专题01 空间向量的线性运算
目录
☆【题型一】空间向量的概念 1
☆【题型二】空间向量的线性运算 2
☆【题型三】向量共线的判定及应用：线线平行 5
☆【题型四】向量共线的判定及应用：三点共线 7
☆【题型五】向量共线的判定及应用：线面平行 8
☆【题型一】空间向量的概念
【例题】如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
【答案】(1)，及．
(2)，，，.
(3)||＝3.
【详解】(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个．
(2)向量的相反向量为，，，.
(3)||＝＝＝3.
【变式训练】
1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】 C
【详解】 与相等的向量有，，，共3个．
2．在三棱锥O－ABC中，＋－等于( )
A. B.
C. D.
【答案】 C
【详解】 ＋－＝－＝＋＝，故选C.
☆【题型二】空间向量的线性运算
【例题】
1．如图，在三棱柱中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）．（2）．（3）．
【详解】（1）．
（2）因为M是的中点，所以．
又，所以，
所以．
（3）．
【变式训练】
1．如图，在空间四边形ABCD中，E是线段AB的中点，，连接EF，CE，AF，BF．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）．
（2）．
（3）．
【详解】（1）如图：．
（2）如图：．
（3）如图：．
2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－－＝________；
(2)用，，表示，则＝________.
【答案】 (1) (2)＋＋
【详解】 (1)－－＝－(＋)＝－＝－＝.
(2)＝＋＝(＋)＋＝＋＋.
【例题】
2．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，若＝m＋n＋，求m, n的值．
【答案】m＝n＝.
【详解】因为点E是上底面A1B1C1D1的中心，
所以＝(＋)＝(＋)＝＋.
又因为＋＝，
所以m＝n＝.
【变式训练】
1．如图，在正方体中，点F是侧面的中心，若，求m, n的值．
【答案】m＝n＝.
【详解】因为点F 是正方形的中心，
所以，且，
故．
故．
2．在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，若＝x＋＋，则x＋y＋z＝___.
【答案】6.
【详解】在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，＝＋＋，
而＝x＋＋，
所以 得
所以x＋y＋z＝6.
☆【题型三】向量共线的判定及应用：线线平行
【例题】如图，在正方体中，点M，N分别在线段，上，且，，P为棱的中点．求证：．
【详解】证明 ．
因为，，
所以
．
又因为P为中点，
所以，
从而与为共线向量．
因为直线MN与BP不重合，所以．
【变式训练】
1．如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.
【详解】（方法1） ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.①
又∵＝＋＋＋＝－＋－－，②
①＋②得2＝，
∴与共线．
又∵直线CE与MN不重合，
∴CE∥MN.
（方法2） ∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，
∴＝－＝(＋)－＝(＋)－(＋)＝(－)＝(－)＝.
∴与共线．
又∵直线CE与MN不重合，
∴CE∥MN.
2．若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的k的值为________．
【答案】 －
【详解】由题意知，存在实数λ使得2ke1－e2＝λ[e1＋2(k＋1)e2]，
即解得
☆【题型四】向量共线的判定及应用：三点共线
【例题】设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知＝2e1＋ke2, ＝e1＋3e2, ＝2e1－e2，且A, B, D三点共线，求实数k的值．
【详解】＝e1＋3e2, ＝2e1－e2，
故＝＋＝(e1＋3e2)＋(－2e1＋e2)＝－e1＋4e2.
因为A, B, D三点共线，所以＝λ，
即2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2).
因为e1，e2是不共线的向量，
所以 得k＝－8.
【变式训练】
1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.
求证：C1，O，M三点共线．
【详解】证明 设＝a，＝b，＝c，
则＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)
＝＋＋(＋＋)＝＋＋＝a＋b＋c，
＝＋＝＋＝(＋)＋＝a＋b＋c，
∴＝3，又直线MC1与直线MO有公共点M，
∴C1，O，M三点共线．
2．设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________.
【答案】－3
【详解】因为＝－2a－b，＝a－2b.
所以＝＋＝－＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b，
因为A，B，D三点共线，
所以存在实数λ，使得＝λ，
即9a＋mb＝λ(－3a＋b)．
所以
解得m＝λ＝－3.
☆【题型五】向量共线的判定及应用：线面平行
【例题】如图，在三棱锥A BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD.
【详解】证明 过点P, Q分别作PS∥AD交BD于点S, QT∥AD交CD于点T，
连接ST，则＝， ＝.
因为＝，所以＝，
所以四边形PQTS是平行四边形，
则＝.
所以PQ∥ST.
又因为PQ 平面BCD, ST 平面BCD，
所以PQ∥平面BCD.
【变式训练】
已知E, F, G, H分别为四面体ABCD的棱AB, BC, CD, DA的中点，且E, F, G, H四点共面，求证：BD∥平面EFGH.
【详解】证明 因为＝－＝－＝，
所以EH∥BD.
又因为EH 平面EFGH, BD 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.专题01 空间向量的线性运算
目录
☆【题型一】空间向量的概念 1
☆【题型二】空间向量的线性运算 2
☆【题型三】向量共线的判定及应用：线线平行 5
☆【题型四】向量共线的判定及应用：三点共线 7
☆【题型五】向量共线的判定及应用：线面平行 8
☆【题型一】空间向量的概念
【例题】如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
【变式训练】
1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量相等的向量共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2．在三棱锥O－ABC中，＋－等于( )
A. B.
C. D.
☆【题型二】空间向量的线性运算
【例题】
1．如图，在三棱柱中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1）； （2）； （3）．
【变式训练】
1．如图，在空间四边形ABCD中，E是线段AB的中点，，连接EF，CE，AF，BF．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1）；（2）；（3）．
2．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1)化简：－－＝________；
(2)用，，表示，则＝________.
【例题】
2．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1的中心，若＝m＋n＋，求m, n的值．
【变式训练】
1．如图，在正方体中，点F是侧面的中心，若，求m, n的值．
2．在平行六面体ABCD A′B′C′D′中，若＝x＋＋，则x＋y＋z＝___.
☆【题型三】向量共线的判定及应用：线线平行
【例题】如图，在正方体中，点M，N分别在线段，上，且，，P为棱的中点．求证：．
【变式训练】
1．如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN.
2．若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2(k＋1)e2共线的k的值为________．
☆【题型四】向量共线的判定及应用：三点共线
【例题】设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知＝2e1＋ke2, ＝e1＋3e2, ＝2e1－e2，且A, B, D三点共线，求实数k的值．
【变式训练】
1．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M.
求证：C1，O，M三点共线．
2．设a，b是空间中两个不共线的向量，已知＝9a＋mb，＝－2a－b，＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________.
☆【题型五】向量共线的判定及应用：线面平行
【例题】如图，在三棱锥A BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.求证：PQ∥平面BCD.
【变式训练】
已知E, F, G, H分别为四面体ABCD的棱AB, BC, CD, DA的中点，且E, F, G, H四点共面，求证：BD∥平面EFGH.
