7.5正态分布
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
①若随机变量的概率分布列为，则；②若随机变量，，则；③若随机变量，则；④在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X表示取到的次品数，则
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．设随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越大，男生成绩在的概率越小
B．越大，男生成绩大于72的概率为0.5
C．越大，男生成绩小于71.99与大于72.01的概率相等
D．越大，男生成绩落在与落在的概率相等
5．为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布.试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于95的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：，，
A．0.135% B．1.35% C．3.15% D．3.35%
6．已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（注：正态曲线的函数解析式为，）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
8．设随机变量服从正态分布，函数有零点的概率是0.5，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
9．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知三个随机变量的正态密度函数（，）的图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
12．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（ ）
A．756 B．748 C．782 D．764
二、多选题
13．下列说法正确的是（ ）
A．正态曲线中参数，的意义分别是样本的均值与方差
B．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的
C．正态曲线可以关于y轴对称
D．若，则
14．若，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．不随的变化而变化
D．随的变化而变化
15．某次测试,经统计发现测试成绩服从正态分布,函数的图象为其正态密度曲线,则( )
A．这次测试的平均成绩为90
B．这次测试的成绩的方差为10
C．分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同
D．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同
16．已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为，）均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（ ）
参考数据: 若 , 则
，
A．
B．对于任意的正数，有
C．
D．
三、填空题
17．已知随机变量，，且，，则_________.
18．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________．
19．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为__________．
20．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
四、解答题
21．若，根据，，写出下列各概率值：
(1)；
(2)．
22．如图为某地成年男性体重的正态曲线，请写出其正态分布密度函数，并求．
附：若随机变量），则．
23．某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布N（μ，σ2），已知P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1
（Ⅰ）求P（75＜X＜95）；
（Ⅱ）现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
24．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），经数据分析得到如下结果：
坐公交车：平均用时30min，方差为36
骑自行车：平均用时34min，方差为4
(1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由.
(2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X和Y的概率密度曲线如图（a）所示，如果某天有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由.
（提示：（2）中X和Y的概率密度曲线分别反映的是X和Y的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图（b）中阴影部分的面积表示的就是X取值不大于38min时的概率.）
25．2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年．莲花村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查该村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村的养鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg，称重后计算得出这60条鱼质量（单位kg）的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg．称重后计算得出这40条鱼质量（单位kg）的平方和为117．
（1）请根据以上信息，求所捕捞100条鱼质量的平均数和方差；
（2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼质量X服从正态分布，用作为的估计值，用作为的估计值．随机从该鱼糖捕捞一条鱼，其质量在的概率是多少？
（3）某批发商从该村鱼塘购买了1000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记为捕捞的鱼的质量在的条数，利用（2）的结果，求的数学期望．
附：（1）数据，，…的方差，
（2）若随机变量X服从正态分布，则；；．
26．国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率达标.某市在实施垃圾分类的过程中，从本市社区中随机抽取了个进行调查，统计这个社区某天产生的垃圾量(单位：吨)，得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过吨的社区定为 “超标”社区.用样本估计总体.
垃圾量
频数
（1）估计该市社区在这一天垃圾量的平均值(同一组数据用该区向的中点值作代表)；
（2）若该市社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中，近似为个样本社区的平均值（精确到吨)，从该市社区中随机抽取个社区，设为“超标”社区的个数，求的分布列和数学期望(精确到).
附：若服从正态分布，则，；.
参考数据；，.
27．某校组织200名学生参加某学科竞赛（满分150分）.这200名学生的成绩频率分布表如下：
分组
频率 0.01 0.09 0.365 0.43 0.085 0.02
（1）求样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由频数分布表可以认为本次学科竞赛成绩Z近似服从正态分布，其中取样本平均值分数不小于97.5分可晋级下一轮比赛，试估算晋级人数（结果四舍五入，取整数）；
（3）本次学科竞赛的试题由25道选择题构成，每题6个选项，只有一个正确答案，答对得6分，不答得1.5分，答错不得分.学生甲能正确解答其中的15道题，剩余10道题每道题作答的概率为，作答的情况下他从6个选项中随机的选择其中一个作答.求甲的得分X的期望值.
附：若，则，，.
28．第二十二届世界杯足球赛，即2022年卡塔尔世界杯（FIFA World Cup Qatar．2022）足球赛，于当地时间11月20日19时（北京时间11月21日0时）至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行，赛程28天，共有32支参赛球队，64场比赛．它是首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、首次由从未进过世界杯决赛圈的国家举办的世界杯足球赛．某高校为增进师生对世界杯足球赛的了解，组织了一次知识竞赛，在收回的所有竞赛试卷中，抽取了100份试卷进行调查，根据这100份试卷的成绩（满分100分），得到如下频数分布表：
成绩（分）
频数 2 5 15 40 30 8
(1)求这100份试卷成绩的平均数；
(2)假设此次知识竞赛成绩X服从正态分布．其中，近似为样本平均数，近似为样本方差．已知s的近似值为5.5，以样本估计总体，假设有的学生的知识竞赛成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？
(3)知识竞赛中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望．
参考数据：若，则：；；．7.5正态分布
一、单选题
1．下列说法正确的是（ ）
①若随机变量的概率分布列为，则；②若随机变量，，则；③若随机变量，则；④在含有4件次品的10件产品中，任取3件，X表示取到的次品数，则
A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【分析】根据分布列的性质即可判断①，利用正态分布密度曲线判断②，根据二项分布的期望公式判断③，利用超几何分布判断④.
【解析】对于A，∴随机变量的概率分布为，
∴，
∴，∴，故①不正确；
对于B，，
∴，故②正确；
对于C，由，得，故③正确；
对于D，由题意，得，故④正确.
故选:D.
2．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由正态分布密度曲线的对称性，代入计算，即可得到结果.
【解析】根据题意可得，，
则.
故选:D
3．设随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题知，，进而根据正态分布的对称性求解即可.
【解析】解：因为随机变量，
所以，
因为，
所以，
所以，根据正态分布的对称性，.
故选：A
4．对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越大，男生成绩在的概率越小
B．越大，男生成绩大于72的概率为0.5
C．越大，男生成绩小于71.99与大于72.01的概率相等
D．越大，男生成绩落在与落在的概率相等
【答案】D
【分析】根据正态分布的对称性，的几何意义解决即可.
【解析】由题知，服从正态分布，
所以平均值为72，且和概率均为0.5，故B正确；
当越大，则成绩越分散，在固定范围的概率越小，故A正确；
因为，
所以成绩小于71.99与大于72.01的概率相等，故C正确；
因为成绩落在范围包括，且范围内概率不为0，
所以故D错误.
故选：D
5．为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布.试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于95的学生所占的百分比为（ ）
参考数据：，，
A．0.135% B．1.35% C．3.15% D．3.35%
【答案】A
【分析】根据正态分布的对称性求得正确答案.
【解析】依题意，
所以测试成绩不小于95的学生所占的百分比为.
故选：A
6．已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算，可判断函数的对称性，再计算，即可排除选项.
【解析】或，因为，
所以或，即或，
或或
因为服从标准正态分布，所以根据对称性可知，所以函数关于对称，故排除AC；
当时，，，所以或,因为，其中，，，根据原则可知，，所以排除B；
故选：D
7．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（注：正态曲线的函数解析式为，）
A．甲类水果的平均质量
B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数
【答案】A
【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得.
【解析】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，
所以，，，故A正确，C错误；
因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中），
所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；
因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误．
故选：A．
8．设随机变量服从正态分布，函数有零点的概率是0.5，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】由二次函数的性质，可得，再根据正态曲线的对称性，即可求解.
【解析】函数有零点，
即方程有实根，得，即，
因为函数有零点的概率是0.5，
所以，由正态曲线的对称性知．
故选：B
9．随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正态分布的性质即可求解.
【解析】解：由题意可知，则，
故图中阴影部分的面积为.
故选：C.
10．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解.
【解析】对于A中，随机变量服从正态分布，且，
可得随机变量的方差为，即，所以A错误；
对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，
所以，所以B错误；
对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积，
所以，所以C正确；
对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，，
即，所以D错误.
故选：C.
11．已知三个随机变量的正态密度函数（，）的图象如图所示，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】直接根据图像的对称轴，以及图像的胖瘦进行判断即可.
【解析】由题意知：正态曲线关于直线对称，且越大，对称轴越靠右，故，
又越小，数据越集中，图像越瘦高，故.
故选：D.
12．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（ ）
A．756 B．748 C．782 D．764
【答案】D
【分析】根据已知条件得即求，由正态曲线的对称性可得答案.
【解析】因为高三年级数学成绩平均分100，方差为36，所以，
所以，即，即求，
由，得，
所以，
那么成绩落在的人数大约为.
故选：D.
二、多选题
13．下列说法正确的是（ ）
A．正态曲线中参数，的意义分别是样本的均值与方差
B．正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的
C．正态曲线可以关于y轴对称
D．若，则
【答案】CD
【分析】根据正态曲线的相关定义，逐个选项进行判断即可得到答案
【解析】对于A，正态曲线中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计，故A错误；
对于B，正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是1，故B错误；
对于C，正态曲线关于直线对称，当时，正态曲线关于y轴对称，故C正确；
对于D，根据正态曲线的图像性质，，故D正确.
故选：CD
14．若，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．不随的变化而变化
D．随的变化而变化
【答案】AC
【分析】根据正态分布的性质对选项一一验证即可.
【解析】对于A、B：根据正态分布的对称性可得出与，故A正确，B错误；
对于C、D：根据正态分布的性质可得出与都不随的变化而变化，表示的概率为定值，故C正确，D错误；
综上：选项A、C正确，
故选：AC.
15．某次测试,经统计发现测试成绩服从正态分布,函数的图象为其正态密度曲线,则( )
A．这次测试的平均成绩为90
B．这次测试的成绩的方差为10
C．分数在110分以上的人数与分数在80分以下的人数相同
D．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同
【答案】AD
【分析】根据题意得:,根据正态分布的性质逐项分析判断.
【解析】由题意可得:,其中,
即正态分布的对称轴为,
所以A正确,C错误,D正确.
因为,方差为,B错误,
故选:.
16．已知两种不同型号的电子元件的使用寿命（分别记为，）均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列选项正确的是（ ）
参考数据: 若 , 则
，
A．
B．对于任意的正数，有
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据正态分布密度曲线关于对称，且越小图像越靠轴，越小图像越瘦长，以及原则即可逐一分析四个选项得出结论.
【解析】对于 A, ，故A选项正确;
对于 B, 对于任意的正数 , 由图象知 表示正态密度曲线与轴围成的面积始终大于 表示正态密度曲线与轴围成的面积, 所以 ; 故B选项正确;
对于 C, 由正态分布密度曲线,可知 ,由图象知 表示的面积始终大于表示的面积,所以 , 故C选项错误;
对于 D, 由正态分布密度曲线,可知 ,由图象知 表示的面积始终大于表示的面积,所以 ,选项D正确.
故选：ABD.
三、填空题
17．已知随机变量，，且，，则_________.
【答案】
【分析】由题意可得出，，由，可求出的值.
【解析】因为随机变量，所以，
，且，所以，
所以，解得：.
故答案为：
18．已知一试验田种植的某种作物一株生长果实的个数x服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量X，且X服从二项分布，则X的方差为_________．
【答案】2.1
【分析】由,利用正态分布的对称性求得,
则,利用二项分布的方差公式可得结果.
【解析】,且，，
,
,
由题意可得,
所以的方差为，
故答案为:2.1
19．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为__________．
【答案】5
【分析】求出取出的零件为合格品的概率，再利用二项分布的概率公式列出不等式，借助单调性求解作答.
【解析】因X服从正态分布，且，则，即每个零件合格的概率为，
合格零件不少于2件的对立事件是合格零件件数为0或1，合格零件件数为0或1的概率为，
依题意，，即，
令，则有，即单调递减，
而，，因此不等式的解集为，
所以n的最小值为5．
故答案为：5
20．设随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是______.（填序号）
①；
②；
③；
④.
【答案】②④##④②
【分析】随机变量服从正态分布，根据概率和正态曲线的性质，即可得到答案.
【解析】因为，所以①不正确；
因为
，
所以②正确，③不正确；
因为，所以，所以④正确.
故答案为：②④.
四、解答题
21．若，根据，，写出下列各概率值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正态分布的性质即可求解.
（2）利用正态分布的原则即可求解.
(1)
根据对称性，
.
(2)
22．如图为某地成年男性体重的正态曲线，请写出其正态分布密度函数，并求．
附：若随机变量），则．
【答案】
【解析】由题意得即得解.
【解析】由题意得
所以．
23．某市高二学生进行了体能测试，经分析，他们的体能成绩X服从正态分布N（μ，σ2），已知P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1
（Ⅰ）求P（75＜X＜95）；
（Ⅱ）现从该市高二学生中随机抽取3位同学，记抽到的3位同学中体能测试成绩不超过75分的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【答案】见解析
【解析】解：（Ⅰ）∵体能成绩X服从正态分布N（μ，σ2），P（X≤75）=0.5，P（X≥95）=0.1，
∴P（75＜X＜95）=1﹣P（X≤75）﹣P（X≥95）
=1﹣0.5﹣0.1=0.4．
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=，
P（ξ=2）==，
P（ξ=3）==，
∴ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
E（ξ）==．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．
24．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间（样本数据），经数据分析得到如下结果：
坐公交车：平均用时30min，方差为36
骑自行车：平均用时34min，方差为4
(1)根据以上数据，李明平时选择哪种交通方式更稳妥？试说明理由.
(2)分别用X和Y表示坐公交车和骑自行车上学所用的时间，X和Y的概率密度曲线如图（a）所示，如果某天有38min可用，你应选择哪种交通方式？如果仅有34min可用，又应该选择哪种交通方式？试说明理由.
（提示：（2）中X和Y的概率密度曲线分别反映的是X和Y的取值落在某个区间的随机事件的概率，例如，图（b）中阴影部分的面积表示的就是X取值不大于38min时的概率.）
【答案】(1)李明平时选择骑自行车更稳妥，理由见详解；
(2)如果某天有38min可用，李明应选骑自行车；如果某天有34min可用，应选坐公交车；
理由见详解.
【分析】利用正态分布曲线的意义以及性质、方差意义即可解决.
【解析】（1）李明平时选择骑自行车更稳妥，
由已知得坐公交车平均用时30min，骑自行车平均用时34min，差距不大；但是坐公交车的方差为36，骑自行车的方差为4，由于方差越小，取值越集中，稳定性越高，波动性越小，则坐公交车所花费的时间不稳定，即李明平时选择骑自行车更稳妥.
（2）由图（a）中可知，X和Y的概率密度曲线可知
，
由此可知，如果某天有38min可用，那么李明坐公交车迟到的概率大于骑自行车迟到的概率，应选骑自行车；
由图（a）中可知，X和Y的概率密度曲线可知
，
由此可知，如果某天有34min可用，那么李明坐公交车迟到的概率小于骑自行车迟到的概率，应选坐公交车.
25．2020年是全面建成小康社会之年，是脱贫攻坚收官之年．莲花村是乡扶贫办的科学养鱼示范村，为了调查该村科技扶贫成果，乡扶贫办调查组从该村的养鱼塘内随机捕捞两次，上午进行第一次捕捞，捕捞到60条鱼，共105kg，称重后计算得出这60条鱼质量（单位kg）的平方和为200.41，下午进行第二次捕捞，捕捞到40条鱼，共66kg．称重后计算得出这40条鱼质量（单位kg）的平方和为117．
（1）请根据以上信息，求所捕捞100条鱼质量的平均数和方差；
（2）根据以往经验，可以认为该鱼塘鱼质量X服从正态分布，用作为的估计值，用作为的估计值．随机从该鱼糖捕捞一条鱼，其质量在的概率是多少？
（3）某批发商从该村鱼塘购买了1000条鱼，若从该鱼塘随机捕捞，记为捕捞的鱼的质量在的条数，利用（2）的结果，求的数学期望．
附：（1）数据，，…的方差，
（2）若随机变量X服从正态分布，则；；．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【分析】(1)根据题目中的数据先求出平均数，再结合给出的方差公式可求得方差.
(2)根据题意可得，则，根据题目给出的数据，结合正态分布曲线的性质可得答案.
(3) 由(2)可得鱼的质量在的概率为，则，由二项分布的数学期望公式可得答案.
【解析】解：（1），．
（2）该鱼塘鱼质量满足，其中，，即
则，
∴．
（3）由(2)可得鱼的质量在的概率为.
由题意可知，
由二项分布的数学期望公式可得，的数学期望为．
26．国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率达标.某市在实施垃圾分类的过程中，从本市社区中随机抽取了个进行调查，统计这个社区某天产生的垃圾量(单位：吨)，得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过吨的社区定为 “超标”社区.用样本估计总体.
垃圾量
频数
（1）估计该市社区在这一天垃圾量的平均值(同一组数据用该区向的中点值作代表)；
（2）若该市社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中，近似为个样本社区的平均值（精确到吨)，从该市社区中随机抽取个社区，设为“超标”社区的个数，求的分布列和数学期望(精确到).
附：若服从正态分布，则，；.
参考数据；，.
【答案】（1）22.76；（2）答案见解析.
【分析】（1）根据平均数的概念可以直接求出结果；
（2）由（1）知，由正态分布的密度曲线的性质求得，依题意可知，从而根据二项分布即可求得分布列与期望.
【解析】解：（1）样本数据各组的中点值分别为，
则
（2）由（1）知
所以
所以
由题知，
所以
，
.
所以的分布列为
所以.
27．某校组织200名学生参加某学科竞赛（满分150分）.这200名学生的成绩频率分布表如下：
分组
频率 0.01 0.09 0.365 0.43 0.085 0.02
（1）求样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）由频数分布表可以认为本次学科竞赛成绩Z近似服从正态分布，其中取样本平均值分数不小于97.5分可晋级下一轮比赛，试估算晋级人数（结果四舍五入，取整数）；
（3）本次学科竞赛的试题由25道选择题构成，每题6个选项，只有一个正确答案，答对得6分，不答得1.5分，答错不得分.学生甲能正确解答其中的15道题，剩余10道题每道题作答的概率为，作答的情况下他从6个选项中随机的选择其中一个作答.求甲的得分X的期望值.
附：若，则，，.
【答案】（1）；（2）人；（3）
【分析】（1）由频率分布的平均数的计算方法代入求解；（2）由正态分布计算，然后利用总体计算人数即可；（3）分别计算答对，不答以及答错的期望值再加和即可.
【解析】（1）；
（2）由题意，学科竞赛成绩，所以，所以晋级的人数为人.
（3）由题意，
28．第二十二届世界杯足球赛，即2022年卡塔尔世界杯（FIFA World Cup Qatar．2022）足球赛，于当地时间11月20日19时（北京时间11月21日0时）至12月18日在卡塔尔境内5座城市中的8座球场举行，赛程28天，共有32支参赛球队，64场比赛．它是首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛．除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行、首次由从未进过世界杯决赛圈的国家举办的世界杯足球赛．某高校为增进师生对世界杯足球赛的了解，组织了一次知识竞赛，在收回的所有竞赛试卷中，抽取了100份试卷进行调查，根据这100份试卷的成绩（满分100分），得到如下频数分布表：
成绩（分）
频数 2 5 15 40 30 8
(1)求这100份试卷成绩的平均数；
(2)假设此次知识竞赛成绩X服从正态分布．其中，近似为样本平均数，近似为样本方差．已知s的近似值为5.5，以样本估计总体，假设有的学生的知识竞赛成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？
(3)知识竞赛中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望．
参考数据：若，则：；；．
【答案】(1)；
(2)71；
(3)分布列见解析，1.2.
【分析】（1）根据平均数的运算公式进行计算即可；
（2）根据正态分布的对称性进行求解即可；
（3）根据概率的乘法和加法公式，结合数学期望公式进行求解即可.
【解析】（1）依题意，设这100份试卷成绩的平均数为，
则（分）；
（2）由，
又，
所以该校预期的平均成绩大约是（分）；
（3）设事件表示“小明选择了i个选项”，事件B表示“选择的选项是正确的”．由题知，可取5，2，0．
因为，
，
，
所以随机变量的分布列为：
5 2 0
P
于是，．
