1.2直线的方程
一、单选题
1．直线恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当，即时，，直线恒过定点.故选：B.
2．直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设直线的斜率为，则直线方程为，直线在轴上的截距为1－，令－3<1－<3，解不等式得或.故选：D.
3．已知，满足，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】C
【解析】将代入直线方程，得，所以直线必过定点，故点到直线的距离的最大值为.
故选:C
4．若直线经过点，且在轴上的截距的取值范围是（3，5），则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，
令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1－，则3<1－<5，解得
所以直线的斜率的取值范围为.故选：A
5．不经过原点经过点，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线（ ）
A．只有一条 B．有两条 C．有三条 D．有四条
【答案】A
【解析】因为直线不经过原点且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，
所以可设直线方程为，因为直线过点，
所以，解得，即直线方程为，
所以满足条件的直线只有一条．故选：A
6．在x，y轴上的截距分别为－3，4的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由截距式方程可得，所求直线方程为．故选：A．
7．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】若过的直线与平行，因为，
故直线的方程为：即.
若过的直线过的中点，因为的中点为，此时，
故直线的方程为：即.故选：D.
8．过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】结合图形可知，所求直线为过点且与原点和点连线垂直的直线，其斜率为，直线方程为，即.故选：A.
二、多选题
9．已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】AC
【解析】若直线过原点，则，解得；
若直线不过原点，则在轴上的截距为，在轴上的截距为，则，可得，综上，的值可能是1或2.故选：AC.
10．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．平面上任一条直线都可以用一个关于的二元一次方程（不同时为0）表示
B．当时，方程（不同时为0）表示的直线过原点
C．当时，方程表示的直线与轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
【答案】ABC
【解析】对于选项A，在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，
当时，直线的斜率存在，其方程可写成，
它可变形为，与比较，
可得，显然不同时为0，
当时，直线方程为，与比较，
可得，显然不同时为0，所以此说法是正确的.
对于选项B，当时，方程（不同时为0），
即，显然有，即直线过原点.故此说法正确.
对于选项C，当时，方程可化为，
它表示的直线与轴平行，故此说法正确.
对于选项D，当时，方程不能化为斜截式，故此说法错误.
故选：ABC.
11．已知直线l的方程是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则直线l不过原点
B．若，则直线l必过第四象限
C．若直线l不过第四象限，则一定有
D．若且，则直线l不过第四象限
【答案】ABD
【解析】对A，若，则都不等于0，当时，，所以直线l不过原点，故A正确；
对B，若，则直线斜率，则直线一定过第二四象限，故B正确；
对C，若直线l不过第四象限，若有直线过第一二象限时，此时，则，故C错误；对D，若且，则，所以直线的斜率大于0，在轴上截距小于0，所以直线经过第一二三象限，不经过第四象限，故D正确.
故选：ABD.
12．已知直线，，，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的斜率不存在
C．当时，直线l的倾斜角为 D．当时，直线l与直线垂直
【答案】CD
【解析】直线，故时，，故直线l恒过定点，选项A错误；当时，直线，斜率，故选项B错误；
当时，直线，斜率，故倾斜角为，选项C正确；
当时，直线，斜率，，
故，故直线l与直线垂直，选项D正确.故选：CD.
三、填空题
13．已知函数（其中是自然对数的底数），若在平面直角坐标系中，所有满足的点都不在直线上，则直线的方程可以是__________（写出满足条件一个直线的方程即可）.
【答案】（不唯一）
【解析】在上单调递增，
，，
曲线关于点中心对称，
在平面直角坐标系中，所有满足即的点都不在直线上.所以，直线上的点都满足，即直线在表示的半平面内，
故直线斜率为，纵截距小于等于2，如等.
故答案为：（不唯一）
14．经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是______．
【答案】
【解析】由题知，直线斜率为，
则直线点斜式方程为：
故答案为：
15．已知点，，则线段的垂直平分线方程为__________．
【答案】
【解析】由中点坐标公式可得，的中点为，
可得直线的斜率为，
由垂直关系可得其垂直平分线的斜率为，
故可得所求直线的方程为：，
化为一般式可得，故答案为：
16．将直线绕其与x轴的交点逆时针旋转后得到直线，则在y轴上的截距为________．
【答案】
【解析】易知的倾斜角为，所以的倾斜角为，又由题意知过点，所以的方程为，即，从而可知在y轴上的截距为．故答案为：
四、解答题
17．设直线l的方程为，根据下列条件分别确定m的值：
（1）直线l在x轴上的截距为；
（2）直线l的倾斜角为．
【解析】（1）由题意得，解得且
解得，所以．
故当时，直线在轴上的截距为．
（2）由题意得，解得且，
解得，所以．
故当时，直线的倾斜角为．
18．在三角形ABC中，已知点A(4，0)，B(－3，4)，C(1，2)．
(1)求BC边上中线的方程；
(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．
【解析】 (1)∵B（－3，4），C（1，2），
∴线段BC的中点D的坐标为（－1，3），
又BC边上的中线经过点A（4，0），
∴y（x－4），即3x+5y－12＝0，
故BC边上中线的方程.
(2)当直线在x轴和y轴上的截距均为0时，可设直线的方程为y＝kx，
代入点B（－3，4），则4＝－3k，解得k，
所以所求直线的方程为yx，即4x+3y＝0；
当直线在x轴和y轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为1，
代入点B（－3，4），则，解得m，
所以所求直线的方程为1，即x+2y－5＝0，
综上所述，该直线的一般式方程为4x+3y＝0或x+2y－5＝0．
19．过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程；
(2)对于①最小，②面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程.
【解析】 (1)因为过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A、B，且是等腰直角三角形，
所以直线l的倾斜角为，
所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即；
(2)设，，直线l的方程为，代入点可得，
若选①：，当且仅当时等号成立，
此时直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即；
若选②：由，可得，当且仅当时等号成立，
所以，即面积最小为4，
此时直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即.
20．已知直线l经过点.
(1)若在直线l上，求l的一般方程；
(2)若直线l与直线垂直，求l的一般方程.
【解析】 (1)∵直线l经过点，且在直线l上，
则由两点式求得直线的方程为，
即；
(2)∵直线l与直线垂直，则直线l的斜率为.
又直线l经过点，故直线l的方程为，
即.
21．（1）已知过点（1，－1）的直线在轴上的截距比在轴上的截距大，求此直线的方程；
（2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程.
【解析】（1）设直线在轴上的截距为，
则在轴上的截距为，
由题意可知且，
则此直线的方程为.
又此直线过点（1，－1），
所以，解得或，
故所求的直线方程为或，
可化为或.
（2）①当在轴、轴上的截距都是0时，设所求直线方程为，
将（－5，2）代入中，得，
此时直线方程为，即；
②当在轴、轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为，
将（－5，2）代入中，得，
此时直线方程为，
综上所述，所求直线方程为或.
22．根据所给条件求直线的方程：
（1）过点P(－2，4)且斜率k＝3；
（2）直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
【解析】（1）由题设知，直线l的方程为y－4＝3(x＋2)，即3x－y＋10＝0.
（2）由题设知：横、纵截距均不为0，故可设直线方程为.
∵直线过点(－3，4)，
∴，解得a＝－4或9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.1.2直线的方程
一、单选题
1．直线恒过定点（ ）
A． B．
C． D．
2．直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，满足，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．若直线经过点，且在轴上的截距的取值范围是（3，5），则其斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．不经过原点经过点，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线（ ）
A．只有一条 B．有两条 C．有三条 D．有四条
6．在x，y轴上的截距分别为－3，4的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知直线在轴和轴上的截距相等，则的值可能是（ ）
A．1 B． C．2 D．
10．（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．平面上任一条直线都可以用一个关于的二元一次方程（不同时为0）表示
B．当时，方程（不同时为0）表示的直线过原点
C．当时，方程表示的直线与轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化
11．已知直线l的方程是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则直线l不过原点
B．若，则直线l必过第四象限
C．若直线l不过第四象限，则一定有
D．若且，则直线l不过第四象限
12．已知直线，，，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l恒过定点 B．当时，直线l的斜率不存在
C．当时，直线l的倾斜角为 D．当时，直线l与直线垂直
三、填空题
13．已知函数（其中是自然对数的底数），若在平面直角坐标系中，所有满足的点都不在直线上，则直线的方程可以是__________（写出满足条件一个直线的方程即可）.
14．经过点，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是______．
15．已知点，，则线段的垂直平分线方程为__________．
16．将直线绕其与x轴的交点逆时针旋转后得到直线，则在y轴上的截距为________．
四、解答题
17．设直线l的方程为，根据下列条件分别确定m的值：
（1）直线l在x轴上的截距为；
（2）直线l的倾斜角为．
18．在三角形ABC中，已知点A(4，0)，B(－3，4)，C(1，2)．
(1)求BC边上中线的方程；
(2)若某一直线过B点，且x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的一般式方程．
19．过点作直线l分别与x，y轴正半轴交于点A，B.
(1)若是等腰直角三角形，求直线l的方程；
(2)对于①最小，②面积最小，若选择___________作为条件，求直线l的方程.
20．已知直线l经过点.
(1)若在直线l上，求l的一般方程；
(2)若直线l与直线垂直，求l的一般方程.
21．（1）已知过点（1，－1）的直线在轴上的截距比在轴上的截距大，求此直线的方程；
（2）求过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线方程.
22．根据所给条件求直线的方程：
（1）过点P(－2，4)且斜率k＝3；
（2）直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.
