18.1 变量与函数[下学期]
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文档简介
§17.1 变量与函数（1）
厦门市杏南中学 陈青燕
教学目的：
通过对实际问题中数量之间相互依存的关系的探索，分清实例中常量与变量、自变量与函数，理解函数的定义，能运用方程的思想列出实例中的两个变量间的关系。
教学重点：函数的定义以及运用列方程的方法列出具体实例中的两个变量间的关系。
教学难点：对函数概念的理解，说出生活实际中有函数关系的量的实例。
教学设计：
先由四个实际问题引入，通过设置问题情景，让学生逐个地观察、发现、探索实际问题中的数量之间的相互依存关系及变化规律，抽象出函数的概念。使学生认识到数学知识来源于生活，从而体会到学习函数的必要性。教学时注意对后续内容的渗透，鼓励学生通过观察、思考、猜想、交流、归纳等，主动获取知识。并且注意渗透数学的思想方法及能力的培养，同时注意培养学生学习数学的兴趣。
教学过程：
大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢 数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.
一、由下列问题引出新课：
问题1： 如图是某日的气温变化图．
看图回答：（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，你能说出这一时刻的气温吗？
（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
（4）这张图怎样来展示这天气各时刻的温度和这天的气温变化规律的？
（这是一个典型的图象信息题，通过图象获取信息，感知函数的单调性，提高学生运用“数形结合”的思想解决实际问题的能力，解此题的关键是看图识别气温的变化与时间变化的关系，分析曲线运动的趋势，一看曲线走向的特征点，二看整体发展的变化规律。）
问题2：银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的利率：
存期x 三月 六月 一年 二年 三年 五年
利率y（%） 1.7100 1.8900 1.9800 2.2500 2.5200 2.7900
观察上表，回答：1、此题有几个数量关系？它们是一些什么样的量？
2、说说随着存期x的增长，相应的利率y是如何变化的？
问题3：收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数：
波长l (m) 300 500 600 1000 1500
频率f (kHz) 1000 600 500 300 200
观察上表：1、此题有几个数量关系？它们是一些什么样的量？
2、波长l越大，频率f 怎么变化？
3、认真思考l 与 f有什么关系？写出l 与 f关系式。
问题4：圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则：（1）S与r之间满足怎样的关系：S＝____________．
（2）利用上面关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：
半径r (cm) 1 1.5 2 2.6 3.2 ···
圆面积S (cm2) ···
（3）由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就怎样变化？
给出一个值就能求出相应的值。
（问题2、3的典型的表格信息图，给出的是一种具体的对应关系，解此类题首先理解表格中行、列所表示的内容各是什么，它们所表示的数量关系怎样，数字间的判断要准确，因此要掌握由“特殊到一般”判断问题的方法。对于问题4通过求函数值，注意渗透初步的对应思想。）
二、讲解新课：
问题 几个数量关系 什么样的量 每个问题的量刻画怎样的变化规律 变量 自变量 因变量 表示法
1 2 时间t气温T 时间t的变化，相应地气温T也随之变化 时间t气温T 时间t 气温T 图象法
2 2 存期x利率y 利率y随存期x的增长而增长 存期x利率y 存期x 利率y 列表法
3 2 波长l频率f ，波长l越大，频率f越小 波长l频率f 波长l 频率f 列表法解析法
4 2 半径r面积S S＝πr2，圆的半径越大，面积S越大 半径r面积S 半径r 面积S 解析法
（通过对每个问题中的几个数量关系；分别是什么样的量，每个问题的量刻画怎样的变化规律的分析，让学生归纳四个问题中的数量关系有什么共同点，借助表格，让学生能对所提的问题一目了然进行观察归纳，从而得出以下概念）
常量与变量：
常量：在某一变化过程中始终保持不变的量。
变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量。
四个问题中哪些变量？哪些常量？
1、 函数的概念：
如果在一个变化过程中有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数。
试指出四个问题中的自变量与因变量。
2、 表示函数关系的方法通常有三种：⑴ 解析法；⑵列表法，⑶ 图象法。
（粗略地介绍函数的发展史，让学生对函数概念加深理解，同时培养学生数学的人文精神及学习数学的兴趣）
三、范例：
例1：一根弹簧原长10cm，悬挂的重物物每增加1kg，弹簧伸长0.8cm,写出弹簧的长度y(cm)与所挂重x(kg)之间的函数关系式，并指出常量与变量；函数与自变量。
解：y=10+0.8x
其中10、0.8是常量；x、y是变量；y是x的函数；自变量x。
(根据实际问题求函数解析式与方程类似，让学生通过对变量的分析讨论得出等量关系：挂重后弹簧的长度=原长+伸长的长度，增强数学的建模思想，用文字列式写出来再逐步转化为函数关系式。自变量的取值范围为下节课内容）
例2：观察下列图形和所给表格中的数据后回答：（机动题）
梯形个数 1 2 3 4 5 …
图形周长 5 8 11 14 17 …
（1） 上表的哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？
（2） 设图形的周长为l，梯形的个数为n，试写出l与函数n关系式。
（3） 求n=11时图形的周长。
解：（1）梯形个数和图形周长发生变化，自变量是梯形个数，因变量是图形周长。
（2）l=5+3(n-1)=3n+2
（3）当 n=11时， l=35
（解此类题，先分析特殊情形，从中找出规律性的东西，进而求出两个变量之间的函数关系式）
四、练 习：P26 练习第1、2、3
思考题：（1）礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每排比前排多1个座位。写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式。如果后面每排比前排多2座位呢？试写出m与n的关系式。
五、课堂小结：
这节课你学到什么新知识，能和大家谈谈吗？ 关于函数的定义应注意两个方面，其一是变化变化过程中有两个变量，其二是对于其中变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应。你能再罗列几个有关函数的实例？
六、布置作业：P28 习题第1、2
七、课后反思：
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厦门市杏南中学 陈青燕
教学目的：
通过对实际问题中数量之间相互依存的关系的探索，分清实例中常量与变量、自变量与函数，理解函数的定义，能运用方程的思想列出实例中的两个变量间的关系。
教学重点：函数的定义以及运用列方程的方法列出具体实例中的两个变量间的关系。
教学难点：对函数概念的理解，说出生活实际中有函数关系的量的实例。
教学设计：
先由四个实际问题引入，通过设置问题情景，让学生逐个地观察、发现、探索实际问题中的数量之间的相互依存关系及变化规律，抽象出函数的概念。使学生认识到数学知识来源于生活，从而体会到学习函数的必要性。教学时注意对后续内容的渗透，鼓励学生通过观察、思考、猜想、交流、归纳等，主动获取知识。并且注意渗透数学的思想方法及能力的培养，同时注意培养学生学习数学的兴趣。
教学过程：
大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢 数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.
一、由下列问题引出新课：
问题1： 如图是某日的气温变化图．
看图回答：（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，你能说出这一时刻的气温吗？
（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
（4）这张图怎样来展示这天气各时刻的温度和这天的气温变化规律的？
（这是一个典型的图象信息题，通过图象获取信息，感知函数的单调性，提高学生运用“数形结合”的思想解决实际问题的能力，解此题的关键是看图识别气温的变化与时间变化的关系，分析曲线运动的趋势，一看曲线走向的特征点，二看整体发展的变化规律。）
问题2：银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的利率：
存期x 三月 六月 一年 二年 三年 五年
利率y（%） 1.7100 1.8900 1.9800 2.2500 2.5200 2.7900
观察上表，回答：1、此题有几个数量关系？它们是一些什么样的量？
2、说说随着存期x的增长，相应的利率y是如何变化的？
问题3：收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数：
波长l (m) 300 500 600 1000 1500
频率f (kHz) 1000 600 500 300 200
观察上表：1、此题有几个数量关系？它们是一些什么样的量？
2、波长l越大，频率f 怎么变化？
3、认真思考l 与 f有什么关系？写出l 与 f关系式。
问题4：圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则：（1）S与r之间满足怎样的关系：S＝____________．
（2）利用上面关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：
半径r (cm) 1 1.5 2 2.6 3.2 ···
圆面积S (cm2) ···
（3）由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就怎样变化？
给出一个值就能求出相应的值。
（问题2、3的典型的表格信息图，给出的是一种具体的对应关系，解此类题首先理解表格中行、列所表示的内容各是什么，它们所表示的数量关系怎样，数字间的判断要准确，因此要掌握由“特殊到一般”判断问题的方法。对于问题4通过求函数值，注意渗透初步的对应思想。）
二、讲解新课：
问题 几个数量关系 什么样的量 每个问题的量刻画怎样的变化规律 变量 自变量 因变量 表示法
1 2 时间t气温T 时间t的变化，相应地气温T也随之变化 时间t气温T 时间t 气温T 图象法
2 2 存期x利率y 利率y随存期x的增长而增长 存期x利率y 存期x 利率y 列表法
3 2 波长l频率f ，波长l越大，频率f越小 波长l频率f 波长l 频率f 列表法解析法
4 2 半径r面积S S＝πr2，圆的半径越大，面积S越大 半径r面积S 半径r 面积S 解析法
（通过对每个问题中的几个数量关系；分别是什么样的量，每个问题的量刻画怎样的变化规律的分析，让学生归纳四个问题中的数量关系有什么共同点，借助表格，让学生能对所提的问题一目了然进行观察归纳，从而得出以下概念）
常量与变量：
常量：在某一变化过程中始终保持不变的量。
变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量。
四个问题中哪些变量？哪些常量？
1、 函数的概念：
如果在一个变化过程中有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数。
试指出四个问题中的自变量与因变量。
2、 表示函数关系的方法通常有三种：⑴ 解析法；⑵列表法，⑶ 图象法。
（粗略地介绍函数的发展史，让学生对函数概念加深理解，同时培养学生数学的人文精神及学习数学的兴趣）
三、范例：
例1：一根弹簧原长10cm，悬挂的重物物每增加1kg，弹簧伸长0.8cm,写出弹簧的长度y(cm)与所挂重x(kg)之间的函数关系式，并指出常量与变量；函数与自变量。
解：y=10+0.8x
其中10、0.8是常量；x、y是变量；y是x的函数；自变量x。
(根据实际问题求函数解析式与方程类似，让学生通过对变量的分析讨论得出等量关系：挂重后弹簧的长度=原长+伸长的长度，增强数学的建模思想，用文字列式写出来再逐步转化为函数关系式。自变量的取值范围为下节课内容）
例2：观察下列图形和所给表格中的数据后回答：（机动题）
梯形个数 1 2 3 4 5 …
图形周长 5 8 11 14 17 …
（1） 上表的哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？
（2） 设图形的周长为l，梯形的个数为n，试写出l与函数n关系式。
（3） 求n=11时图形的周长。
解：（1）梯形个数和图形周长发生变化，自变量是梯形个数，因变量是图形周长。
（2）l=5+3(n-1)=3n+2
（3）当 n=11时， l=35
（解此类题，先分析特殊情形，从中找出规律性的东西，进而求出两个变量之间的函数关系式）
四、练 习：P26 练习第1、2、3
思考题：（1）礼堂共有25排座位，第一排有20个座位，后面每排比前排多1个座位。写出每排的座位数m与这排的排数n的关系式。如果后面每排比前排多2座位呢？试写出m与n的关系式。
五、课堂小结：
这节课你学到什么新知识，能和大家谈谈吗？ 关于函数的定义应注意两个方面，其一是变化变化过程中有两个变量，其二是对于其中变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应。你能再罗列几个有关函数的实例？
六、布置作业：P28 习题第1、2
七、课后反思：
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