点，
所以有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为.
【解题技法】利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
【跟踪训练】(2020·全国Ⅲ卷T22改编)设函数f(x)＝x3－x＋c，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
【证明】由f(x)＝x3－x＋c，f′(x)＝3x2－.令f′(x)＝0，解得x＝－或x＝.
f′(x)与f(x)的情况为：
x －
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? c＋ ? c－ ?
因为f(1)＝f＝c＋，
所以当c<－时，f(x)只有大于1的零点.
因为f(－1)＝f＝c－，
所以当c>时，f(x)只有小于－1的零点.
由题设可知－≤c≤.
当c＝－时，f(x)只有两个零点－和1.
当c＝时，f(x)只有两个零点－1和.
当－x3∈.
综上，若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，则f(x)所有零点的绝对值都不大于1.
考法3 构造函数法求函数的零点
【例5】已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．证明：f(x)只有一个零点．
【解题指导】=0→构造函数→函数求导→分析函数单调性→确定只有一个零点
【解析】因为x2＋x＋1>0在R上恒成立，
所以f(x)＝0等价于－3a＝0.
【技巧】等价转化，分离参数
设g(x)＝－3a，
则g′(x)＝≥0在R上恒成立，
当且仅当x＝0时，g′(x)＝0，
【快解】注意到
所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6－<0，
f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．
综上所述，f(x)只有一个零点．
【例6】（2022·全国乙（理）T21节选）已知函数，若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
【解题指导】求导→构造函数→对a分类讨论→求导→分析函数单调性→确定的取值范围
【解析】
设
【卡壳点】为什么构造函数？分母恒大于零，只需考虑分子即可
若,当,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若,当,则
所以在上单调递增所以,即
所以在上单调递增,
故在上没有零点,不合题意
若
(1)当,则,所以在上单调递增
所以存在,使得,即
当单调递减
当单调递增
所以当
当
所以在上有唯一零点
又没有零点,即在上有唯一零点
(2)当
设
所以在单调递增
所以存在,使得
当单调递减
当单调递增
又
所以存在,使得,即
当单调递增,当单调递减
有
【注意点】运用极限思想
而,所以当
所以在上有唯一零点,上无零点
即在上有唯一零点
所以,符合题意
所以若在区间各恰有一个零点,求的取值范围为
【解题技法】涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．
【跟踪训练】(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)．
(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝(x>0)，
f′(x)＝(x>0)，
令f′(x)>0，则0令f′(x)<0，
则x>，此时函数f(x)单调递减，
所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，
可转化为方程＝1(x>0)有两个不同的解，即方程＝有两个不同的解．
设g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝(x>0)，
令g′(x)＝＝0，得x＝e，
当00，函数g(x)单调递增，
当x>e时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，
故g(x)max＝g(e)＝，
且当x>e时，g(x)∈，
又g(1)＝0，所以0<<，所以a>1且a≠e，
即a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞)．
1．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个零点，求a的值．
【分析】（1）求导，通过，判断导数方程两根大小，数形结合判断函数单调性.
（2）根据函数单调性可判断函数有两个零点时是极值为时，求出极值解方程可得.
【详解】（1）
，
当单调递增，
当，单调递减，
当单调递增.
综上所述，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）情况一：若,即时,由的单调性,其在上恒为正,无零点,
在增区间至多有一个零点,不符题意.
情况二：若,即时,
由于,由零点存在定理,在区间上存在一个零点，
取,则,
，
当时,,由于在区间上单调递增,
故在恒为正,无零点,由零点存在定理,在区间上存在一个零点,符合题意，
情况三：若,即时,同情况二可得在增区间恒为正,无零点,
仅有一个零点,不符题意，
综上,的取值范围是.
【点睛】思路点睛：本题第二问在于合理地分类讨论，结合函数单调性，连续性，利用零点存在定理证明每类情况时的零点个数.
2．（2023·河南·统考模拟预测）设函数.
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，判断函数的零点个数，并说明理由.
【分析】（1）求出函数的定义域及导数，再分类讨论求出的单调性作答.
（2）把代入求出，利用导数结合零点存在性定理探讨函数的零点个数作答.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
若，由得或，由得，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增，
若，由得或，由得，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减.
（2）当时，函数有且只有一个零点.
，显然函数在上单调递增，
而，则存在唯一使得，即，
当时，，即，当时，，即，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，当时，取得极大值，
，
而当时，，于是在上无零点，
因为，因此在上有唯一零点，
所以函数在上有唯一零点.
【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
3．（2023·江西赣州·统考一模）已知函数.
(1)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若，证明：函数有两个零点.
参考数据：
【分析】（1）由题设可得在上恒成立，进而研究的单调性并求最值，即可得参数范围；
（2）应用零点存在性定理判断在上的零点，根据其符号确定的单调性并得到极值，进而判断其零点分布，即可证结论.
【详解】（1）由在上单调递减，则在上恒成立，
令且x > 0，则，故在上单调递增，
要使在上恒成立，则，解得，
即所求的实数的取值范围为
（2）由（1）知：在上单调递增，
因为，所以，
所以函数在上存在唯一零点，即，此时，
当时单调递减；时单调递增，
又，
记，则，
所以在上递减，则，
所以，又，
所以在、上各有一个零点，即在上有两个零点.
【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
4．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，讨论函数的零点个数.
【分析】（1）求导得到，根据导函数的正负得到单调区间.
（2）求导得到，确定函数的单调区间，计算和，得到和，考虑，，，，几种情况，计算零点得到答案.
【详解】（1）当时，，
当时，；当时，；当时，，
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为.
（2），
令，得或，由于，
当时，；当时，，当时，.
所以函数的单调增区间为和，单调减区间为.
，
令，得，
当时，，又，
所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点；
当时，，又，
所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和；
令，得，
现说明，即，即显然成立.
因为，故，
当时，，又.
所以存在唯一，唯一，唯一，
使得，此时函数有3个零点，
当时，，又.
所以存在唯一，使得，此时函数有2个零点和2 .
当时，，又.
所以存在唯一，使得，此时函数有1个零点.
综上所述，当时，函数有1个零点；
当时，函数有2个零点；
当 时，函数有3个零点；
当时，函数有2个零点；
当时，函数有1个零点.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的单调性问题，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定函数的单调区间，根据函数值分类讨论确定零点个数是解题的关键，分类讨论是常用的方法，需要熟练掌握.
5．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数，求证：
(1)存在唯一零点；
(2)不等式恒成立．
【分析】（1）由导数得出的单调性，结合零点存在性定理证明即可；
（2）先证明，再由的单调性，证明不等式即可.
【详解】（1），.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
所以，即.
所以在上单调递增，.
则在上，存在，使得，即存在唯一零点；
（2），
令，.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减；
即，故.
因为函数在上单调递增，所以.
即.
故不等式恒成立.
【点睛】关键点睛：在证明第二问时，关键是由导数证明，再利用函数的单调性证明，在做题时，要察觉到这一点.
6．（2023·上海·统考模拟预测）函数，且.
(1)判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明；
(2)，且在上有零点，求的取值范围.
【分析】（1）由题意解出的值，再利用单调性的定义证明即可；
（2）转化问题为在上有解，则有解，利用导函数求的单调性，进而求得取值范围即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，所以，
在上单调递增，证明如下：
任取，则，
因为在上单调递增，且，
所以，，
所以，即，
所以在上单调递增.
（2）由（1）得，
在上有零点，即在上有解，则有解，
令，则，
令解得，令解得，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，没有最大值，
所以.
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知函数．
(1)证明：为增函数的充要条件是；
(2)若函数有3个零点，求a的取值范围．
【分析】（1）根据函数单调性与导数的关系，从充分性与必要性两方面证明即可；
（2）对进行讨论，结合导数确定函数的单调性，验证零点个数进行取舍，即可得a的取值范围．
【详解】（1）证明：充分性，函数的定义域为，
当时，，所以为上的增函数．
必要性，当为增函数时，恒成立，
即恒成立，又，所以，证毕．
（2）①由（1）知，当时，函数没有3个零点；
②若恒成立，则恒成立，所以，不合题意；
③当肘，，方程，，
设其两根为，，有，，
从而在，上，单调递减，在上，单调递增，，，，．
由，，得，
令，，，，
因为，，所以，在上单调递减，
所以．
由，有，所以，
即，在上存在唯一零点；，，
令，，，
由在上单调递减，
所以在上单调递增，
，
即，所以在上存在唯一零点；
综上所述，若函数有3个零点，则．
【点睛】本题考查了函数单调性与零点问题与导数的综合，属于中等难度题.解决本题零点的关键是对参数进行分类讨论，确定函数的单调性，其中需要结合含参不等式问题验证单调性，二次函数得函数极值点，确定单调性，验证零点时用到零点存在定理得“隐零点”等.
8．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）已知，函数．
(1)若和的最小值相等，求的值；
(2)若方程恰有一个实根，求的值．
【分析】（1）利用导数求出，的最小值，令其相等，可得答案；
（2）方程恰有一个实根，相当于恰有一个零点.利用导数及零点存在性定理，分三种情况下，
的零点情况即可.
【详解】（1）因，则.
.
则在上单调递减，在上单调递增，
故.
因，则.
.
则在上单调递减，在上单调递增，
故.
令
.则若和的最小值相等，.
（2）由，可得，
即，令，.
则方程恰有一个实根，相当于恰有一个零点.
则.
或（舍去）.
令，则.
得在上单调递减，在上单调递增.
则.
令，则，
得在上单调递减，又，则当时，，
时，.
则当时，，
，此时无零点，不合题意；
当时，，
此时有唯一零点1，则满足条件；
当时，，
，又，.
则，
得，.
又令，，
得在上单调递增，又，.则.
.令.
则，令，.
得在上单调递增，则，
得在上单调递增，则.
又，则.则.
得，.则当时，有2个零点，不合题意.
综上，方程恰有一个实根时，.
【点睛】关键点点睛：本题涉及利用导数求最值及用导数及零点存在性定理研究函数的零点，难度较大.
（1）适当的变形后，可将多余的a消去，后可解出相关方程；
（2）零点问题，常涉及单调性与零点存在性定理，先利用单调性判断零点的大致个数，再利用零点存在性定理确定零点所在范围.
9．（2023·云南·统考模拟预测）已知函数在点处的切线l与直线垂直.
(1)求切线l的方程；
(2)判断在上零点的个数，并说明理由.
【分析】（1）首先求函数的导数，然后利用垂直关系求实数a的值，最后求切线方程；
（2）利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理，讨论函数的零点个数.
【详解】（1），
所以切线的斜率，由题意，解得.
所以，
所以，
所以切线l的方程为，即.
（2）由（1）知，所以，
由，可得，
令，
所以，
①当时，，
所以，
所以在上单调递增，
又因为，
所以在上无零点，
②当时，令，
所以，即在上单调递减，
又因为，
所以存在，使得，
所以在上单调递增，在单调递减，
因为，
所以在上且只有一个零点，
综上所述：在上有且只有一个零点.
10．（2023·陕西西安·统考一模）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)若函数在上有且仅有个零点，求的取值范围.
【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程；
（2）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（3）由可得，令，分析可知直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，，
所以，，，故曲线在点处的切线方程为.
（2）解：，则.
当时，，在上单调递增；
当时，由，得，
若，则；若，则.
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（3）解：当时，由可得，令，其中，
则直线与函数在上的图象有两个交点，
，当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减.
所以，函数的极大值为，且，，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
思路引导
母题呈现
模拟训练
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