1.4两条直线的交点
一、单选题
1．直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为，则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故选：B.
2．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题知：
①当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.
即.
②当直线与直线平行时，三条直线不能构成三角形.
即.
③当直线过直线与直线交点时，
三条直线不能构成三角形.
所以，解得，
将代入，解得.
所以实数的取值集合为.故选：D.
3．若三条直线，和相交于一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】联立，解得，即直线与直线交于点， 将点的坐标代入直线的方程中，得，解得.故选：B.
4．无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】直线方程可化为，则此直线过直线和直线的交点．由解得因此所求定点为．故选：D．
5．设集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题知集合表示直线，即上的点，但除去点（1，3），
集合表示直线上的点，
易知直线与直线不重合，
所以当时，直线与直线相交且交点不是点（1，3），
当时，两条直线相交且交点为（4，9），符合题意；
当时，由且，得且且.
综上，且.故选：C.
6．经过直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点，且垂直于直线l1的方程为（ ）
A．2x﹣y+13＝0 B．x+2y+13＝0 C．2x﹣y﹣13＝0 D．x+2y﹣13＝0
【答案】B
【解析】联立直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的方程，
解得x＝﹣3，y＝﹣5，所以直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为（﹣3，﹣5），又直线l1的斜率为2，故所求直线的斜率为，
所以所求直线的方程为，即x+2y+13＝0．故选：B
7．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直线恒过的定点，.
当时，直线方程为，与线段有交点，符合题意.
当时，直线的斜率为，则，
解得或，综上，.故选：C
8．直线l经过两条直线3x+4y﹣5＝0和3x﹣4y﹣13＝0的交点，且与直线x+2y+1＝0垂直，则l的方程是（ ）
A．2x+y﹣7＝0 B．2x﹣y﹣7＝0
C．2x+y+7＝0 D．2x﹣y+7＝0
【答案】B
【解析】联立方程，解得x＝3，y＝﹣1，故所求直线l过点（3，﹣1），
由直线x+2y+1＝0的斜率为，可知l的斜率为2，
由点斜式方程可得：y+1＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣7＝0，故选：B
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．点关于直线的对称点为
C．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
【答案】ABD
【解析】当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A选项正确；设关于直线的对称点为，则满足，解得：，故点关于直线的对称点为，B正确；当在x轴和y轴上截距都等于0时，此时直线为，故C错误；直线与两坐标轴的交点坐标为与，故与两坐标轴围成的三角形的面积为，D正确故选：ABD
10．已知△是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且，，BD与CE交于点O，则（ ）
A． B．
C． D．方向上的投影向量的模为
【答案】BD
【解析】如图，以B为坐标原点，所在直线为轴，垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则，，，因为，故为的中点，所以，设，则，，因为，故，即，解得：，则
设直线：，则代入，解得：，所以直线：，
设直线：，把，代入，解得：，
所以直线：，联立，解得：，故，A选项：，A选项错误；B选项：，故B选项正确；
，，，
所以，故，C选项错误；方向上的投影向量的模为，故方向上的投影向量的模为，D选项正确. 故选：BD
11．已知平面上三条直线，，不能构成三角形，则实数k的值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】ABC
【解析】依题：三条直线交于一点或其中两条平行且与第三条直线相交，
①当直线经过直线与直线的交点时，
，解得.
②当直线与直线平行时，，解得；
当直线与直线平行时，可得，
综上：或或.故选:ABC.
12．瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知的顶点，，其欧拉线方程为，则下列正确的是（ ）
A．重心的坐标为或
B．垂心的坐标为或
C．顶点C的坐标为或
D．欧拉线将分成的两部分的面积之比为
【答案】BCD
【解析】AB的中点为，AB的中垂线方程为，即，
联立，解得.
∴的外心为，
设，由重心坐标公式得，
三角形的重心为，代入欧拉线方程得：，整理得：①
又外心为，
所以，
整理得：②联立①②得：，或，，
所以顶点的坐标是或.
重心的坐标为或；
由于或，所以垂心的坐标为或.
因为直线与欧拉线平行，所以两部分的面积之比是或.故选：BCD
三、填空题
13．经过和的交点，且与垂直的直线方程为______.
【答案】##+
【解析】解法1：由得.
又的斜率为，故所求直线的斜率为2，
由点斜式得，即．
解法2 ：设所求的直线方程为，
即，由题意得，得，
所以所求直线方程为．
故答案为：.
14．若直线经过直线和的交点，则___________.
【答案】
【解析】由题意，直线，，交于一点，
所以，得，
所以直线过点，
得，求解得.
故答案为：
15．已知直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，则直线方程为___________.
【答案】
【解析】由，解可得，
所以两直线的交点坐标为，则直线过点，
因为直线与垂直，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为：，即，故答案为：.
16．经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线的一般式方程为______．
【答案】
【解析】由解得，故交点坐标为，由平行于直线可得斜率为1，故方程为，化为一般方程为.故答案为：.
四、解答题
17．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.
【解析】设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上，代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，
即点A(4，0)在直线l上，∴直线l的方程为即x＋4y-4＝0.
18．求过直线和的交点P，且与直线垂直的直线l的方程.
【解析】解法一：由，解得
直线的斜率为，
直线的斜率为4.
因此满足条件的直线l的方程为：，即.
解法二：直线l垂直于直线.
设直线l的方程为.
与的交点为，
，
解得从而.
所以直线l的方程为.
解法三：因为直线l过与的交点，
设直线l的方程为，
即，
与直线垂直，
，解得.
直线l的方程为.
19．已知的一个顶点，且，的角平分线所在直线的方程依次是，，求的三边所在直线的方程.
【解析】记的角平分线交于点，的角平分线交于点.由角平分线的性质，知点关于直线，的对称点，均在直线上.
∵直线的方程为，，则，解得，∴.∵直线的方程为，∴同理求得，
∴直线的方程是，即，这也是所在直线的方程.
由，得，由，得，
∴所在直线的方程是，所在直线的方程是.
20．三条直线 有且只有两个交点，求实数的值.
【解析】由得：，即有一个交点，或；
即或，解得：或.
21．已知直线：与直线：的交点为，求经过点且满足下列条件的直线的方程：（方程结果用一般式表示）
(1)与直线平行；
(2)与直线垂直.
【解析】 (1)由，解得，
所以交点为，直线的斜率为-2，
因为所求直线与直线平行，
可得所求直线的斜率，
所以所求直线方程为，即；
(2)因为直线的斜率为，
因为所求直线与直线垂直，
故所求直线的斜率，
所以所求直线方程为，
即.
22．已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为(1，2).
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）的面积最小值及此时直线l的方程.
【解析】（1）因为点A在BC边上的高所在的直线x-2y+1=0上，且在∠A的平分线所在的直线y=0上，所以解方程组得A(-1，0).
因为BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1=0，所以kBC=-2，
因为点C的坐标为(1，2)，所以直线BC的方程为2x+y-4=0，
因为kAC=1，kAB=-kAC=-1，所以直线AB的方程为x+y+1=0，
解方程组得B(5，-6)，
故点A，点B的坐标分别为(-1，0)，(5，-6).
（2）依题意得直线的斜率存在，设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k<0)，
则M，N(0，2-k)，
所以S△MON=··(2-k)=·≥=4，
当且仅当= ，即时取等号，
所以(S△MON)min=4，此时直线l的方程是2x+y-4=0.1.4两条直线的交点
一、单选题
1．直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为（ ）
A． B．
C． D．
3．若三条直线，和相交于一点，则（ ）
A． B． C． D．
4．无论k为何值，直线都过一个定点，则该定点为（ ）
A． B． C． D．
5．设集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．经过直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点，且垂直于直线l1的方程为（ ）
A．2x﹣y+13＝0 B．x+2y+13＝0 C．2x﹣y﹣13＝0 D．x+2y﹣13＝0
7．已知线段AB两端点的坐标分别为和，若直线与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．直线l经过两条直线3x+4y﹣5＝0和3x﹣4y﹣13＝0的交点，且与直线x+2y+1＝0垂直，则l的方程是（ ）
A．2x+y﹣7＝0 B．2x﹣y﹣7＝0
C．2x+y+7＝0 D．2x﹣y+7＝0
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．点关于直线的对称点为
C．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
D．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
10．已知△是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且，，BD与CE交于点O，则（ ）
A． B．
C． D．方向上的投影向量的模为
11．已知平面上三条直线，，不能构成三角形，则实数k的值可以为（ ）
A． B． C．0 D．1
12．瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心 重心 垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知的顶点，，其欧拉线方程为，则下列正确的是（ ）
A．重心的坐标为或
B．垂心的坐标为或
C．顶点C的坐标为或
D．欧拉线将分成的两部分的面积之比为
三、填空题
13．经过和的交点，且与垂直的直线方程为______.
14．若直线经过直线和的交点，则___________.
15．已知直线经过两条直线和的交点，且垂直于直线，则直线方程为___________.
16．经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线的一般式方程为______．
四、解答题
17．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：和l2：截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.
18．求过直线和的交点P，且与直线垂直的直线l的方程.
19．已知的一个顶点，且，的角平分线所在直线的方程依次是，，求的三边所在直线的方程.
20．三条直线 有且只有两个交点，求实数的值.
21．已知直线：与直线：的交点为，求经过点且满足下列条件的直线的方程：（方程结果用一般式表示）
(1)与直线平行；
(2)与直线垂直.
22．已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为(1，2).
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）的面积最小值及此时直线l的方程.
