7.4 二项分布与超几何分布
一、单选题
1．已知随机变量服从二项分布，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知随机变量，若，，则，分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（ ）
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；
③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数；
④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数
A．0 B．1 C．2 D．3
4．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则n的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛.若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则为（ ）
A．P(X＝6)
B．P(X＝5)
C．P(X＝3)
D．P(X＝7)
6．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（ ）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
7．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
8．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ）
A．10% B．20%
C．30% D．40%
9．某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是
A． B．
C． D．
10．在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数Y，则（ ）
A． B．
C． D．
11．某人射击一发子弹的命中率为，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n的概率如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（ ）
n 0 1 … k … 19
… …
A．14发 B．15发 C．16发 D．15或16发
12．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
二、多选题
13．若随机变量服从参数为4，的二项分布，则（ ）
A． B．
C． D．
14．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A．X服从二项分布 B．
C．X的期望 D．X的方差
15．为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10 所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（ ）
A．的取值范围为 B．
C． D．
16．为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则下列说法正确的是（ ）
A．该产品能销售的概率为
B．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
C．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
D．
三、填空题
17．设随机变量ξ服从二项分布，则函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点的概率是________.
18．一台仪器每启动一次都随机地出现一个4位的二进制数，其中的各位数字中，，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的数字为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则54次这样的重复试验的总得分的方差为______．
19．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：
①，；②；③；④.
其中正确的是________．(填上所有正确项的序号)
20．若一个随机变量的分布列为，其中则称服从超几何分布，记为，并将记为，则___________.
四、解答题
21．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求：
(1)求X的分布列；
(2)求．
22．分别指出下列随机变量服从什么分布：
(1)即将出生的100个新生婴儿中，男婴的个数X；
(2)已知某幼儿园有125个孩子，其中男孩有62个，从这些孩子中随机抽取10个，设抽到男孩的个数为X．
23．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；
(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望.
24．在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求，，
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．
25．某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．
①求P2，P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
26．某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度．
(1)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；
(2)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．
27．北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.半年“出差”，神舟十三号航天员顺利完成全部既定任务，创造了实施径向交会对接、实施快速返回流程、利用空间站机械臂操作大型在轨飞行器进行转位试验等多项“首次”.为了回顾“感觉良好”三人组太空“出差亮点”，进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.
(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；
(2)设随机变量表示小宇正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望；
(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由.
28．中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立.
(1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）；
(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；
(3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.
29．近两年因为疫情的原因，同学们对于居家上网课的情景越来越熟悉了．相较于在学校教室里线下课程而言，上网课因为少了课堂氛围，难于与老师和同学互动，听课学生很容易走神．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．
请回答如下两个问题：
(1)若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2的概率，），试探求：
（Ⅰ）的通项公式；
（Ⅱ）的通项公式．7.4 二项分布与超几何分布
一、单选题
1．已知随机变量服从二项分布，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二项分布的概率公式运算即可得解.
【解析】因为随机变量服从二项分布，
所以.
故选：A.
2．已知随机变量，若，，则，分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解.
【解析】随机变量，，，
，，
，.
故选：D.
3．下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（ ）
①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数；
②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；
③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数；
④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】根据二项分布的特征即可判断.
【解析】①满足独立重复试验的条件，是二项分布；
②的取值是1，2，3…，，（），显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布；
③虽然是有放回地摸球，但随机变量的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义；
④次试验是不独立的，因此不服从二项分布．
所以只有1个服从二项分布.
故选：B．
4．某批零件的尺寸X服从正态分布，且满足，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于，则n的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【分析】由正态分布解得每个零件合格的概率为，由对立事件得，
即，令，由的单调性可解得结果.
【解析】服从正态分布，且，
，即每个零件合格的概率为
合格零件不少于2件的对立事件是合格零件个数为零个或一个．
合格零件个数为零个或一个的概率为，
由，得，
令，
，单调递减，又，，
不等式的解集为的最小值为
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：由对立事件得，即.
5．12人的兴趣小组中有5人是“三好学生”，现从中任选6人参加竞赛.若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数，则为（ ）
A．P(X＝6)
B．P(X＝5)
C．P(X＝3)
D．P(X＝7)
【答案】C
【分析】根据X服从超几何分布直接得到答案.
【解析】由题意可知：随机变量X服从参数为N＝12，M＝5，n＝6的超几何分布.
由公式P(X＝k)＝，易知表示的是X＝3的取值概率.
故选：C
【点睛】随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则P(X＝k)＝.
6．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（ ）
A．N＝15，M＝7，n＝10
B．N＝15，M＝10，n＝7
C．N＝22，M＝10，n＝7
D．N＝22，M＝7，n＝10
【答案】A
【分析】根据超几何分布概率模型可得选项.
【解析】根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10，
故选：A.
7．盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为（ ）
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的
【答案】C
【分析】利用超几何分布的概率公式，对四个选项一一求概率，进行验证即可.
【解析】对于A，事件的概率为；
对于B，事件的概率为；
对于C，事件的概率为；
对于D，事件的概率为.
故选C.
8．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（ ）
A．10% B．20%
C．30% D．40%
【答案】B
【解析】先根据列式求出x，进而可求出次品率．
【解析】设10件产品中有x件次品，
则＝＝，
所以x＝2或8.
因为次品率不超过40%，所以x＝2，
所以次品率为＝20%.
故选：B．
9．某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】X服从超几何分布，根据古典概型的概率公式计算即可．
【解析】X服从超几何分布，
因为有6个小镇不太方便，
所以从6个不方便小镇中取4个，
，
故选A．
【点睛】此题考查古典概型的概率公式和超几何分布，属于基础题.
10．在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X，黑球个数Y，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是，它是黑球的概率是，因此，，由二项分布的均值与方差公式计算后可得结论．
【解析】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是，它是黑球的概率是，因此，，
∴，，
，．
故选：C
【点睛】结论点睛：本题考查二项分布，掌握二项分布的概念是解题关键．变量，则，．
11．某人射击一发子弹的命中率为，现他射击19发子弹，理论和实践都表明，这19发子弹中命中目标的子弹数n的概率如下表，那么在他射击完19发子弹后，其中击中目标的子弹数最大可能是（ ）
n 0 1 … k … 19
… …
A．14发 B．15发 C．16发 D．15或16发
【答案】D
【分析】设第k发子弹击中目标的概率最大，根据题意，可以表示第、k、发子弹击中目标的概率，进而可得且，即可得关于k的不等式组，求解可得答案．
【解析】根据题意，设第k发子弹击中目标的概率最大，而19发子弹中命中目标的子弹数n的概率（，，，，），
则有且，
即 ，解可得 ，
即第15或16发子弹击中目标的可能性最大，
则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是第15或16发.
故选：D．
【点睛】本题考查n次独立重复试验中发生k次的概率问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题．
12．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ）
A．增加，增加 B．增加，减小
C．减小，增加 D．减小，减小
【答案】C
【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.
【解析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.
故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.
故，
随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；
，随着的增大，增大.
故选：C.
【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.
二、多选题
13．若随机变量服从参数为4，的二项分布，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据二项分布中概率的计算公式，逐项验证即可。
【解析】由题意，根据二项分布中概率的计算公式，，
则，，
，，
，
因此，，．
故选：BD．
14．某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如10100）其中A的各位数中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时（ ）
A．X服从二项分布 B．
C．X的期望 D．X的方差
【答案】ABC
【分析】推导出，由此利用二项分布的性质能求出结果．
【解析】解：由于二进制数的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，
且每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：
①后4个数出现0，，记其概率为；
②后4个数位只出现1个1，，记其概率为；
③后4位数位出现2个1，，记其概率为，
④后4个数为上出现3个1，记其概率为，
⑤后4个数为都出现1，，记其概率为，
故，故正确；
又，故正确；
，，故正确；
，的方差，故错误．
故选：．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
15．为了增强学生的冬奥会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10 所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（ ）
A．的取值范围为 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】首先理解概率类型为超几何概率，结合组合数公式，即可计算，并判断选项.
【解析】的取值范围为，了解冰壶的人数在30以上的学校有4所.，，，，所以.
故选：BC.
16．为了防止受到核污染的产品影响民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则下列说法正确的是（ ）
A．该产品能销售的概率为
B．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
C．若表示一箱产品中可以销售的件数，则
D．
【答案】ABD
【分析】根据题意先求出该产品能销售的概率，从而选项A可判断，由题意可得可判断选项B，根据独立重复事件的概率问题可判断C，D选项.
【解析】选项A. 该产品能销售的概率为,故选项A正确.
选项B. 由A 可得每件产品能销售的概率为
一箱中有4件产品，记一箱产品获利元，则，故选项B正确.
选项C. 由题意，不选项C不正确.
选项D. 由题意，即4件产品中有2件能销售，有2件产品不能销售.
所以,故选项D正确.
故选：ABD
三、填空题
17．设随机变量ξ服从二项分布，则函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点的概率是________.
【答案】
【分析】由存在零点结合判别式即可求出ξ≤4，由已知二项分布可求出.
【解析】由函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点，得Δ=16-4ξ≥0，即ξ≤4.又因为变量ξ~B，
所以所求概率 .
故答案为:.
【点睛】关键点睛:
本题关键是由存在零点求出的取值范围，结合二项分布即可求出所求.
18．一台仪器每启动一次都随机地出现一个4位的二进制数，其中的各位数字中，，出现0的概率为，出现1的概率为．若启动一次出现的数字为，则称这次试验成功．若成功一次得2分，失败一次得分，则54次这样的重复试验的总得分的方差为______．
【答案】
【分析】由题可求出试验成功的概率，再利用二项分布及其方差的性质即求.
【解析】启动一次出现数字为的概率，
设试验成功的次数为，则，
所以的方差为，
易得总得分，所以．
故答案为：.
19．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以表示取到白球的个数，表示取到黑球的个数．给出下列各项：
①，；②；③；④.
其中正确的是________．(填上所有正确项的序号)
【答案】①②④
【分析】根据数学期望、方差和超几何分布的概念运算即可求解.
【解析】由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布．
∴E(X)＝＝，E(η)＝＝.
又X的分布列
X 0 1 2
P
∴E(X2)＝02×＋12×＋22×＝，
D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－2＝.
η的分布列为
η 1 2 3
P
∴E(η2)＝12×＋22×＋32×＝，
D(η)＝E(η2)－[E(η)]2＝－2＝.
∴E(X2)＝E(η)，D(X)＝D(η)，∴①②④正确．
故答案为：①②④.
20．若一个随机变量的分布列为，其中则称服从超几何分布，记为，并将记为，则___________.
【答案】
【分析】根据题中的计算公式代入数据求解即可.
【解析】根据题意，
故答案为：.
四、解答题
21．将一枚质地均匀的硬币重复抛掷4次，随机变量X表示“正面朝上”出现的次数．求：
(1)求X的分布列；
(2)求．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据二项分布即可求解概率以及分布列.（2）由二项分布的期望公式即可求解.
【解析】（1）由题意，抛一枚均匀的硬币，正反面朝上的概率均为，
所以将一枚均匀的硬币重复抛掷4次，正面朝上的次数，故
即 , , ,
, ；
X的分布列如下:
0 1 2 3 4
（2）,
22．分别指出下列随机变量服从什么分布：
(1)即将出生的100个新生婴儿中，男婴的个数X；
(2)已知某幼儿园有125个孩子，其中男孩有62个，从这些孩子中随机抽取10个，设抽到男孩的个数为X．
【答案】(1)二项分布
(2)超几何分布
【分析】（1）利用二项分布的特征求解，（2）利用超几何分布特点求解
(1)
（1）X的可能取值为0,1,2， ，且每个新生儿的性别相互独立，故男婴的个数X服从二项分布
(2)
（2）X的可能取值为0,1,2，，且是不放回抽样，故抽到男孩的个数为X服从超几何分布
23．某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中道题便可通过．已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响．
(1)求甲恰好正确完成两个面试题的概率；
(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是．然后求出即可；
（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是，求出取每个值时的概率，即可得分布列，然后根据二项分布期望的求法求解即可.
【解析】（1）解：由题意得：
设甲正确完成面试的题数为，则的取值范围是． ；
（2）设乙正确完成面试的题数为，则取值范围是．
，，
，．
应聘者乙正确完成题数的分布列为
24．在某校举办“青春献礼二十大，强国有我新征程”的知识能力测评中，随机抽查了100名学生，其中共有4名女生和3名男生的成绩在90分以上，从这7名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．
(1)求，，
(2)若把抽取学生的方式更改为：从这7名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）法一：根据古典概型结合条件概率运算求解；法二：根据独立事件概率乘法公式结合条件概率运算求解；
（2）根据题意结合超几何分布求分布列和期望.
【解析】（1）方法一：
由题意可得：，
“第一次抽到女生且第二次抽到男生”就是事件AB：“第一次抽到男生且第二次抽到男生”就是事件，从7个同学中每次不放回地随机抽取2人，试验的样本空间Ω包含个等可能的样本点，
因为，，
所以，
故．
方法二：，
“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率，则，，
故．
（2）被抽取的3人中女生人数X的取值为0，1，2，3，
，，
，，
X的分布列：
X 0 1 2 3
P
X的数学期望.
25．某中学举办了诗词大会选拔赛，共有两轮比赛，第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令．第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手在10秒内正确回答出下句可得10分，若不能在10秒内正确回答出下句得0分．
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团队有相同的机会抢答下一问题．记第n次回答的是甲的概率为，若．
①求P2，P3；
②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小．
【答案】(1)12
(2)①，；②证明过程见详解，第7次回答的是甲的可能性比第8次的大
【分析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为η，可得，再写出的所有可能取值，分别求出其对应的概率，进而得到的分布列，并求出的数学期望，从而可求得的数学期望；
（2）①直接根据题意可得第一次是甲回答，第二次甲不回答，所以第二次甲回答的概率为；
②先根据题意建立与的关系式，即可证明数列为等比数列，进而可得到的通项公式，从而可比较P7，P8．
【解析】（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，
易知的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
故的分布列为
0 1 2
P
则，
所以．
（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，∴，则．
②由第n次回答的是甲的概率为，得当n≥2时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，
则，
即，
又，
∴是以为首项，为公比的等比数列，
则，
∴，
∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．
26．某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度．
(1)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；
(2)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．
【答案】(1)4
(2)40%．
【分析】（1）根据题意分析可得方式Ⅰ回答问卷的人数，利用二项分布的期望的公式运算求解；
（2）根据题意结合条件概率公式和全概率公式运算求解
【解析】（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为，
每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率，
由题意可得：该部门9名员工中按方式Ⅰ回答问卷的人数，
所以X的数学期望．
（2）记事件A为“按方式Ⅰ回答问卷”，事件B为“按方式Ⅱ回答问卷”，事件C为“在问卷中画○”．
由（1）知，，．
∵，
由全概率公式，则，解得，
故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为40%．
27．北京时间2022年4月16日09时56分，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十三号载人飞行任务取得圆满成功，全体中华儿女深感无比荣光.半年“出差”，神舟十三号航天员顺利完成全部既定任务，创造了实施径向交会对接、实施快速返回流程、利用空间站机械臂操作大型在轨飞行器进行转位试验等多项“首次”.为了回顾“感觉良好”三人组太空“出差亮点”，进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.
(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；
(2)设随机变量表示小宇正确完成题目的个数，求的分布列及数学期望；
(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析；期望为3；
(3)小宇；理由见解析.
【分析】(1)求出小明完成3道题和4道题的概率之和；
(2)列出分布列，根据分布列计算概率；
(3)比较小明和小宇分别至少完成3道题的概率，根据概率大小决定谁去参加比赛.
（1）
记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则.
（2）
的可能取值为2，3，4.
，
，
，
的分布列为：
2 3 4
数学期望.
（3）
由（1）知，小明进入决赛的概率为；
记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则；
因为，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛.
28．中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立.
(1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）；
(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；
(3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】(1)用两点分布的概率公式计算即可.
(2)设出事件，分别计算P(A)、P(AB)，用条件概率公式计算得结果.
(3)用超几何分布概率公式分别计算出所有可能情况的概率，再计算出数学期望.
（1）
由题设, 服从参数为 的两点分布, .
（2）
记 表示事件: “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”;
记 表示事件: “甲投中花球”, 则
于是
（3）
由题设 值可取 , 则
于是
29．近两年因为疫情的原因，同学们对于居家上网课的情景越来越熟悉了．相较于在学校教室里线下课程而言，上网课因为少了课堂氛围，难于与老师和同学互动，听课学生很容易走神．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．
请回答如下两个问题：
(1)若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2的概率，），试探求：
（Ⅰ）的通项公式；
（Ⅱ）的通项公式．
【答案】(1)285分
(2)（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（1）设全班同学在三次专注度监测中完成签到的总人次数为随机变量X，则，在三次专注度监测中完成签到的总分数为随机变量Y，则，求出，从而求出；
（2）得到，构造出，从而得到等比数列，求出的通项公式，进而用累加法求解的通项公式.
(1)
基于约定①，可以认为每名同学在每次专注度监测中完成签到的概率为0.9，取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总人次数为随机变量X，则，取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总分数为随机变量Y，则，
∴分．
(2)
（Ⅰ）依题意，，，
∴，
又∵，∴为等比数列，
∴，
（Ⅱ）∵，，…，，将这个式子相加得，
∴
