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洛必达法则
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则。
法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) f(x)＝0及 g(x)＝0；
(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3) ＝A，那么 ＝ ＝A.
法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) f(x)＝∞及 g(x)＝∞；
(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3) ＝A，那么 ＝ ＝A.
类型一：用洛必达法则处理型函数
【例1】已知函数，当时，，求的取值范围.
【解析】当时，，即.
①当时，；
②当时，等价于，也即.
记，，则.
记，，则，因此在上单调递增，且，所以；
从而在上单调递增，所以.
由洛必达法则有：，
即当时，，所以，即有.
综上所述，当，时，成立.
【方法总结】用洛必达法则处理型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“”型式子；3.运用洛必达法则求值
【针对训练】若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】当时，恒成立；
当时，恒成立，
令，则；
令， 则；
令，则；
得在是减函数，故，进而
（或，，得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．
类型二：用洛必达法则处理型函数
【例2】已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)，若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．
【解析】当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0 a<．令H(x)＝，
则H′(x)＝＝，
令K(x)＝x－－2ln x，则K′(x)＝>0，
于是K(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以K(x)>K(1)＝0，于是H′(x)>0，
从而H(x)在(1，＋∞)上单调递增．
由洛必达法则，可得＝＝＝2，
于是a≤2，所以a的取值范围是(－∞，2]．
【方法总结】用洛必达法则处理型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“”型式子；3.运用洛必达法则求值
【针对训练】设函数，若当时，求的取值范围
【解析】当时，，对任意实数a,均在；
当时，等价于
令,则，
令，则，，
知在上为增函数，；
知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。
由洛必达法则知，，
故综上，知a的取值范围为。
1.已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1), ；
函数在处取得极值， ；
又曲线在点处的切线与直线垂直，；
解得：；
（2）不等式恒成立可化为，即；
当时，恒成立；当时，恒成立，
令，则；
令， 则；
令，则；
得在是减函数，故，进而
（或，，
得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，
而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，
变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．
2.已知函数.
（1）若在时有极值，求函数的解析式；
（2）当时，，求的取值范围.
【解析】（1）因为，所以
由在处取极值，得，求得，所以.
（2）当时，，即.
①当时，；
②当时，等价于，也即.
记，，则.
记，，则，
因此在上单调递增，且，所以；
从而在上单调递增，所以.
由洛必达法则有：，
即当时，，所以，即有.
综上所述，当，时，成立.
3.已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围。
【解析】（1）略
（2）由题设可得，当时，k<恒成立。
令g (x)= (),则，
再令()，则，，
易知在上为增函数，且；
故当时，，当x（1，+）时，；
在上为减函数，在上为增函数；故>=0，
在上为增函数，=0，
当时，，当x（1，+）时，，
当时，，当x（1，+）时，，
在上为减函数，在上为增函数，
由洛必达法则知，
自编：若不等式对于恒成立，求的取值范围.
，即k的取值范围为（- 自编：若不等式对于恒成立，求的取值范围.
，0]
4.已知函数，当时，若，都有恒成立，求的取值范围.
【解析】当时，恒成立 ，等价于恒成立
令 则，再令，
由得， 当时，<0,
在单调递减， ，即，
在单调递增，，即，
，，
在单调递增，
由洛必达法则可得==1，
，1，要使恒成立，只需，
的取值范围是
5.若不等式对于恒成立，求的取值范围.
【解析】当时，原不等式等价于.
记，则.
记，则.
因为，
，所以在上单调递减，且，
所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，
且，故，因此在上单调递减.
由洛必达法则有，
即当时，，即有.
故时，不等式对于恒成立.
6.设函数.设当时，，求的取值范围.
【解析】由题设，此时.
①当时，若，则，不成立；
②当时，当时，，即；
若，则；
若，则等价于，即.
记，则.
记，则，.
因此，在上单调递增，且，所以，
即在上单调递增，且，所以.
因此，所以在上单调递增.
由洛必达法则有，即当时，
，即有，所以.综上所述，的取值范围是.
7.设函数，若当时，求的取值范围.
【解析】当时，，对任意实数a,均在；
当时，等价于
令,则，令，
则，，
知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。
由洛必达法则知，，故
综上，知a的取值范围为。
8.已知函数，．
（1）若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；
（2）若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)∵函数在R上单调递增，
∴恒成立，∴，即，∴.
(2)∵，∴函数，
由对任意都成立，得恒成立.
即恒成立.
①当，恒成立；
②当，恒成立；
③当时，即：恒成立；
令，
则
，
∴在上单调递增；
∴（行不通，洛必达法则），
所以：
9.设函数．如果对任何，都有，求的取值范围．
【解析】，
若，则；
若，则等价于，即
则.
记，
因此，当时，，在上单调递减，且，
故，所以在上单调递减，
而.
另一方面，当时，，
因此.
思路引导
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“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现型或型可以考虑使用洛必达法则。
法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) f(x)＝0及 g(x)＝0；
(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3) ＝A，那么 ＝ ＝A.
法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：
(1) f(x)＝∞及 g(x)＝∞；
(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；
(3) ＝A，那么 ＝ ＝A.
类型一：用洛必达法则处理型函数
【例1】已知函数，当时，，求的取值范围.
【方法总结】用洛必达法则处理型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“”型式子；3.运用洛必达法则求值
【针对训练】若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
类型二：用洛必达法则处理型函数
【例2】已知函数f(x)＝(x＋1)lnx－a(x－1)，若当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．
【方法总结】用洛必达法则处理型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“”型式子；3.运用洛必达法则求值
【针对训练】设函数，若当时，求的取值范围
1.已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
2.已知函数.
（1）若在时有极值，求函数的解析式；
（2）当时，，求的取值范围.
3.已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围。
4.已知函数，当时，若，都有恒成立，求的取值范围.
5.若不等式对于恒成立，求的取值范围.
6.设函数.设当时，，求的取值范围.
7.设函数，若当时，求的取值范围.
8.已知函数，．
（1）若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；
（2）若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围．
9.设函数．如果对任何，都有，求的取值范围．
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