人教版八年级下册17.1 勾股定理 课后练习 （含解析）

17.1 勾股定理 课后练习
一、单选题
1．如图，在中，，D是BC的中点，垂足为D，交AB于点E，连接CE．若，，则BE的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
2．如图，以Rt△ABC的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S1的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，一只在A点的蚂蚁想吃到B点的食物，沿着侧面需要爬行的最短路径是（　　）
A．9 B．13 C．14 D．25
4．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的边长分别是3、6、2、3，则最大正方形的面积是( )
A．14 B．34 C．58 D．72
5．已知等腰中，，， 底角为，动点从点向点运动，当是直角三角形是长为（ ）
A．4 B．2或3 C．3或4 D．3
6．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为和，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（　　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在长方形ABCD中，分别按图中方式放入同样大小的直角三角形纸片．如果按图①方式摆放，刚好放下4个；如果按图②方式摆放，刚好放下3个．若BC＝4a，则按图③方式摆放时，剩余部分CF的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是(　　)
A．7海里 B．14海里 C．7海里 D．14海里
9．如果一个直角三角形的两条边长分别为和，那么这个三角形的第三边长为（ ）
A． B． C． D．或
10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝12，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（　　）
A．S1＝2 B．S2＝3 C．S3＝6 D．S1+S3＝8
二、填空题
11．若一个直角三角形的两直角边长分别为6cm和8cm，则此直角三角形斜边是______cm．
12．如图，，点在上，于点，于点．若，，则的长为______．
13．如图，在ΔABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AD为中线，AD＝1，则BC＝____，AB＝____．
14．如图，四边形中，，，过点C作于点E，连接，若，，，则的长为_______．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∠B，∠C的平分线相交于点O，OM∥AB，ON∥AC分别与BC交于点M、N，则△OMN的周长为____．
三、解答题
16．如图，在中，，是的中点，，点为垂足，，，求的长.
17．《九章算术》卷九中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？
18．如图，，，，…分别表示各个三角形的面积，仔细观察，并认真分析各式，然后解答问题.
，；
，；
，；
……
（1）用含n（n是正整数）的式子表示和；
（2）若一个三角形的面积是，通过计算说明它是第几个三角形.
参考答案
1．D
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，D是BC的中点，垂足为D，
∴BE=CE，
故选：D．
2．B
【详解】解：∵由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴S2+S3=S1，
∵S1+S2+S3=16，
∴2S1=16，
∴S1=8，
故选：B
3．B
【详解】解：该圆柱的侧面展开图，如下图所示，
根据两点之间线段最短，可知沿着侧面需要爬行的最短路径即为AB，
AB恰为一个矩形的对角线，该矩形的长为圆柱的底面周长的一半，
即长为24÷2=12，
宽为5，
∴AB==13，
即沿着侧面需要爬行的最短路径长为13．
故选：B．
4．C
【详解】解：如图，
由勾股定理得，正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积=32+62=45，
同理，正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积=22+32=13，
∴正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积=45+13=58，
故选：C．
5．C
【详解】当∠APB＝90时，如图1，
∵AB＝AC，BC＝6，
∴BP＝CP＝BC＝3；
∵∠B＝30，
∴AB＝2AP，
由勾股定理得：（2AP）2＝AP2＋32，
解得：AP＝，AB＝2AP＝2，
当∠BAP＝90，如图2，
∵∠B＝30，
∴BP＝2AP，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2＋AP2＝BP2，
（2）2＋AP2＝（2AP）2，
解得：AP＝2，BP＝2AP＝4；
所以BP＝3或4．
故选C．
6．B
【详解】解：如图，ABD是等腰三角形，ACD是等腰直角三角形，
∴AD=BD=n-m，
根据勾股定理得：m2＋m2＝（n m）2，
∴2m2＝n2 2mn＋m2，
m2＋2mn n2＝0．
故选：B．
7．A
【详解】解：∵BC=4a，
∴图①中，BE=a，图②中，BE=a，
∴小直角三角形的斜边长为，
∴图③中纸盒底部剩余部分CF的长为4a-2×a=a；
故选：A．
8．A
【详解】解：由已知得，AB=×28=14km，∠MAB=30°，∠ABM=105°．
过点B作BN⊥AM于点N．
∵在直角△ABN中，∠BAN=30°
∴BN=AB=7km．
在直角△BNM中，∠MBN=45°，
则直角△BNM是等腰直角三角形，
即BN=MN=7km，
∴BM===km．
故选：A．
9．D
【详解】解：当6和10是两条直角边时，
第三边=，
当6和10分别是一斜边和一直角边时，
第三边==8，
所以第三边可能为8或2．
故选：D．
10．D
【详解】解：八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
11．10
【详解】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边为cm．
故答案为：10
12．．
【详解】因为∠AOC=∠BOC, 所以OC平分∠AOB又因为PD⊥OA，PE⊥OB，
所以PD=PE，
在直角三角形ODP中，OD=2，OP=3，所以由勾股定理得，
所以PE=，
故答案为：．
13．
【详解】解：∵在ΔABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，
∴∠C=180°-∠CAB-∠B=180°-90°-30°=60°，BC=2AC，
∵AD为中线，
∴BD=CD=，
∴△DCA为等边三角形，
∵AD＝1，
∴CD=AD=AC=1，
∴BC=2CD=2，
根据勾股定理AB=；
故答案为：2；．
14．
【详解】解：作DF⊥BC，DG⊥AB，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠CDE，
∵∠CDE=∠DAC+∠DCA=2∠DAC =∠CDE，
∴∠ABC=∠CDE=∠ACD
∴∠BAD=∠GAC-∠DAC=∠ABC+∠ACB-∠DAC=2∠DAC +2∠DAC -∠DAC =3∠DAC，
∵DA=DC，∠AGD=∠DFC，∠GAD=∠FCD，
∴，
∴DG=DF，
∴DB为∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=，
作AH⊥BD，
∵AB=AC，∠ABH=∠EAC=∠DAC，∠AHB=∠CEA=90°，
∴，
∴AH=CE=，
∵∠AHD=∠BHC，∠HBC=∠HAD=∠DAC，
∴∠HAD=∠HCB=∠CDE，
∵AD=DC,∠HAD=∠HCB=∠CDE，∠AHD=∠E=90°，
∴，
∴HD=ED，
设BD=5x，AD=DC=2x，HD=ED=y，
由BH=AE得5x-y=2x+y，
∴，
在中，
，
∴x=2，
在中，AB=.
故答案为：.
15．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴，
∵BO平分∠ABC，OM∥AB，
∴∠OBC=∠ABC，∠ABC=∠OMC，
又∵∠OMC=∠OBC+∠MOB，
∴∠OBC=∠MOB，
∴OM=MB，
同理可得ON=NC，
∴△OMN的周长=ON+NM+OM=NC+NM+MB=BC=3，
故答案为3.
16．
【详解】解：连接．设，
∵， ，
∴ ， ， ，
∴
，
∴．
故答案为．
17．
【详解】设绳索长为x尺
∴根据题意得：
解得．
∴绳索长为尺．
18．
【详解】（1），.
（2）当时，，即，
所以它是第20个三角形.