6.2.1-6.2.2排列 排列数
一、单选题
1．下列问题属于排列问题的是（ ）
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算.
A．①④ B．①②
C．④ D．①③④
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合排列的定义，即可求解．
【解析】解：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序，故属于排列，
②选出的2人劳动内容相同，无顺序，故不属于排列，
③5人一组无顺序，故不属于排列，
④选出的两个数作为底数或指数，其结果不同，有顺序，故属于排列，
综上所述，属于排列的为①④．
故选：A．
2．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．60
【答案】C
【分析】计算从5个不同元素中取出2个元素的排列数即可.
【解析】此问题相当于从5个不同元素中取出2个元素的排列数，
即共有=20(种)不同的送书方法.
故选：C.
3．男女六位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先选个女生捆绑看做整体，然后将男生全排列以后再将女生插空即可.
【解析】由题意，先选个女生捆绑看做一个整体：，然后将男生全排列再将女生插空：，
所以不同的排法有种.
故选：B.
4．一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735，414等)，那么这样的三位数共有（ ）
A．240个 B．249个
C．285个 D．330个
【答案】C
【分析】分十位数字是0、1、2、3、4、5、6、7、8讨论，即得解
【解析】因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字，
所以当十位数字是0时有9×9=81种结果，
当十位数字是1时有8×8=64种结果，
当十位数字是2时有7×7=49种结果，
当十位数字是3时有6×6=36种结果，
当十位数字是4时有5×5=25种结果，
当十位数字是5时有4×4=16种结果，
当十位数字是6时有3×3=9种结果，
当十位数字是7时有2×2=4种结果，
当十位数字是8时有1种结果，
所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1=285种结果.
故选：C
5．已知，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由排列数公式变形后求解．
【解析】
则，
约分得：
解得：，经检验满足题意．
故选：C．
6．五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫 商 角 徵 羽，如果将这五个音排成一排，宫 羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有（ ）
A．20种 B．24种 C．32种 D．48种
【答案】C
【分析】根据角音所在的位置分两类，根据分步乘法和分类加法计数原理即可求解.
【解析】根据角音所在的位置按从左到右依次为位置一 二 三 四 五分两类：
第一类，角音排在位置一或五，则不同的排列顺序有（种）；
第二类，角音排在位置二或四，则不同的排列顺序有（种）；
根据分类加法计数原理，可得不同的排列顺序共有（种）.
故选：C.
7．旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲 乙 丙 丁这四个景区进行体验式旅游已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线的条数为（ ）
A．24 B．18 C．16 D．10
【答案】D
【分析】小李可选的旅游路线分两种情况：① 最后去甲景区旅游，可的路线有条；② 不最后去甲景区旅游，可选路线有条.
【解析】解：小李可选的旅游路线分两种情况：① 最后去甲景区旅游，则可选的路线有条；② 不最后去甲景区旅游，则可选的路线有条.
所以小李可选的旅游路线的条数为.
故选：D.
8．某同学有7本不同的书，其中语文书2本 英语书2本 数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻 2本英语书相邻 3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数（ ）
A．12 B．24 C．48 D．720
【答案】C
【分析】根据捆绑法、插空法进行排列计算即可得解.
【解析】先将2本语文书看成一个元素，2本英语书看成一个元素，
然后排成一排，有种不同的排法，
再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，
有种不同的排法，再排2本语文书，
有种不同的排法，最后排2本英语书，
有种不同的排法.根据分步乘法计数原理，
得共有种不同的排法.
故选：C.
9．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（ ）种.
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】甲不在1道，乙不在2道，则分别讨论甲在2道和甲不在2道两种情况，再求和即可.
【解析】①甲在2道的安排方法有：种；
②甲不在2道，则甲只能在3或4号道，乙不能在2道，只能在剩下的2个道中选择一个，丙丁有2种，所以甲不在2号跑道的分配方案有种，共有种方案.
故选B.
【点睛】方法点睛：（1）先讨论甲在乙的位置的情况，此时乙不受限制，剩余元素全排列即可；
（2）再讨论甲也不在乙的位置的情况；
（3）两种情况求和.
10．某会议结束后，21个会议人员合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，A站在前排正中间位置，B，C两人也站在前排并与A相邻，如果对其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【分析】先安排A，再排B，C两人，再排余下的人由分步乘法原理可得答案.
【解析】先安排A，只有1种选择；再排B，C两人，有种选择；最后排其他人，有种选择．故由分步乘法计数原理可得，不同的排法共有种选择．
故选：D.
11．名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定两人对局胜者得分，平局各得分，负者得分，并按总得分由高到低进行排序，比赛结束后，名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，则第二名选手的得分是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据完成本题主要抓住了“每场产生的分数”、“第二名的得分与最后四名所得的总分一样多”、“得分互不相同”这三个关键点进行分析的．
【解析】解：每名需要进行7场比赛，则全胜的得14分，
而最后4人之间赛6场至少共得12分，
所以第二名的得分至少为12分．
如果第一名全胜，则第二名只输给第一名，得12分；
如果第二名得13分，则第二名6胜1平，第一名最好也只能是6胜1平，与题目中得分互不相同不符．
所以，第二名得分为12分．
故选：C．
12．若用5种不同颜色去涂五边形的五点顶点，若相邻两点的颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．1440 B．1020 C．1260 D．1480
【答案】B
【分析】考虑三点的涂色情况，就三点涂三种颜色、涂两种颜色分类计数后可得所有的涂色方法种数.
【解析】
如图，考虑三点的涂色情况，
若三点涂三种颜色，则该三点共有种涂色方法，此时有3种涂色方法，有3种涂色方法，故三点涂三种颜色时共有种涂色方法，
若三点涂两种颜色，则与同色或与同色，
当与同色时，该三点共有种，此时有4种涂色方法，有3种涂色方法，故三点涂两种颜色时共有种涂色方法，
同理当与同色时，共有种涂色方法，
综上，所求的不同的涂色总数为，
故选：B.
【点睛】本题考查多边形的顶点涂色问题，此题的关键是找到核心图形的涂色方法，这样可以避免繁琐的讨论，本题属于中档题.
二、多选题
13．下列各式中，等于的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据题意，由阶乘的定义结合排列数、组合数公式，依次分析选项，综合即可得答案．
【解析】解：根据题意，依次分选项：
对于，，故正确；
对于，，故错误；
对于，，故正确；
对于，，故错误；
故选：AC．
【点睛】本题考查阶乘、排列数公式的计算，注意排列数公式的形式，属于基础题．
14．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】由题意按照个位是0、个位不是0分类，结合分步乘法、排列的知识可得无重复数字偶数的个数，即可判断A；再由排列数的运算逐项判断其它选项即可得解.
【解析】对于A，如果个位是0，则有个无重复数字的偶数；如果个位不是0，则有个无重复数字的偶数，所以共有个无重复数字的偶数，故A正确；
对于B，由于，所以，故B正确；
对于C，由于，所以，故C错误；
对于D，由于，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查了分类加法、分步乘法及排列的应用，考查了排列数的运算，属于基础题.
15．2022年2月5日晩，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（ ）
A．武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法
B．范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法
C．任子威在范可欣的右边，共有120种排法
D．任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法
【答案】ABD
【分析】利用分步乘法计数原理结合排列与排列数，逐项分析判断即可.
【解析】解：A项中，武大靖与张雨婷相邻，将武大靖与张雨婷排在一起有种排法，
再将二人看成一个整体与其余三人全排列，有种排法，
由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项A正确；
B项中，范可欣与曲春雨不相邻，先将其余三人全排列，有种排法，
再将范可欣与曲春雨插入其余三人形成的4个空位中，有种排法，
由分步乘法计数原理得，共有（种）排法，故选项B正确；
C项中，任子威在范可欣的右边，先从五个位置中选出三个位置排其余三人，有种排法，
剩下两个位置排任子威、范可欣，只有1种排法，
所以任子威在范可欣的右边，共有（种）排法，故选项C错误；
D项中，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5人全排列，有种排法，
任子威在最左边，有种排法，武大靖在最右边，有种排法，
任子威在最左边，且武大靖在最右边，有种排法，
所以任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有（种）排法，故选项D正确.
故选：ABD.
16．甲、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．某人抛掷n次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（ ）
A．若时，则共有3种不同走法 B．若时，则共有5种不同走法
C．若时，则共有25种不同走法 D．若时，则共有27种不同走法
【答案】BD
【分析】当时，骰子的点数之和是，列举出点数中两个数字能够使得和为的情况，即可判断A、B，若时，三次骰子的点数之和是，，列举出在点数中三个数字能够使得和为，的情况，再按照分类分步计数原理计算可得.
【解析】解：由题意知正方形（边长为2个单位）的周长是．
当时，骰子的点数之和是，列举出在点数中两个数字能够使得和为的有，，共种组合，抛掷骰子是有序的，所以共种结果，故A错误，B正确；
若时，三次骰子的点数之和是，，列举出在点数中三个数字能够使得和为，的有，，，，，，共有种组合，
前种组合，，每种情况可以排列出种结果，共有种结果，
其中，，，，各有种结果，共有种结果，根据分类计数原理知共有种结果．
故选：BD．
三、填空题
17．计算 ＝ _________
【答案】
【解析】由排列和阶乘直接计算出.
【解析】.
故答案为：.
【点睛】本题考查排列的运算，属于基础题.
18．有5名学生站成一排拍毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有______种.
【答案】60
【分析】甲不排在乙的左边，即甲排在乙的左边，则甲乙的顺序确定，将剩下的三个人排好，然后把甲乙按顺序排入即可.
【解析】解：甲不排在乙的左边，即甲排在乙的左边，则甲乙的顺序确定，
将剩下的三个人排好，然后把甲乙按顺序排入，
则有种排法.
故答案为：60.
19．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有______种．
【答案】12
【分析】利用分步原理求解，先从3，4号球中选一个球放入1号盒子，然后剩下的3个球分别在2，3，4号盒子中各放入一个即可.
【解析】由于1号盒子不能放1号球和2号球，则1号盒子可以放3号球或4号球，有2种方法，
剩下的3个盒子各放一个球有种方法，
则由分步乘法原理可得一共有种方法．
故答案为：12
20．由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数有_____．
【答案】15
【分析】分别讨论抽出1个，抽出2个，抽出3个求解即可得出.
【解析】若抽出1个数字，则有个，
若抽出2个数字，则有个，
若抽出3个数字，则有个，
则一共可以组成的自然数有个.
故答案为：15.
四、解答题
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)210
(2)840
(3)210
(4)720
【分析】根据排列数公式计算可得.
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
22．（1）一天有6节课，安排6门学科，这一天的课程表有几种排法？
（2）上午有4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，若不能连上3节，则这个教师的课有几种排法？
【答案】(1)720；(2)12.
【分析】(1)根据排列数的定义表示课程表的排法数并化简；(2)先求从4节课中选取三节不相连的课的方法，再求安排教师的上课顺序的方法，由此可得总的排课方法数.
【解析】(1)一天有6节课，安排6门学科相当于将6个元素按顺序排成一列，所以课程表的排法与6个元素排成一列的排列数相等，故这一天的课程表有种排法，即720种排法.
(2)安排该教师的课课分为两步实现，第一步从上午的四节课中选3节不相连的课有选1,2,4和选1,3,4两种选法，第二步将该教师所教的3个班级安排到所选的三个位置，由分步乘法计数原理可得总的排法数为，即12，所以这个教师的课有12种排法.
23．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）
(1)男甲必排在首位；
(2)男甲、男乙必排在正中间；
(3)男甲不在首位，男乙不在末位；
(4)男甲、男乙必排在一起；
(5)4名女生排在一起；
(6)任何两个女生都不得相邻；
(7)男生甲、乙、丙顺序一定．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)，
【分析】（1）分步：先排甲，再排其他人根据乘法计数原理计算即可
（2）分步：先排甲乙，再排其他人根据乘法计数原理计算即可
（3）根据间接法计算可得
（4）根据捆绑法计算可得
（5）根据捆绑法计算可得
（6）根据插空法计算可得
（7）根据定序法计算可得
（1）
男甲必排在首位，则其他人任意排，故有种，
（2）
男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有种，
（3）
男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有种，
（4）
男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有种，
（5）
4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有种，
（6）
任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有种，
（7）
男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，种.
24．0、1、2、3、4、5这六个数.
(1)可组成没有重复数字的数多少个？
(2)可组成没有重复数字的5位数中的偶数多少个？
(3)可组成没有重复数字的5位数中比24305大的数有多少个？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）注意到没有限定是几位数，则利用排列公式分别求出可以组成1、2、3、4、5、6位数的个数，由加法原理计算可得答案.
（2）根据题意，第一种：5位数中无0;第二种：5位数中有0且0在个位;第三种：5位数中有0且0不在个位.利用排列公式分别求出每种情况下5位数的个数，由加法原理计算可得答案.
（3）根据题意，分4种情况讨论： 第一种：首位以是3，4，5的5位数;第二种：前2位是25的数;第三种：前3位是245的数;第四种：前3位是243的数.利用排列公式分别求出每种情况下符合条件的5位数的个数，由加法原理计算可得答案.
【解析】（1）由0、1、2、3、4、5这六个数，
可以组成1位数个，
可以组成2位数个，
可以组成3位数个，
可以组成4位数个，
可以组成5位数个，
可以组成6位数个，
则共可以组成 个.
（2）根据题意，要求是五位数且首位不能是0，则个位必须是偶数，
分3种情况讨论：
第一种：5位数中无0，个位有种取法，其余有种取法，则共有个，
第二种：5位数中有0且0在个位，共有个，
第三种：5位数中有0且0不在个位，有个，
则共有个.
（3）根据题意，分4种情况讨论：
第一种：首位以是3，4，5的5位数都符合要求，共计个，
第二种：其次前2位是25的数有个，
第三种：前3位是245的数有个，
第四种：前3位是243的数的有4个数比24305大，
则共有个.
25．证明，并利用这一结果化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见详解，；
(2).
【分析】由可得，先证出
式子成立，进而求出前项的和即可；
根据证出式子成立，求出前项的和即可；
（1）
解：证明：由可得，
则.
所以
（2）
解：因为，
所以.
26．求证：（，，且）．
【答案】证明见解析
【分析】利用排列数计算公式化简计算等式左边即可得证.
【解析】依题意，左边
右边，
所以原等式成立．
27．用0,1,2,3,4,5六个数字：
(1)能组成多少个没有重复数字的四位数；
(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数；
(3)能组成多少个能被5整除的没有重复数字的四位数；
(4)能组成多少个没有重复数字的比3210大的四位数．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)．
【分析】对特殊元素，特殊位置利用排列问题进行分析即可.
(1)
首位不能为零，先确定首位的数字有5种情况，然后其余的数字任意排列即可，所以共有个.
(2)
因为是偶数，要满足末尾是偶数，当个位是0的有个；个位是2或4的有，所以共个
(3)
个位是0的有个；个位是5的有个，所以共个
(4)
首位比3大的有个，首位是3百位是4或5时有个，当首位为3百位为2，十位可以是4或5时有个，当首位为3百位为2十位为1时个为可以是4或5，共2种，所以共有个．
28．2021年4月29日是江津中学第29届校园文化艺术节活动周暨庆祝中国共产党成立100周年文艺总汇演之日．已知初中、高一、高二分别选送了7，5，3个节目．现回答以下问题（用排列数表示，不需要合并化简）：
(1)若初中的节目彼此都不相邻，则共有多少种出场顺序？
(2)由于一些特殊原因，高一5个节目（分别为，，，，）中的必须在其余4个节目前面演出，高二3个节目（分别为，，）中的必须在其余2个节目前面演出，则共有多少种出场顺序？
【答案】(1)种
(2)种
【分析】（1）根据插空法即可求解不相邻问题，
（2）根据定序问题中全排列以及除法计算即可求解.
（1）
（1）先对高一、高二的节目进行全排列，有种不同的排法，
再在高一、高二的8个节目形成的9个空隙中选7个排初中的7个节目，有种排法，
由分步乘法计数原理可得，共有种不同的出场顺序．
（2）
（2）高一的5个节目全排列，有种不同的排法，其中在其余4个节目前面，有种排法．
高二的3个节目全排列有种不同的排法，其中在其余2个节目前面，有种排法．
初中、高一和高二的15个节目全排列有种不同的排法．
所以不同的排法共有种．6.2.1-6.2.2排列 排列数
一、单选题
1．下列问题属于排列问题的是（ ）
①从10个人中选2人分别去种树和扫地；
②从10个人中选2人去扫地；
③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；
④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算.
A．①④ B．①②
C．④ D．①③④
2．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送书方法的种数为（ ）
A．5 B．10 C．20 D．60
3．男女六位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ）
A． B． C． D．
4．一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735，414等)，那么这样的三位数共有（ ）
A．240个 B．249个
C．285个 D．330个
5．已知，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
6．五声音阶是中国古乐的基本音阶，五个音分别称为宫 商 角 徵 羽，如果将这五个音排成一排，宫 羽两个音不相邻，且位于角音的同侧，则不同的排列顺序有（ ）
A．20种 B．24种 C．32种 D．48种
7．旅游体验师小李受某网站邀请，决定在甲 乙 丙 丁这四个景区进行体验式旅游已知他不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则他可选的旅游路线的条数为（ ）
A．24 B．18 C．16 D．10
8．某同学有7本不同的书，其中语文书2本 英语书2本 数学书3本.现在该同学把这7本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻 2本英语书相邻 3本数学书中任意2本不相邻，则不同的排法种数（ ）
A．12 B．24 C．48 D．720
9．在某校举行的秋季运动会中，有甲，乙，丙，丁四位同学参加了50米短跑比赛.现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1道，乙不在2道的不同安排方法有（ ）种.
A．12 B．14 C．16 D．18
10．某会议结束后，21个会议人员合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，A站在前排正中间位置，B，C两人也站在前排并与A相邻，如果对其他人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
11．名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定两人对局胜者得分，平局各得分，负者得分，并按总得分由高到低进行排序，比赛结束后，名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等，则第二名选手的得分是（ ）
A． B． C． D．
12．若用5种不同颜色去涂五边形的五点顶点，若相邻两点的颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．1440 B．1020 C．1260 D．1480
二、多选题
13．下列各式中，等于的是（ ）
A． B． C． D．
14．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是（ ）
A． B．
C． D．
15．2022年2月5日晩，在北京冬奥会短道速滑混合团体接力决赛中，中国队率先冲过终点，为中国体育代表团拿到本届奥运会首枚金牌.赛后，武大靖，任子威，曲春雨，范可欣，张雨婷5名运动员从左往右排成一排合影留念，下列结论正确的是（ ）
A．武大靖与张雨婷相邻，共有48种排法
B．范可欣与曲春雨不相邻，共有72种排法
C．任子威在范可欣的右边，共有120种排法
D．任子威不在最左边，武大靖不在最右边，共有78种排法
16．甲、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（，2，…，6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．某人抛掷n次骰子后棋子恰好又回到点A处，则（ ）
A．若时，则共有3种不同走法 B．若时，则共有5种不同走法
C．若时，则共有25种不同走法 D．若时，则共有27种不同走法
三、填空题
17．计算 ＝ _________
18．有5名学生站成一排拍毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，则不同的站法共有______种.
19．把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有______种．
20．由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数有_____．
四、解答题
21．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
22．（1）一天有6节课，安排6门学科，这一天的课程表有几种排法？
（2）上午有4节课，一个教师要上3个班级的课，每个班1节课，若不能连上3节，则这个教师的课有几种排法？
23．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达）
(1)男甲必排在首位；
(2)男甲、男乙必排在正中间；
(3)男甲不在首位，男乙不在末位；
(4)男甲、男乙必排在一起；
(5)4名女生排在一起；
(6)任何两个女生都不得相邻；
(7)男生甲、乙、丙顺序一定．
24．0、1、2、3、4、5这六个数.
(1)可组成没有重复数字的数多少个？
(2)可组成没有重复数字的5位数中的偶数多少个？
(3)可组成没有重复数字的5位数中比24305大的数有多少个？
25．证明，并利用这一结果化简：
(1)；
(2)．
26．求证：（，，且）．
27．用0,1,2,3,4,5六个数字：
(1)能组成多少个没有重复数字的四位数；
(2)能组成多少个没有重复数字的四位偶数；
(3)能组成多少个能被5整除的没有重复数字的四位数；
(4)能组成多少个没有重复数字的比3210大的四位数．
28．2021年4月29日是江津中学第29届校园文化艺术节活动周暨庆祝中国共产党成立100周年文艺总汇演之日．已知初中、高一、高二分别选送了7，5，3个节目．现回答以下问题（用排列数表示，不需要合并化简）：
(1)若初中的节目彼此都不相邻，则共有多少种出场顺序？
(2)由于一些特殊原因，高一5个节目（分别为，，，，）中的必须在其余4个节目前面演出，高二3个节目（分别为，，）中的必须在其余2个节目前面演出，则共有多少种出场顺序？
