6.3二项式定理
一、单选题
1．在的展开式中，的系数为
A．5 B． C．10 D．
2．的展开式中常数项是（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
3．已知的展开式中的系数为，则的值为（ ）
A．或
B．或
C．
D．
4．展开式中无理项的项数为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
5．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）
A．90 B．-90 C．180 D．-180
8．若，且，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．不等式的解集为，则的展开式中常数项为
A． B． C． D．
12．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
13．已知，其中为展开式中项的系数，，则下列说法不正确的有（ ）
A．， B．
C． D．是中的最大项
二、多选题
14．关于的说法，正确的是（ ）
A．展开式中的二项式系数之和为1024 B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小
15．若，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
16．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若为偶数，则展开式中和的系数相等
17．若，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
18．在展开式中，含的项的系数是___________.
19．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________
20．已知，则的值为______．
21．已知集合，记集合的非空子集为、、、，且记每个子集中各元素的乘积依次为、、、，则的值为___________.
四、解答题
22．在二项式的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
23．已知二项式的展开式中共有11项.
(1)求展开式的第3项的二项式系数；
(2)求展开式中含的项.
24．已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于．
(1)求的值；
(2)若展开式中的一次项的系数为，求实数的值．
25．已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
26．已知（为正整数）的二项展开式中.
(1)若，求所有项的系数之和；
(2)若，求展开式中的有理项的个数；
(3)若，求系数最大的项.
27．已知，其中．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的值．
28．若，其中.
(1)求m的值；
(2)求；
(3)求.
29．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：
（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；
（3）在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数.试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明.
30．已知.
（1）当时，求的展开式中含项的系数；
（2）证明：的展开式中含项的系数为；
（3）定义：，化简：.6.3二项式定理
一、单选题
1．在的展开式中，的系数为
A．5 B． C．10 D．
【答案】D
【分析】根据二项式定理计算即可.
【解析】解：在的展开式中的项为的系数为-10，
故选：D.
2．的展开式中常数项是（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】B
【分析】求出展开式的通项，令x的指数为0即可求出.
【解析】的展开式的通项为，
令，即，则常数项为.
故选：B.
3．已知的展开式中的系数为，则的值为（ ）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】A
【分析】利用二项定理展开式的通项公式即可求解.
【解析】，
由得，
∴，
故选：A.
4．展开式中无理项的项数为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】写出二项式展开的通项公式，让为分数，得到的即为无理项，求解符合条件的r，即可得答案.
【解析】二项式展开的通项公式，当，3，5，7时，对应的项均为无理数，故无理项的项数为4个，
故选：D.
5．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【分析】先求得展开式中的系数，可得展开式中的系数，从而得答案.
【解析】二项式展开式的通项为，
令可得二项式展开式中的系数为，
∴展开式中的系数为，
可得，解得，
故选：C．
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】，将看成一个整体，写出展开式的通项，令即可求出结果．
【解析】解：，
则其展开式的通项为：，
当时，，
所以．
故选：B．
7．若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（ ）
A．90 B．-90 C．180 D．-180
【答案】C
【分析】由已知可知项数n=10，再表示通项并令其中x的指数为零，求得指定项的系数即可.
【解析】解：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数n=10，即，
则通项为，
令，则.
故选：C.
8．若，且，则实数的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】利用赋值法，令，可得，令，可得，再利用平方差公式即可求解.
【解析】令，得到，
令，得到，
∴，即，，
解得或，
故选：B.
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，可得，可得出，利用展开式通项可知当为奇数时，，当为偶数时，，然后令可得出的值.
【解析】令，可得，则，
二项式的展开式通项为，则.
当为奇数时，，当为偶数时，，
因此，.
故选：A.
【点睛】结论点睛：一般地，若.
（1）；
（2）展开式各项系数和为；
（3）奇数项系数之和为；
（4）偶数项系数之和为.
10．若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】计算，计算，，，根据系数的大小关系得到，解得答案.
【解析】，，，，，
第6项的系数最大，，则.
故选：.
【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.
11．不等式的解集为，则的展开式中常数项为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用一元二次不等式的解可求得实数的值，进而写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，再代入通项即可得解.
【解析】由题意可知，、是二次方程的两根，由韦达定理得，
所以的展开式通项为，
令，得，因此，二项展开式中常数项为.
故选：D.
【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了二项展开式中常数项的求解，考查计算能力，属于中等题.
12．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项，再借助二项式性质即可得解.
【解析】依题意，，
当时，，
于是得
.
故选：B
13．已知，其中为展开式中项的系数，，则下列说法不正确的有（ ）
A．， B．
C． D．是中的最大项
【答案】C
【分析】依题意，写出的展开式，再一一判断即可；
【解析】解：依题意
所以
由上式可知，选项，正确；
展开式中，，的的系数和为：
，而，
故，故正确；
由式子可得，，故选项不正确．
故选：．
二、多选题
14．关于的说法，正确的是（ ）
A．展开式中的二项式系数之和为1024 B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小
【答案】ABD
【分析】对于选项，由二项式系数的性质知正确；对于选项，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故正确，错误；对于选项，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故正确.
【解析】关于的说法：
对于选项，由二项式系数的性质知，二项式系数之和为024，故正确；
对于选项，当为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故正确，错误；
对于选项，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的，故正确.
故选：ABD．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15．若，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用二项式定理及赋值法逐项分析、计算判断作答.
【解析】因，则，A正确；
展开式的通项，，当为奇数时，，当为偶数时，，
则，B正确；
，而，则，C不正确；
，而，则，D正确.
故选：ABD
16．已知的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．展开式中常数项为160
C．展开式系数的绝对值的和1458
D．若为偶数，则展开式中和的系数相等
【答案】ACD
【分析】由题意令，可得的值，所以选项A正确；计算得展开式中常数项为，故选项B不正确；即项的各系数和，为，故选项C正确；展开得展开式中和的系数相等，故选项D正确，
【解析】令，可得的展开式中各项系数的和为，，故选项A正确；
，故展开式中常数项为，故选项B不正确；
的展开式中各项系数绝对值的和，即项的各系数和，为，故选项C正确；
根据
可得若为偶数，则展开式中和的系数相等，故选项D正确，
故选：ACD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是最快速度判断选项C的真假，直接求解比较复杂，转化为项的各系数和，简洁高效.
17．若，则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】利用二项式定理，结合赋值法逐项分析计算作答.
【解析】依题意，令，
，A不正确；
，
，
则，B正确；
显然，，
则，C正确；
，D不正确.
故选：BC
三、填空题
18．在展开式中，含的项的系数是___________.
【答案】720
【分析】根据乘法分配律以及组合数的计算求得正确答案.
【解析】根据乘法分配律可知，含的项的系数是：
.
故答案为：
19．在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数为___________
【答案】
【分析】先由二项式系数最大确定,再由通项公式求含项的系数即可.
【解析】由只有第5项的二项式系数最大可得：.
∴通项公式，
令，解得.
∴展开式中含项的系数为.
故答案为：.
20．已知，则的值为______．
【答案】
【分析】利用二项式展开式的通项进行求解即可.
【解析】的展开式通项为，
所以，
故答案为：
21．已知集合，记集合的非空子集为、、、，且记每个子集中各元素的乘积依次为、、、，则的值为___________.
【答案】
【分析】构造函数，设该函数展开式中所有项系数之和为，则，利用赋值法可求得结果.
【解析】设集合的十个元素分别为、、、.
.
设函数展开式中所有项系数之和为，
则，
因为，所以．
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查的集合子集的判定，构造函数求解，属于难题．本题的关键是根据二项定理的推导过程构造出函数，这种转化思想是本题的难点．
四、解答题
22．在二项式的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；
(2)各项系数之和；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用展开式的二项式系数和可求得结果；
（2）令可求得展开式各项系数之和.
(1)
解：由题意可知，展开式的二项式系数之和为.
(2)
解：由题意可知，展开式的各项系数之和为.
23．已知二项式的展开式中共有11项.
(1)求展开式的第3项的二项式系数；
(2)求展开式中含的项.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据项数求出，再求解第3项的二项式系数；
（2）利用通项公式求解含的项.
（1）
因为二项式的展开式中共有11项，所以，
所以展开式的第3项的二项式系数为.
（2）
的展开式的通项公式为；
令可得，所以展开式中含的项为.
24．已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于．
(1)求的值；
(2)若展开式中的一次项的系数为，求实数的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题设有，结合组合数公式整理成关于n的一元二次方程求解即可.
（2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含的项，结合其系数列方程求的值．
(1)
由题设，，整理得，解得（舍）或；
(2)
由（1）知：二项式展开式通项为，
当时为含的项，故，解得.
25．已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）求出展开式中各项的系数和，二项式系数和，再建立方程求出n，最后根据二项式系数的性质即可得解；
（2）求出二项展开式的通项，根据系数最大列出不等式组即可作答.
【解析】（1）令，则展开式中各项系数和为，展开式中的二项式系数和为，
依题意，，即，整理得，
于是得，解得，而5为奇数，
所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是，；
（2）由(1)知展开式通项为，
令Tr＋1项的系数最大，则有，即，
整理得，解得，而，从而得，
所以展开式中系数最大项为.
26．已知（为正整数）的二项展开式中.
(1)若，求所有项的系数之和；
(2)若，求展开式中的有理项的个数；
(3)若，求系数最大的项.
【答案】(1)
(2)11
(3)
【分析】（1）由题意求出，令中，即可得出答案.
（2）求出，写出的通项，要使展开式为有理项，则，求解即可；
（3）设二项式展开式第项的系数最大，求出的通项，则，解不等式即可得出答案.
【解析】（1）因为，
而，
所以.
所以令中，则所有项的系数之和为：.
（2）若，则，
，解得：.
则的通项为：，
其中，要使展开式为有理项，
则，则，
故展开式中的有理项的个数为.
（3）若，则的通项为：，
则设二项式展开式第项的系数最大，
则，得，
化简得：，解得：.
因为，则，所以系数最大的项为.
27．已知，其中．
(1)若，，求的值；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）结合二项式的展开式的通项公式得，令即可求出结果；
（2）构造，分别求出和的值，进而可求出结果.
(1)
，，
，
令，得，∴．
(2)
若，，
记，
，
，
∴
28．若，其中.
(1)求m的值；
(2)求；
(3)求.
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】（1）由展开式的通项求解即可；
（2）令与即可求解；
（3）令并结合（2）即可求解得
【解析】（1）的展开式的通项为，
所以，
所以，解得；
（2）由（1）知，
令，可得，
令，可得，
所以；
（3）令，可得，
由（2）知，
所以
29．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：
（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；
（3）在第2斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数.试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明.
【答案】（1）1140；（2）2n＋1－1；（3）证明见解析.
【分析】（1）计算即得解；
（2）计算1＋2＋22＋…＋2n即得解；
（3）根据题意，所求结论可表示为、且．再由组合数的性质：，代入等式的左边进行化简整理，即可得到该等式成立
【解析】（1）由题意，得第行的从左到右第个数，，且，所以第20行中从左到右的第4个数为＝1140；
（2）n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和为1＋2＋22＋…＋2n＝；
（3）用公式表示为：、且
证明：左式
右式
即等式、且成立．
30．已知.
（1）当时，求的展开式中含项的系数；
（2）证明：的展开式中含项的系数为；
（3）定义：，化简：.
【答案】（1）84；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）当时根据二项展开式分别求出每个二项式中的含项的系数之和即可；
(2)根据二项展开式求出含项的系数，结合题意和即可得出结论；
(3)根据组合数的性质可得和
，两式左右边分别同时加并两式相加，结合二项式系数和即可得出结论.
【解析】（1）当时，，
的展开式中含项的系数为.
（2），，
故的展开式中含项的系数为
因为，
所以项的系数为：
.
（3）①
②
在① ②添加，则得
③
④
③+④得：
【点睛】在解决二项式开展式有关证明的问题时，要充分利用组合数的性质、，要熟练二项式系数之和、指定项的系数的求法，要清楚二项式系数和项的系数的区别，在运算过程中应提高计算能力和逻辑推理能力.
