6.2.3-6.2.4组合 组合数
一、单选题
1．下列问题中是组合问题的个数是 ( )
①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积；
④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据组合及排列的定义即得.
【解析】根据组合定义可知①③是组合，②④与顺序有关是排列.
故选：B
2．从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有 （ ）
A．种 B．3！ C．种 D．以上均不对
【答案】C
【解析】根据组合数的概念可知C选项正确.
故选：C.
3．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有（ ）
A．60种 B．36种 C．10种 D．6种
【答案】D
【分析】由组合数公式即求.
【解析】甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人中选2人即可，有(种).
故选：D.
4．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ）
A．20 B．55 C．30 D．25
【答案】D
【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从2名教师和5名学生中选出3人的选法，再计算其中“入选的3人没有教师”的选法数目，分析可得答案．
【解析】解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有种选法，
若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有种，
则有种不同的选取方案，
故选：D．
5．旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲 乙 丙 丁这四个景区进行体验式旅游已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线的条数为（ ）
A．24 B．18 C．16 D．10
【答案】D
【分析】小李可选的旅游路线分两种情况：① 最后去甲景区旅游，可的路线有条；② 不最后去甲景区旅游，可选路线有条.
【解析】解：小李可选的旅游路线分两种情况：① 最后去甲景区旅游，则可选的路线有条；② 不最后去甲景区旅游，则可选的路线有条.
所以小李可选的旅游路线的条数为.
故选：D.
6．马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（ ）
A．12 B．18 C．21 D．24
【答案】C
【分析】10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法，又两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，即可得出答案.
【解析】解：根据题意，10盏路灯中要关掉不连续的两盏，所以利用插空法．
先将剩下的8盏灯排成一排，因两端的灯不能关掉，则有7个符合条件的空位，进而在这7个空位中，任取2个空位插入关掉的2盏灯，所以共有种关灯方法．
故选：C．
7．若整数满足，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或3
【答案】C
【分析】利用组合数的运算性质求解即可
【解析】由题可知或，
整理得或，
解得或或或．
又，
所以只有和满足条件，
故的值为1或．
故选：C
8．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.
【解析】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为或或若是，则先将门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种，若是，则先将门学科分成三组共种不同方式，再分配到三个学年共有种不同分配方式，由乘法原理可得共有种
所以每位同学的不同选修方式有种，
故选：B.
9．将编号为、、、、的个小球全部放入、、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】将编号为、、、、的个小球，根据小球的个数可分为、、或、、两组，再分配到个盒子即可求出.
【解析】将编号为、、、、的个小球，根据小球的个数可分为、、或、、两组.
①当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
故个小球的编号只能是、、的在一个盒子里，故只有一种分组方法，
再分配到三个盒子，此时共有种分配方法；
②当三个盒子中的小球个数分别为、、时，由于放在同一个盒子里的小球编号互不相连，
此时放个小球的盒子中小球的编号分别为、或、或、或、或、或、，共种，
再分配到三个盒子中，此时，共有种.
综上所述，不同的放法种数为种.
故选：A.
【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
10．公元2020年年初，肆虐着中国武汉，为了抗击，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
【答案】A
【解析】利用分步乘法计数原理先分组再分配即可求解.
【解析】根据题意，分2步进行：
①将6个医疗小组平均分成3组，每组2支医疗队，有种分组方法；
②将甲所在的小组安排到甲地，其他两个小组安排到乙、丙两地，有种情况，
则有种不同的安排方法.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了分布乘法计数原理，涉及平均分组和分配问题，属于中档题.
11．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）
A．51个 B．54个 C．12个 D．45个
【答案】A
【分析】由题意分类讨论，结合排列组合公式整理计算即可求得最终结果.
【解析】由题意分类讨论：
（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有(个).
（2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有（个）.
（3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有（个）
由分类加法计数原理得共有(个)．
故选：A．
【点睛】方法点睛：本题考查排列组合，解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步，具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
12．设集合，那么集合中满足条件
“”的元素个数为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】试题分析：分以下三种情况讨论，
（1），则上述五个数中有一个为或，其余四个数为零，此时集合有
个元素；
（2），则上述五个数中有两个数为或，其余三个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个；
（3），则上述五个数中有三个数为或，其余两个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个；
综上所述，集合共有个元素.故选D.
【考点定位】本题考查分类计数原理，属于较难题.
二、多选题
13．已知，则x=（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
【答案】AD
【分析】根据组合数的性质求解即可
【解析】因为，故或，即或
故选：AD
14．现有个男生个女生，若从中选取个学生，则（ ）
A．选取的个学生都是女生的不同选法共有种
B．选取的个学生恰有个女生的不同选法共有种
C．选取的个学生至少有个女生的不同选法共有种
D．选取的个学生至多有个男生的不同选法共有种
【答案】AC
【分析】根据组合的定义和分步计数原理即可求出．
【解析】解：选取的个学生都是女生的不同选法共有种，
恰有个女生的不同选法共有种，
至少有个女生的不同选法共有种，
选取的个学生至多有个男生的不同选法共有种.
故选：AC
15．新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
【答案】ABC
【分析】依次判断每个选项得到ABC正确，D选项的正确答案是，错误，得到答案.
【解析】对选项A：若任意选科，选法总数为，正确；
对选项B：若化学必选，选法总数为，正确；
对选项C：若政治和地理至多选一门，选政治或地理有种方法，政治地理都不选有种方法，故共有选法总数为，正确；
对选项D：若物理必选，化学、生物选一门有种，化学、生物都选有1种方法，故共有选法总数为，D错误.
故选：ABC
16．某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有（ ）
A．分给甲 乙 丙三地每地各2辆，有120种分配方式
B．分给甲 乙两地每地各2辆，分给丙 丁两地每地各1辆，有180种分配方式
C．分给甲 乙 丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式
D．分给甲 乙 丙 丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1080种分配方式
【答案】BD
【分析】对A，工地不同，工程车不同，可分步，甲先选2辆，然后乙选2辆，剩下2辆给丙；
对B，同A相同方法可得；
对C，由于不知哪个工地是4辆车，因此可把6辆车按分组，再全排列可得；
对D，与C相同方法，先分组再分配．
计算后判断各选项．
【解析】对A，先从6辆工程车中分给甲地2辆，有种方法，再从剩余的4辆工程车中分给乙地2辆，有种方法，最后的2辆分给丙地，有种方法，所以不同的分配方式有（种），故A错误；
对B，6辆工程车先分给甲 乙两地每地各2辆，有种方法，剩余2辆分给丙 丁两地每地各1辆，有种方法，所以不同的分配方式有（种），故B正确；
对C，先把6辆工程车分成3组：4辆 1辆 1辆，有种方法，再分给甲 乙 丙三地，所以不同的分配方式有（种），故C错误；
对D，先把6辆工程车分成4组：2辆 2辆 1辆 1辆，有种方法，再分给甲 乙 丙 丁四地，所以不同的分配方式有（种），故D正确.
故选：BD.
三、填空题
17．从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有______种不同的安排方法．
【答案】180
【分析】依次选取1人，1人，2人分别值班第一天，第二天，第三天即可.
【解析】解：由题，先从6人中挑选1人值第一天的班，有种，
再从剩下的5人中挑选1人值第二天的班，有种，
最后再从剩下的4人中挑选2人值第三天的班，有种，
所以，共有种不同的安排方法.
故答案为：
18．在报名的 8 名男生和 5 名女生中，选取 6 人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为_____（结果用数值表示）
【答案】1688
【分析】随便选取6人减去选的全是男生的方法.
【解析】从8名男生和5名女生共13人中选取6人，有种取法，
其中只有男生的取法有种，没有只有女生的取法，
则男、女都有选取方式有种．
故答案为：1688
19．近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．
【答案】348
【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解.
【解析】由题意，根据选出的女生人数进行分类，
第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则种，所以共有种，
第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则种，所以共有种，
第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，所以共有种，
由分类计数原理可得：店主共有种选择方式，
故答案为：.
20．我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为的个球的口袋中取出个球，共有种取法.在种取法中，不取号球有种取法；取号球有种取法.所以.试运用此方法，写出如下等式的结果：___________.
【答案】
【分析】将等式看作是从编号为个球中，取出个球，其中第个球的编号依次为的情况，利用分类加法计数原理得到的结果；再由从编号为个球中，取出个球，有种取法，即可得到结果.
【解析】从编号为个球中，取出个球，记所选取的六个小球的编号分别为，且，
当时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中任选个，故选取的方法数为；
当时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中任选个，故选取的方法数为；
……；
当时，分三步完成本次选取：
第一步，从编号为的球中选取2个；第二步，选取编号为的球；第三步，从剩下的个球中选个，故选取的方法数为；
至此，完成了从编号为个球中，选取个球，第个球的编号确定时的全部情况，
另外，从编号为个球中，取出个球，有种取法，
所以.
故答案为：.
四、解答题
21．计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)455
(2)1313400
(3)1313400
(4)126
【分析】（1）直接应用组合数公式得到结果即可；（2）直接应用组合数公式得到结果即可；（3）先由组合数性质得到，再由组合数运算公式得到结果即可；（4）先由组合数性质得到，再由组合数运算公式得到结果即可.
（1）
根据组合数运算公式得到：.
（2）
根据组合数公式得到：.
（3）
根据组合数性质和运算公式得到：.
（4）
先由组合数运算性质得到: ，
根据运算公式得到：.
22．一个口袋内装有7只不同的白球和1只黑球．
(1)从口袋内取出3只球，共有多少种不同的取法？
(2)从口袋内取出3只球，其中必有1只黑球，有多少种不同的取法？
(3)从口袋内取出3只球，其中没有黑球，有多少种不同的取法？
【答案】(1)56种
(2)21种
(3)35种
【分析】（1）根据组合的定义可列出式子；（2）根据题干知，就是从剩下的白球中取出2个白球的取法种数，列出式子求解即可；（3）根据题意知，从7个白球中取出3个球即可，根据组合的定义列式求解即可.
（1）
从口袋内8个球取出3个球的取法共有C83=56种．
（2）
从口袋内8个球取出3个球，使其中恰有1个黑球，
即从剩下的白球中取出2个白球的取法种数，共有C72=21种.
（3）
从口袋内取出3个球，其中没有黑球，
即从7个白球中取出3个球即可，有C73=35种．
23．现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．
(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；
(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；
(3)平均分成三个组每组两本．
【答案】(1)60；
(2)360；
(3)15.
【分析】（1）根据题意，由分步计数原理直接计算可得答案；
（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，再将分好的三组分给3人，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，由平均分组公式计算可得答案．
【解析】（1）根据题意，第一组3本有种分法，第二组2本有种分法，第三组1本有1种分法，
所以共有种分法.
（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有种分法，
再将分好的三组分给3人，有种情况，
所以共有种分法.
（3）根据题意，将6本书平均分为3组，有15种不同的分法．
24．某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．
(1)若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？
(2)若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？
(3)若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？
【答案】(1)64；
(2)128；
(3)51.
【分析】（1）利用分步原理即得；
（2）利用先选后排可求；
（3）先分类再分步即得
（1）
利用分步原理可得从甲、乙两组中各选1人担任组长，共有种不同的的选法；
（2）
先选后排，可得从甲、乙两组中各选1人担任正副班长有种不同的的选法；
（3）
先分类再分步：第一类：甲组1男生：，第二类：乙组1男生：，
则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有51种.
25．用组合数公式证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用组合数公式可得，，即证；
（2）利用组合数公式可得，通过化简运算可证.
【解析】（1）∵，
，
∴.
（2）∵
∴.
26．某班有一个5男4女组成的社会实践调查小组，准备在暑假进行三项不同的社会实践，若不同的组合调查不同的项目算作不同的调查方式，求按下列要求进行组合时，有多少种不同的调查方式？
(1)将9人分成人数分别为2人、3人、4人的三个组去进行社会实践；
(2)将9人平均分成3个组去进行社会实践；
(3)将9人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）先将9人按分组，再将三组分配到三个项目中去，列式计算作答.
（2）利用平均分配直接列式计算作答.
（3）将4个女生按分组，再取男生到分成的三组，确保各组都为3人，然后将三组分配到三个项目中去，列式计算作答.
【解析】（1）将9人按分组，有种分组方法，再把各组分配到三个项目中去有方法，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同的调查方式有.
（2）从9人中任取3人去调查第一个项目，从余下6人中任取3人去调查第二个项目，最后3人去调查第三个项目，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同的调查方式有.
（3）把4个女生按分组，有种分法，再从5个男生中任取1个到两个女生的一组，
从余下4个男生中任取2人到1个女生的一组，最后2个男生到最后的1个女生组，分法种数为，
将分得的三个小组分配到三个项目中去有方法，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同的调查方式有.
27．蓝天救援队有男救援员8名，女救援员4名，现选派5名救援员参加一项救援.
(1)若男救援员甲与女救援员乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(2)若救援员甲、乙均不能参加，共有多少种不同的选法？
(3)若至少有一名男救援员和一名女救援员参加，共有多少种不同的选法？
【答案】(1)120
(2)252
(3)736
【分析】（1）甲、乙必须参加，从剩下的10人中选3人即可；
（2）甲、乙均不能参加，从剩下的10人中直接选5人即可；
（3）采取正难则反的方法，用总选法减去全是男救援员的选法即可.
(1)
共有12名救援员，若甲、乙必须参加，则再从剩下的10名中选3名即可，有种不同的选法.
(2)
若甲、乙两人均不能参加，则从剩下的10名中选5名即可，有种不同的选法.
(3)
由总的选法数减去5名都是男救援员的选法数，得到的就是至少有一名男救援员和一名女救援员参加的选法数，即有种不同的选法.
28．（1）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
【答案】（1）10；（2）65；（3）1560.
【分析】（1）应用隔板法，在6个小球队列的5个空隙中插入3块隔板，即可得结果；
（2）将6个不同的小球按{2,2,1,1}和{3,1,1,1}两种方案分组放入箱子，即得结果；
（3）在（2）的基础上，作全排列即可得结果.
【解析】（1）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，
将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板，
所以不同的放法种数为；
（2）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球，
先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，
每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法，
所以不同的放法种数为；
（3）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，
先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，
每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求，
所以不同的放法种数为．
29．规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广．
(1)求的值．
(2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，．
【答案】(1)
(2)性质①不能推广，理由见解析；性质②能推广，证明见解析.
(3)证明见解析.
【分析】（1）按题中定义计算即可；
（2）由定义可知m是正整数，所以只需要判断①；②中的是否只能是整数即可；
（3）分类讨论、、三种情况，其中当时可将的分子转换为正数进行计算证明.
【解析】（1）
（2）性质①不能推广，例如当时有定义，但无意义；
性质②能推广，它的推广形式是：，，m是正整数
证明：当时，有，
当时，
（3）当时，组合数；
当时，；
当时，由可知，
所以
因为组合数是正整数，所以
证毕.6.2.3-6.2.4组合 组合数
一、单选题
1．下列问题中是组合问题的个数是 ( )
①从全班50人中选出5名组成班委会；
②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员；
③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积；
④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商．
A．1 B．2
C．3 D．4
2．从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有 （ ）
A．种 B．3！ C．种 D．以上均不对
3．从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有（ ）
A．60种 B．36种 C．10种 D．6种
4．从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ）
A．20 B．55 C．30 D．25
5．旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲 乙 丙 丁这四个景区进行体验式旅游已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线的条数为（ ）
A．24 B．18 C．16 D．10
6．马路上亮着一排编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10盏路灯．为节约用电，现要求把其中的两盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数为（ ）
A．12 B．18 C．21 D．24
7．若整数满足，则的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或3
8．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
9．将编号为、、、、的个小球全部放入、、三个盒子内，若每个盒子不空，且放在同一个盒子内的小球编号不相连，则不同的方法总数有（ ）
A． B． C． D．
10．公元2020年年初，肆虐着中国武汉，为了抗击，中国上下众志成城，纷纷驰援武汉.达州市决定派出6个医疗小组驰援武汉市甲、乙、丙三个地区，每个地区分配2个医疗小组，其中A医疗小组必须去甲地，则不同的安排方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
11．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）
A．51个 B．54个 C．12个 D．45个
12．设集合，那么集合中满足条件
“”的元素个数为
A． B． C． D．
二、多选题
13．已知，则x=（ ）
A．3 B．6 C．8 D．10
14．现有个男生个女生，若从中选取个学生，则（ ）
A．选取的个学生都是女生的不同选法共有种
B．选取的个学生恰有个女生的不同选法共有种
C．选取的个学生至少有个女生的不同选法共有种
D．选取的个学生至多有个男生的不同选法共有种
15．新高考按照“”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
16．某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有（ ）
A．分给甲 乙 丙三地每地各2辆，有120种分配方式
B．分给甲 乙两地每地各2辆，分给丙 丁两地每地各1辆，有180种分配方式
C．分给甲 乙 丙三地，其中一地分4辆，另两地各分1辆，有60种分配方式
D．分给甲 乙 丙 丁四地，其中两地各分2辆，另两地各分1辆，有1080种分配方式
三、填空题
17．从6人中挑选4人去值班，每人值班1天，第一天需要1人，第二天需要1人，第三天需要2人，则有______种不同的安排方法．
18．在报名的 8 名男生和 5 名女生中，选取 6 人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为_____（结果用数值表示）
19．近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有__________种选择方式．
20．我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为的个球的口袋中取出个球，共有种取法.在种取法中，不取号球有种取法；取号球有种取法.所以.试运用此方法，写出如下等式的结果：___________.
四、解答题
21．计算
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．一个口袋内装有7只不同的白球和1只黑球．
(1)从口袋内取出3只球，共有多少种不同的取法？
(2)从口袋内取出3只球，其中必有1只黑球，有多少种不同的取法？
(3)从口袋内取出3只球，其中没有黑球，有多少种不同的取法？
23．现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．
(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；
(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；
(3)平均分成三个组每组两本．
24．某班级甲组有5名男生，3名女生；乙组有6名男生，2名女生．
(1)若从甲、乙两组中各选1人担任组长，则有多少种不同的的选法？
(2)若从甲、乙两组中各选1人担任正副班长，则有多少种不同的的选法？
(3)若从甲、乙两组中各选2人参加核酸检测，则选出的4人中恰有1名男生的不同选法共有多少种？
25．用组合数公式证明：
(1)；
(2)．
26．某班有一个5男4女组成的社会实践调查小组，准备在暑假进行三项不同的社会实践，若不同的组合调查不同的项目算作不同的调查方式，求按下列要求进行组合时，有多少种不同的调查方式？
(1)将9人分成人数分别为2人、3人、4人的三个组去进行社会实践；
(2)将9人平均分成3个组去进行社会实践；
(3)将9人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.
27．蓝天救援队有男救援员8名，女救援员4名，现选派5名救援员参加一项救援.
(1)若男救援员甲与女救援员乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(2)若救援员甲、乙均不能参加，共有多少种不同的选法？
(3)若至少有一名男救援员和一名女救援员参加，共有多少种不同的选法？
28．（1）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
29．规定，其中，m是正整数，且，这是组合数（n，m是正整数，且）的一种推广．
(1)求的值．
(2)组合数的两个性质：①；②是否都能推广到（，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；
(3)已知组合数是正整数，证明：当，m是正整数时，．
