湘教版初中数学八年级下册期中测试卷（困难）（含解析）

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湘教版初中数学八年级下册期中测试卷（困难）（含答案解析）
考试范围：第一.二.三单元；   考试时间：120分钟；总分：120分，
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，在中，，平分，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
2. 如图，已知，和分别平分和，若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
3. 如图，，点、分别是射线、上的动点，平分，且，当的周长取最小值时，四边形的面积为( )
A. B. C. D.
4. 如图，在正方形中，，对角线上的有一动点，以为边作正方形．
在点运动过程中，点始终在射线上；
在点运动过程中，可能为；
若是的中点，连接，则的最小值为；
为等腰三角形时，的值为或．
以上结论正确的是( )
A. B. C. D.
5. 如图，在正方形中，，为对角线上与点，不重合的一个动点，过点作于点，于点，连接，，下列结论：；；；的最小值为，其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在正方形中，、分别是，的中点，，交于点，连接，下列结论：；；；，其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
7. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在坐标原点，点是对角线上一动点不包含端点，过点作，交于，点在线段上．若，，，，点的横坐标为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，向上，向右，向下，向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为( )
A. B. C. D.
9. 如图，的边、分别落在轴、轴上，点在边上，将沿所在直线折叠，使点落在点的位置．若，，连接，当的长度最小时点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，一个粒子在第一象限和，轴的正半轴上运动，在第一秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在轴、轴的平行方向来回运动，即，且每秒运动一个单位长度，那么秒时，这个粒子所处位置为( )
A. B. C. D.
11. 如图，，，分别平分和，，与互补，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，已知，，平分，平分，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 在中，，有一个锐角为，若点在直线上不与点，重合，且，则的长为______ ．
14. 如图，绕点顺时针旋转得到，若，，则图中阴影部分的面积等于____

15. 如图，点是菱形边的中点，点为边上一动点，连接，将沿直线折叠得到，连接，已知，，当为直角三角形时，线段的长为______．
如图，在坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点坐标为，将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为_______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为。
连接、交于点，则在、运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；
为何值时是直角三角形？
如图，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
18. 本小题分
如图，已知中，，点是上一点，且，，于点，交于点．
如图，若，求的长；
如图，若，求的面积；
如图，点是延长线上一点，且，连接，求证：．
19. 本小题分
如图，已知直线直线，点在上，点在上，点在，之间，连接，．
若，则的度数为______ ．
若．
求的度数；
如图，若平分，交的延长线于点，求的值．
20. 本小题分
如图，在中，，，动点在的延长线上，是以为斜边的直角三角形，是的中点，连接，，且．
证明：、、三点共线；
连接．
试判断线段与的数量关系，并给出证明；
当，且线段取到最小值时，求的长度．
21. 本小题分
如图，菱形的对角线、相交于点，且，，分别过点、作与的平行线相交于点．
判断四边形的形状并证明；
点从点沿射线的方向以的速度移动了秒，连接，当时，求的值．
如图，长度为的线段在射线上运动，求的最小值．
22. 本小题分
如图，在矩形中，，动点从出发，以每秒个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为．
若．
如图，当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的值；
是否存在异于图的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的的值？若不存在，请说明理由．
当点不与点重合时，若直线与直线相交于点，且当时存在某一时刻有结论成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由．
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，且，．
试判断的形状，并说明理由．
点是线段上一点，且，求点的坐标；
如图，点、点分别为线段、上的动点，且，求的最小值．
24. 本小题分
已知：在平面直角坐标系中，等腰直角顶点、分别在轴、轴上，且，．
如图，当，，点在第四象限时，先写出点的坐标，并说明理由．
如图，当点在轴正半轴上运动，点在轴正半轴上运动，点在第四象限时，作轴于点，试判断，，之间的关系，请证明你的结论．
25. 本小题分
在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．给出如下定义：对于任意两个整点，，与的“直角距离”记为，
例如，点与的“直角距离”．
已知点．
点与点的“直角距离”______；
若点与整点的“直角距离”，则的值为______；
小明有一项设计某社区规划图的实践作业，这个社区的道路都是正南正北，正东正西方向，并且平行的相邻两条路之间的距离都是相等的，可近似看作正方形的网格．小明建立平面直角坐标系画出了此社区的示意图如图所示为了做好社区消防，需要在某个整点处建一个消防站，要求是：消防站与各个火警高危点的“直角距离”之和最小．目前该社区内有两个火警高危点，分别是和．
若对于火警高危点和，消防站不仅要满足上述条件，还需要消防站到，两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，则满足条件的消防站的坐标可以是______写出一个即可，所有满足条件的消防站的位置共有______个；
在设计过程中，如果社区还有一个火警高危点，那么满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小的消防站的坐标为______．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：过点作于点，于点，如图，
平分，
，
，
，
，
平分，，，
：：：，
：：，
：：，
设，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，解得，
．
故选：．
由角平分线的定义得到，再证明，，根据角平分线的性质得到，接着利用面积法证明：：，则设，，，然后证明≌得到，所以，利用勾股定理得到，解得，从而得到的长．
本题考查了角平分线的性质，勾股定理，解答的关键是熟记角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，并灵活运用．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质和平行公理，角平分线的定义以及角的和差计算．根据平行线的性质得到，是解决本题的关键．
过点作，过点作，易证与、，与、间关系．再由角平分线的定义及角的和差关系计算得结论．
【解答】
解：过点作，过点作，
因为，，，
所以，
所以，，，．
所以，，
又因为和分别平分和，
所以，，
所以，
，
，得，
所以，
，得，
所以．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是等边三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理，轴对称最短路径问题的有关知识设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在上时，的周长最小，此时是等边三角形，求得三角形和的面积，根据求得即可．
【解答】
解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、．
点关于的对称点为，
，，；
点关于的对称点为，
，，，
，，
是等边三角形，
．
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
，
，
．
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
由“”可证≌，可得，可证点，点，点三点共线，故正确；由三角形的外角可得不可能为，故错误；由≌，可得，当时，有最小值为，即有最小值为，故正确；由等腰三角形的性质可得的值为或，故正确，即可求解．
【解答】
解：如图，连接，过点作交于，
四边形和四边形是正方形，
，，，
，，
，，
≌，
，
，
点，点，点三点共线，故正确；
，，，
，
则点与点重合，
此时不存在，故错误；
如图，取的中点，连接，
点是的中点，点是中点，
，
，
，
又，
≌，
，
点是线段上一点，
当时，有最小值为，
有最小值为，故正确；
，
，
当点是中点时，，则是等腰三角形，
当时，是等腰三角形，
，故正确，
故选：．

5.【答案】
【解析】解：连接，交于点，如图，
，，
．
，
四边形为矩形．
，．
四边形为正方形，
，．
在和中，
，
≌．
．
．
正确；
延长，交于，交于点，
≌，
．
由知：，
．
．
，
．
．
即：，
．
正确；
由知：．
即：．
正确；
点为上一动点，
根据垂线段最短，当时，最小．
，，
．
．
由知：，
的最小值为，
错误．
综上所述，正确的结论为：．
故选：．
连接，易知四边形为矩形，可得；由≌可得，所以；
由矩形可得，则；由，则；由四边形为正方形可得，即，所以，即，可得；
由中的结论可得；
由于点为上一动点，当时，根据垂线段最短可得此时最小，最小值为，由知，所以的最小值为．
本题考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法．
6.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，故正确；
，
，
，
，故正确；
，
延长交的延长线于，
点是的中点，
，
，，，
≌，
，
是斜边的中线，
，
，
，，
故正确；
，
，
，
，
不是等边三角形，
，故错误；
故选：．
根据正方形的性质得到，，得到，，根据全等三角形的性质得到，，故正确；求得，根据垂直的定义得到，故正确；延长交的延长线于，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，由是斜边的中线，得到，求得，根据余角的性质得到故正确．根据，可得，所以，所以不是等边三角形，故错误．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
7.【答案】
【解析】解：由题意可得，，，
直线的解析式为：，
，
直线的解析式为：，
，
点的横坐标为：，点的横坐标为：，
，
，
，
点的横坐标为：，
，
，
故答案为：．
先求得点，，三个点坐标，然后求得和的解析式，再表示出的长，进而表示出点的横坐标，根据不等式的性质求得结果．
本题考查了求一次函数的解析式，不等式性质等知识，解决问题的关键是表示出点的横坐标．
8.【答案】
【解析】解：，横坐标，每循环一次向右平移个单位，
点的横坐标为：，点的纵坐标与点的纵坐标相同为：，
故点的坐标为：．
故选：．
根据图象可得移动次图象完成一个循环，分别得横纵坐标，从而可得出点的坐标．
本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
9.【答案】
【解析】解：如图当点落在上时，的长最小，此时平分．
作于，于，则．
，
，
，
故选：．
如图当点落在上时，的长最小，此时平分作于，于，则利用面积法求出、即可；
本题考查翻折变换、坐标与图形的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考选择题中的压轴题．
10.【答案】
【解析】解：由题意，
设粒子运动到，，，时所用的间分别为，，，，
则，，，，，，
，
，
，
，
，
相加得：
，
．
，故运动了秒时它到点；
又由运动规律知：，，，中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．
故达到时向左运动秒到达点，
即运动了秒．所求点应为．
故选：．
该题显然是数列问题．设粒子运动到，，时所用的时间分别为，，，则，，，，，由，则，，，，，以上相加得到的值，进而求得来解．
考查了规律型：点的坐标，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列通项的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：，，中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质，角平分线．根据平行线性质，角平分线定义，延长交于，求值即可．
【解答】
解：延长交于，
，，、分别平分和，
，，
，
，
又与互补，
，
即．
故选C．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出和的大小．
根据角平分线的定义表示出和，再求差即可．
【解答】
解：，，
，
是的平分线，是的平分线，
，，
．
故选：．
13.【答案】，或．
【解析】解：Ⅰ当时，则，
当点在线段上时，
，故C，
则，；
当点在的延长线上时，
，，
则，
则，
Ⅱ 当时，
同理可得，；
故答案为，或．
分、两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可．
本题是直角三角形的性质及判定综合题，主要考查了含度角的直角三角形、勾股定理等，分类求解是本题解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：绕点顺时针旋转得到，，，
，，
，，
，，
图中阴影部分的面积等于：．
故答案为：．
根据题意结合旋转的性质以及等腰直角三角形的性质得出，，进而求出阴影部分的面积．
此题主要考查了旋转的性质以及等腰直角三角形的性质等知识，得出，，的长是解题关键．
15.【答案】或
【解析】解：点是菱形边的中点，
，
点在以为直径的半圆上，
，
，
，
当为直角三角形时，
有和两种情况：
如图，连接，，
在菱形中，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
当时，点在上，
由翻折可知：，
过点作于点，
，，
，
，
，
，
解得，
；
如图，当时，取中点，连接，
，
，
，
，，在同一条直线上，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
．
综上所述：线段的长为或．
故答案为：或．
根据已知条件说明，所以当为直角三角形时，有和两种情况：当时，点在上，当时，取中点，连接，分这两种情形分别计算即可．
本题考查了翻折变换，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
16.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了图形的折叠问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积也考查了坐标与图形的性质．
过作轴于，根据折叠可以证明，然后利用全等三角形的性质得到，，设，那么，，利用勾股定理即可求出、、的长度，即可得出的坐标．
【解答】
解：如图，过作轴于，
点的坐标为，
，，
根据折叠和矩形性质可知：，，
而，，
在和中，
，
，，
设，那么，，
在中，，
，
，
，
，
过点作于，
，
，
，，
，
的坐标为
故答案是：
17.【答案】解：不变．
等边三角形中，，，
又由条件得，
≌，
，
．
、在运动的过程中，的大小不变，；
设时间为，则，
当时，
，
，得，；
当时，
，
，得，；
当第秒或第秒时，为直角三角形．
不变．
在等边三角形中，，，
，
又由条件得，
≌，
，
又，
，
、在运动的过程中，的大小不变，
【解析】此题是一个综合性很强的题目．本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质．难度很大，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．
因为点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，所以，，因而运用边角边定理可知≌再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数．
设时间为，则，分别就当时；当时利用直角三角形的性质定理求得的值．
首先利用边角边定理证得≌，再利用全等三角形的性质定理得到再运用三角形角间的关系求得的度数．
18.【答案】解：，，，
，
，
解：，，
，
，
，
，
，
过点作于点，
，
是等腰直角三角形，
设，则，
在中，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
证明：作，交于，交于，连接，
是等腰直角三角形，
平分，，
，
，，
≌，
，
，
，，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，即．
【解析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，等腰直角三角形，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质．
先用勾股定理求出，然后运用面积法求出即可；
过点作于点，证明是等腰直角三角形，求出和，得出，然后根据三角形的面积公式求解即可；
作，交于，交于，连接，证明≌和≌，得出，再证明≌，得出，由，即可证得结论．
19.【答案】解：
过点作，如图所示：
则，
，
，
，
，
即，
，
，
故答案为：．
由知，，
，
，
，
过点作，过点作．
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
【解析】过点作，则有，再根据平行线的性质即可求解；
根据，及题目已知条件即可求解；
，则，而，则，进而求解．
本题考查了平行线的性质以及平行公理，注意如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行的运用．
20.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
、、共线．
解：结论：．
理由：如图中，连接，．
，，
，
，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
；
如图中，取的中点，连接．
，，
，
时，的值最小，此时四边形是矩形，
，，
，
．
【解析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰直角三角形解决问题．
证明，可得结论；
结论：连接，，证明是等腰直角三角形，可得结论；
如图中，取的中点，连接证明，推出时，的值最小，此时四边形是矩形，利用勾股定理求出，可得结论．
21.【答案】解：结论：四边形是矩形．
理由：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形．
四边形是菱形，
，，
，
，
或，
解得或，
满足条件的的值为或．
设，则，
欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到和的距离最小，如图中，
作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，
，，
，
的最小值为．
【解析】本题考查轴对称最短问题，平行线之间的关系，三角形的面积，菱形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
结论：四边形是矩形．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
分两种情形构建方程求解即可．
设，则，欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到和的距离最小，如图中，利用轴对称解决最值问题即可．
22.【答案】解：如图中，
四边形是矩形，
，
，
与关于直线对称，
，，
，
在中，
解得：．
如图中，当时，
四边形是矩形，
，，，
，
，
在中，，
，
．
如图中，当时，
在中，，
在中，则有：，解得．
如图中，当时，易证四边形为正方形，易知．
综上所述，满足条件的的值为或或．
如图中，
，
又翻折，
，，
又，，
≌，
，
即四边形是正方形，
如图，设．
，
，
易证≌，
，
翻折，
，
，
，
．
【解析】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
利用勾股定理求出，由∽，推出，即可解决问题．
分三种情形分别求解即可：如图中，当时．如图中，当时．如图中，当时．
如图中，首先证明四边形是正方形，如图中，利用全等三角形的性质，翻折不变性即可解决问题．
23.【答案】解：是以为直角顶点的直角三角形，理由如下：
，
，
，
是以为斜边的直角三角形；
过作于，
设，
，
，
，，，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
；
如图，过点作以为腰，的等腰直角三角形，
，，
又，
≌，
，
，
要使最小，则最小，
当、、三点共线时，最小，即有最小值为的长，
由知，，
，
即有最小值为．
【解析】本题是三角形综合题，主要考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
利用勾股定理的逆定理证明；
过作于，设，，再根据三角形的面积可得，然后根据勾股定理解答即可；
过点作以为腰，的等腰直角三角形，利用证明≌，得，则当、、三点共线时，最小，即有最小值为的长．
24.【答案】解：点的坐标为．
理由如下：作轴于，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，，
，
在第四象限，
点的坐标为；
．
证明：作轴于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
轴于，
轴，
轴于点，轴于点，
，
，
，
．
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
过点作轴于，利用同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后求出，再根据点在第四象限写出点的坐标即可；
过点作轴于，利用同角的余角相等求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，然后代入、、整理即可得解．
25.【答案】 或
【解析】解：，，
直角距离；
根据题意可得，即，
或，
解得：或；
故答案为：；或；
，，
直角距离，
点到，两个点的“直角距离”之和最小值为，
点到，两个点的“直角距离”之差的绝对值最小，
，或，
点的坐标可以是或或，
满足条件的消防站点的位置如图所示，
满足条件的消防站点的位置共有个；
故答案为；；
如图，
，，，
，，
满足到这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为，
消防站的坐标为，
故答案为：．
根据直角距离的定义直接解答即可；
根据直角距离的定义直接解答即可；
先根据直角距离的定义求出直角距离，和的长，根据它们之差的绝对值最小求出点的坐标，确定点的个数；
首先求出满足与这三个火警高危点的“直角距离”之和最小值为，再求出消防站点的坐标即可．
此题主要考查了坐标与图形，熟练掌握“直角距离”的定义是解答此题的关键．
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