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9.5 多项式的因式分解
9.5.1 利用提公因式法因式分解
知识总结：
1.把一个多项式写成几个整式的_积_的形式，叫做多项式的因式分解.
2.识别因式分解的方法：
一看“形式”：左边是多项式，右边是乘积形式； 二看“实质”：看左右两边是否相等.
3.多项式各项都含有因式“”像这样的因式称为多项式各项的_公因数_.
4.如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做_提公因式法__.
5.确定多项式中各项的公因式方法：①定系数；②定字母；③定指数.
6.用提公因式法分解因式的步骤：
(1)确定公因式；
(2)把公因式提到括号__外_，把每一项除了公因式外的因式放到括号内.
基础练习
1.多项式中，各项的公因式是( C )
A. B. C. D.
2.写出下列多项式的公因式：
(1)的公因式是__3x__； (2)2(a＋b2)－3(a＋b2)2的公因式是_a＋b2_.
3.下列各式从左到右的变形是因式分解的是( B )
A.x(x＋1)＝x2＋x B.x2－1＝(x＋1)(x－1)
C.x2＋xy＋y2＝(x＋y)2 D.16－a2＋3a＝(4＋a)(4－a)＋3a
4.多项式3x2＋nx＋5因式分解得(3x－1)(x－5)，则n的值为__－16___.
5.小刚同学回家后拿出作业本准备完成作业时，发现有一道题被污染了：
8(p－q)＋a(q－p)＝(q－p)(▓▓)，
则被污染的部分为( C )
A.8＋a B.8－a C.a－8 D.－a－8
6.分解因式： (1)6a3－4a＝___2a(3a2－2)___； (2)6m2n－3mn＝__3mn(2m－1)___.
7.把下列各式分解因式：
(1)2a(b－c)－3(c－b)； (2)－5a2b3－5a3b2＋10a.
解：(1)原式＝2a(b－c)＋3(b－c)＝(2a＋3)(b－c)；
(2)原式＝－5a(ab3＋a2b2－2).
8.(中考创新题型·跨学科试题) 如图，把R1，R2，R3，三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3，当R1＝18.4，R2＝16.7，R3＝20.9，I＝2时，则U的值为__112__.
9.计算：20232－2023×2003＝_40460__.
10.已知a－b＝1，ab＝2，则a2b－ab2 ＝__2__.
11.(中考创新题型·过程性学习) 因式分解：4xy－8y＋6x－3x2 .
下面是小明因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：原式＝4y(x－2)＋3x(2－x) …… 第一步
＝(x－2)(4y＋3x) …… 第二步
(1)任务一：以上分解过程中第_二_步开始出现错误，错误原因是_2－x转化为x－2，前边应该添加“一”__.
(2)任务二：请写出该多项式的正确因式分解过程.
原式＝4y(x－2)＋3x(2－x)＝4y(x－2)－3x(x－2)＝(x－2)(4y－3x).
综合拓展
12.对于式子 ① x2＋2xy＝x(x＋2y)； ② (x－3)(x＋2)＝x2－x－6
从左到右的变形，下列说法正确的是( C )
A.都是因式分解 B.都是整式乘法
C.①是因式分解，②是整式乘法 D.①是整式乘法，②是因式分解
13.若m，n互为相反数，则化简m(2m2－n)－n(n－2m2)的结果为( D )
A.2m B.－1 C.m－n D.0
14.分解因式：x2y－3x－xy2＋3y＝__(x－y)(xy－3)__.
15.若3a－4b＝－2，则代数式9a2－12ab＋8b的值为___4___.
16.先利用提公因式法化简，再求值：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n (n为正整数)，其中x＝－2，n＝2023.
解：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n
＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n-1]
＝(1＋x)2[1＋x＋x(x＋1)＋…＋x(x＋1)n-2]
＝(1＋x)n+1，
所以原式＝(－2＋1)2023+1＝(－1)2024＝1.
17.一个直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，若它的面积为6，斜边长为5，则a2bc＋b2c2的值为___444___.
18.在△ABC中，AB，BC，AC对应的边分别用c，a，b表示，且a，b，c满足a－b－3bc＋3ac＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解：因为a－b－3bc＋3ac＝0，所以(a－b)＋3c(a－b)＝0，所以(a－b)(1＋3c)＝0.
因为1＋3c＞0，所以a－b＝0，所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形.
19.(综合与实践) 我们知道图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，现有若干张如图①所示的三种卡片(a＜b).
图① 图② 图③
操作发现：请你用若干张这样的卡片拼成如图②的新的长方形；
探究发现：例如，用两张卡片拼成的图形如图③，面积可表示为a2＋ab，也可表示为a(a＋b)，由面积 相等可得a2＋ab_＝_a(a＋b).
请你用两种方式表示图②的面积：__a2＋3ab＋2b2___、___(a＋2b)(a＋b)____.
根据拼图前后图形面积之间的关系写出一个等式，这个等式为_(a＋2b)(a＋b)＝a2＋3ab＋2b2___；
拓展创新：试着借助拼图的方法，把二次三项式2a2＋7ab＋3b2分解因式.
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9.5 多项式的因式分解
9.5.1 利用提公因式法因式分解
知识总结：
1.把一个多项式写成几个整式的__________的形式，叫做多项式的因式分解.
2.识别因式分解的方法：
一看“形式”：左边是多项式，右边是乘积形式； 二看“实质”：看左右两边是否相等.
3.多项式各项都含有因式“”像这样的因式称为多项式各项的_____________.
4.如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做______________.
5.确定多项式中各项的公因式方法：①定系数；②定字母；③定指数.
6.用提公因式法分解因式的步骤：
(1)确定公因式；(2)把公因式提到括号_______，把每一项除了公因式外的因式放到括号内.
基础练习
1.多项式中，各项的公因式是( )
A. B. C. D.
2.写出下列多项式的公因式：
(1)的公因式是____________； (2)2(a＋b2)－3(a＋b2)2的公因式是____________.
3.下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
A.x(x＋1)＝x2＋x B.x2－1＝(x＋1)(x－1)
C.x2＋xy＋y2＝(x＋y)2 D.16－a2＋3a＝(4＋a)(4－a)＋3a
4.多项式3x2＋nx＋5因式分解得(3x－1)(x－5)，则n的值为___________.
5.小刚同学回家后拿出作业本准备完成作业时，发现有一道题被污染了：
8(p－q)＋a(q－p)＝(q－p)( ▓ )，
则被污染的部分为( )
A.8＋a B.8－a C.a－8 D.－a－8
6.分解因式： (1)6a3－4a＝______________； (2)6m2n－3mn＝______________.
7.把下列各式分解因式：
(1)2a(b－c)－3(c－b)； (2)－5a2b3－5a3b2＋10a.
8.(中考创新题型·跨学科试题) 如图，把R1，R2，R3，三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U＝IR1＋IR2＋IR3，当R1＝18.4，R2＝16.7，R3＝20.9，I＝2时，则U的值为__________.
9.计算：20232－2023×2003＝___________.
已知a－b＝1，ab＝2，则a2b－ab2 ＝______________.
11.(中考创新题型·过程性学习) 因式分解：4xy－8y＋6x－3x2 .
下面是小明因式分解的过程，请认真阅读并完成相应任务.
解：原式＝4y(x－2)＋3x(2－x) …… 第一步
＝(x－2)(4y＋3x) …… 第二步
(1)任务一：以上分解过程中第________步开始出现错误，错误原因是_________________________.
(2)任务二：请写出该多项式的正确因式分解过程.
综合拓展
12.对于式子 ① x2＋2xy＝x(x＋2y)； ② (x－3)(x＋2)＝x2－x－6
从左到右的变形，下列说法正确的是( )
A.都是因式分解 B.都是整式乘法
C.①是因式分解，②是整式乘法 D.①是整式乘法，②是因式分解
13.若m，n互为相反数，则化简m(2m2－n)－n(n－2m2)的结果为( )
A.2m B.－1 C.m－n D.0
14.分解因式：x2y－3x－xy2＋3y＝_______________.
15.若3a－4b＝－2，则代数式9a2－12ab＋8b的值为___________.
16.先利用提公因式法化简，再求值：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n (n为正整数)，其中x＝－2，n＝2023.
17.一个直角三角形斜边长为a，直角边长分别为b，c，若它的面积为6，斜边长为5，则a2bc＋b2c2的值为____________.
18.在△ABC中，AB，BC，AC对应的边分别用c，a，b表示，且a，b，c满足a－b－3bc＋3ac＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由.
19.(综合与实践) 我们知道图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题，现有若干张如图①所示的三种卡片(a＜b).
图① 图② 图③
操作发现：请你用若干张这样的卡片拼成如图②的新的长方形；
探究发现：例如，用两张卡片拼成的图形如图③，面积可表示为a2＋ab，也可表示为a(a＋b)，由面积相 等可得a2＋ab______a(a＋b).
请你用两种方式表示图②的面积：___________________、___________________.
根据拼图前后图形面积之间的关系写出一个等式，这个等式为________________________；
拓展创新：试着借助拼图的方法，把二次三项式2a2＋7ab＋3b2分解因式.
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