2022—2023学年人教版九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 单元复习题（含解析）

人教版九年级数学下册第二十八章 锐角三角函数 单元复习题
一、单选题
1．如图，在△ABC中，AC=3，BC＝4，AB＝5,则tanB的值是（　　）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=2，sinA= ，那么AB的长是（　　）
A．3 B． C． D．
3．如果∠A是锐角，且sinA＝ ，那么∠A的度数是（　　）
A．90° B．60° C．45° D．30°
4．如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）都为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（　　）
A．5m B．6m C．7m D．8m
5．直角梯形ABCD如图放置，AB、CD为水平线，BC⊥AB，如果∠BCA＝67°，从低处A处看高处C处，那么点C在点A的（　　）
A．俯角67°方向 B．俯角23°方向
C．仰角67°方向 D．仰角23°方向
6．如图，已知：45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是（　　）
A．sinA=cosA B．sinA＞cosA C．sinA＞tanA D．sinA＜cosA
7．已知，，，，那么下列各式中正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，若△ABC底边BC上的高为h1，△DEF底边EF上的高为h2，则h1与h2的大小关系是（　　）
A．h1=h2 B．h1C．h1>h2 D．以上都有可能
9．在中，，，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在Rt△ABC中， ， ， ，以 边上一点 为圆心作 ，恰与边 ， 分别相切于点 ， ，则阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算： ﹣2cos60°=　 　.
12．如图，在 8×4 的矩形网格中，每个小正方形的边长都是 1，若 的三个顶点在图中相应的格点上，则 的值为　 　
13．如图，在一笔直的海岸线上有、两个观测站，在的正西方向，km，从测得船在北偏东45°的方向，从测得船在北偏西30°的方向，则船离海岸线的距离是　 　.
14．如图，在 中， ， ， ， 于 ，与 等长的线段 在边 上沿 方向以 的速度向终点 运动 运动前 与 重合 ，过 ， 分别作 的垂线交直角边于 ， 两点，设 运动的时间为 .
（1）线段 运动过程中，四边形 成为矩形时 的值　 　；
（2）以 ， ， 为顶点的三角形与 相似时 的值　 　.
三、计算题
15．计算：.
16．计算：
四、解答题
17．先化简，再求代数式的值，其中．
18．某一天，小明和小亮想利用所学过的测量知识来测量G棵古树的高度AB．他们带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示，于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，通过测倾器测得树的顶端A的仰角为45°，再在BD的延长线上确定一点F，使DF=5米，并在F处通过测倾器测得树的顶端A的仰角为30°，测倾器的高度CD=EF=1米已知点FD、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（结果保留根号）
19．如图，一架遥控无人机在点 处测得某高楼顶点 的仰角为 ，同时测得其底部点 的俯角为 ，点 与点 的距离为60米，求这栋楼高 的长.
20．今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，如图，在A处测得航标C在北偏东60°方向上．前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上．在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩．如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？（供考生参考的数据： ≈1.732）
五、综合题
21．如图，CD是△ABC的外角∠ECA的平分线，CD交过A，B，C三点的⊙O于点D.
（1）求证：；
（2）若，，求sin∠ACB的值.
22．在直角梯形ABCD中，，，，，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F．
（1）求证：；
（2）求的值．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B是x轴正半轴上一点，连接AB，过点A作AC⊥AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连接BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连接并延长AE交x轴于点F，连接DF.
（1）求线段AE的长；
（2）若∠ABE＝∠FDE，求EF的值.
（3）若AB﹣BO＝4，求tan∠AFC的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠C=90°，
∴tanB= ，
故答案为：A.
【分析】 利用勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，利用正切的定义即可求出结论.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵sinA＝ ，BC=2，
∴AB＝ ＝3，
故答案为：A．
【分析】根据正弦函数的定义可直接求解．
3．【答案】D
【解析】【解答】 是锐角，且 ，
的度数是 .
故答案为： .
【分析】利用特殊角的三角函数值解答即可.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：如下图：
∵AB的坡度为0.75=，
∴，
即：，
∴AC=3，
∴AB=5，
∴相邻两树间的坡面距离为5 m.
故答案为：A.
【分析】根据坡度的定义：坡度=坡角的正切=，求出AC的长，进而根据勾股定理求出AB的长即相邻两树间的坡面距离.
5．【答案】D
【解析】【解答】∵BC⊥AB，∠BCA＝67°，
∴∠BAC＝90°﹣∠BCA＝23°，
从低处A处看高处C处，那么点C在点A的仰角23°方向；
故答案为：D.
【分析】求出∠BAC＝23°，即可得出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解: ∵45°＜A＜90°，
∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，
当∠A＞45°时，sinA＞cosA．
故答案为：B．
【分析】根据锐角三角函数的增减性解答.当45°＜a＜90°，sina随角度的增大而增大，cosa随角度的增大而减小.
7．【答案】C
【解析】【解答】∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，
∴AB＝＝，
∴sinA＝＝，
tanA＝，
tanB＝，
cosB＝＝，故C符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用锐角三角函数的定义逐项判断即可。
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高AH即为h1，△DEF底边EF上的高DG即h2，
∴在Rt△ABC中，h1=AH=5·sin50°，
在Rt△DGF中，h2=DG=5·sin50°，
∴h1=h2.
故答案为：A.
【分析】分别作出△ABC底边BC上的高AH即为h1，△DEF底边EF上的高DG即h2，分别在Rt△ABC中和Rt△DGF中，利用锐角三角函数表示出h1和h2，再比较大小即可得出正确答案.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴ ，
∴．
故答案为：B
【分析】利用解直角三角形的方法求出即可。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：连结OC，
∵以AB边上一点O为圆心作 ，恰与边AC ，BC分别相切于点A， D ，
∴DC=AC，OC平分∠ACD，
∵ ， ，
∴∠ACD=90°-∠B=60°，
∴∠OCD=∠OCA= =30°，
在Rt△ABC中，AC=ABtanB=3× ，
在Rt△AOC中，∠ACO=30°，AO=ACtan30°= ，
∴OD=OA=1，DC=AC= ，
∴ ， ，
∵∠DOC=360°-∠OAC-∠ACD-∠ODC=360°-90°-90°-60°=120°，
∴ ，
S阴影= .
故答案为：A.
【分析】连结OC，利用切线长定理可证得DC=AC，OC平分∠ACD，从而可求∠B，∠ACD，∠OCD的度数；在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AC的长；在Rt△AOC中，利用解直角三角形求出AO的长，即可得到OD，DC的长；利用三角形的面积公式求出△AOC和△OCD的面积，同时可求出∠AOD的度数；利用扇形的面积公式求出扇形AOD的面积，然后求出阴影部分的面积即可.
11．【答案】3
【解析】【解答】 ﹣2cos60°
=4-2×
=3，
故答案为3.
【分析】按顺序先进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行减法运算即可.
12．【答案】
【解析】【解答】由图形知：tan∠ACB= ，
故答案为 .
【分析】根据题意结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解.
13．【答案】km
【解析】【解答】解：如图所示，过C作AB的垂线交AB于D
由题易知：∠CAD=45°，∠CBD=60°
设BD=x
在Rt△BCD中，∠CBD=60°
sin60°=
∴CD=
在Rt△ACD中，∠CAD=45°
∴AD=CD=
∴=2
解得：
∴CD=
故答案是：()km
【分析】过C作AB的垂线交AB于D，由题易知∠CAD=45°，∠CBD=60°，设BD=x，则CD=，AD=CD=，根据AB=AD+BD=2，建立关于x方程并解之即可.
14．【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）当四边形PEFQ是矩形时，有 ，
由已知得 ，
与求 类似可求出 ，
，
解得 ，
当 时，四边形PEFQ是矩形.
故答案为： .
（2）当 时， ∽ ，
且四边形PEFQ 是矩形，此时 ，
当 时，
由三角形面积公式得： ，
， ， ，
，
在 中， ， ，由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
∽ ，
，
即 ，
解得 ，
当 或 时，以 ， ， 为顶点的三角形与 相似.
故答案为： .
【分析】（1）根据矩形的性质可得PE=QF，由已知可得PE=x，QF=(-x)，求解可得x的值；
（2）当∠APQ=∠B时，△APQ∽△ABC，且四边形PEFQ为矩形，同（1）可得x的值；当∠APQ=∠C时，根据三角形的面积公式可得AD，由勾股定理求出BD，然后表示出CF，根据三角函数的概念可得CQ，然后表示出AQ，利用相似三角形的性质求出x，据此解答.
15．【答案】解：原式=2×+×-
=+-
=
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式=2×+×-，然后计算乘法，再根据二次根式的减法法则进行计算.
16．【答案】解：原式=3-2×-2+1 +-1
=1
【解析】【分析】把特殊角的三角函数值代入，再根据零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、实数的绝对值进行化简，再进行计算，即可得出答案.
17．【答案】解：
，
∵，
∴原式
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简，再利用特殊角的三角函数值求出x的值，最后将x的值代入计算即可。
18．【答案】解：如图，连接EC并延长交AB于点N，
由题意可得：EN1AB，四边形EFDC、四边形CDBN均是矩形，
∴FD=EC=5米，EF=DC=BN=1米，
设AN=x米，
在Rt△ACN中，∠ACN=45°，∴CN=AN=x米，
在Rt△AEN中，∠AEN=30。∴tan30°=
解得：x=
则AB= +1=
答：这棵古树的高度AB为 米
【解析】【分析】 连接EC并延长交AB于点N， 由题意可得：EN1AB，四边形EFDC、四边形CDBN均是矩形 ，构造直角三角形，直接利用锐角三角函数关系得出AN的长，进而得出所求答案.
19．【答案】解：由已知条件得： ，
，
在 中，
，
∴ （米）.
答：这栋高楼的高 为 米.
【解析】【分析】在 中，由 求出BC即可.
20．【答案】解：过C作CD⊥AB于D，设BD＝x，
∵CD⊥AB且∠CBD＝45°∴BD＝CD＝x
在Rt△ACD中，tan30°＝
∴
解得x＝50（ +1）≈137
∵137＞120，
故这条船继续前进，没有被浅滩阻碍的危险．
【解析】【分析】 过C作CD⊥AB于D ，通过垂线段最短，分析出只要判断CD与120米的大小关系，就可以知道有无危险，从而把题目转化为求解CD的长，通过直角三角形特殊角的函数值，可以得出CD=BD，AD=CD，得出方程，从而得出结果.
21．【答案】（1）证明：连接AD、BD，如图1所示：
∵CD是△ABC的外角∠ECA的平分线，
∴∠DCE＝∠DCA，
∵∠DCE＝∠BAD，∠DCA＝∠ABD，
∴∠BAD＝∠ABD，
∴ ，
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴AC＝AD＝BD，
∵ ，
∴
设AB＝ a，则AD＝BD＝5a，
作BF⊥AD于F，如图2所示：
由勾股定理得：BF2＝AB2﹣AF2＝BD2﹣DF2，
∴（ a）2﹣（5a﹣DF）2＝（5a）2﹣DF2，
解得：DF＝4a，
∴BF＝ ＝3a，
∴sin∠BDF＝ ，
∵∠ACB＝∠BDF，
∴sin∠ACB＝sin∠BDF＝ .
【解析】【分析】（1）连接AD、BD，根据角平分线的概念可得∠DCE＝∠DCA，由圆周角定理可得∠DCE＝∠BAD，∠DCA＝∠ABD，则∠BAD＝∠ABD，据此证明；
（2） 根据可得，结合（1）的结论以及弧、弦的关系可得AC＝AD＝BD，则，设AB＝a，则AD＝BD＝5a，作BF⊥AD于F，由勾股定理得BF2＝AB2-AF2＝BD2-DF2，代入求解可得AF=4a，然后表示出BF，由圆周角定理可得∠ACB＝∠BDF，然后根据三角函数的概念进行解答.
22．【答案】（1）证明：∵E，F为线段OA，OB的中点，
∴且，
∵，
∴，，
∴∠OCD=∠OEF，且∠DOC=∠FOE，
在△FOE和△DOC中： ，
∴；
（2）解：过D点作DH⊥AB于H，
∵∠DAB=60°，
∴AH=，设DH=，则AH=x，
∵AB∥CD，∠DHB=∠ABC=90°，
∴四边形DCBH为矩形，
∴BC=DH=，CD=BH，
又AB=2CD，
∴BH=AH=x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可知：，
∵得到∠OEF=∠OAB，
∴．
【解析】【分析】（1）由E，F为线段OA，OB的中点， 根据三角形中位线的性质可得且，由AB∥CD，AB=2CD，可判定EF=CD，∠OCD=∠OEF，∠DOC=∠FOE， 根据AAS证明△FOE≌△DOC；
（2）过D点作DH⊥AB于H，可证四边形DCBH为矩形，设DH=，则BH=AH=x， BC=DH=，CD=BH， 由勾股定理求出AC=x，由平行线的性质可得∠OEF=∠OAB，根据 ∴即可求解．
23．【答案】（1）解：∵点A（0，8），
∴，
∵点D是点C关于点A的对称点，
∴，
∵AC⊥AB，
∴，
∴，
∵以AD为直径作⊙Q交BD于点E，
∴，
∴在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵∠ABE＝∠FDE，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵∠ABE＝∠FDE，，
∴，
∴，即，
解得∶；
（3）解：∵AB﹣BO＝4，即，
∵，
∴在中，，即，
解得∶，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴设，，
∴，
∴在中，，即，
解得∶，
∴，
∴.
【解析】【分析】（1）根据点A的坐标可得AO=8，根据轴对称的性质可得AC=AD，结合AC⊥AB可推出BC=BD，由等腰三角形的性质可得∠C=∠ADB，由圆周角定理可得∠AED=90°，证明△CAO≌△DAE，然后根据全等三角形的性质进行解答；
（2）根据∠ABE＝∠FDE可得AB∥DF，由平行线的性质可得∠CAB=∠CDF，证明△CAB∽△CDF，△ABE∽△FDE，然后根据相似三角形的性质进行计算；
（3）由已知条件可得AB=BO+4，结合勾股定理可得OB、BE，证明△AFO∽△BFE，根据相似三角形的性质可设EF=3x，则OF=4x，BF=4x-6，然后利用勾股定理可得x，进而求出EF，最后根据三角函数的概念进行计算即可.