人教版数学八年级下册18.2.1 矩形 课后练习（含解析）

18.2.1 矩形 课后练习
一、单选题
1．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝8，CD是AB边上的中线，则CD＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．下列定理中，没有逆定理的是 ( )
A．三边对应相等的两个三角形全等 B．中垂线上的点到线段两端的距离相等
C．全等三角形的对应角相等 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3．如图所示，在矩形ABCD中，E是BC的中点，AE=AD=2，则AC的长是（ ）
A． B．4 C．2 D．
4．如图.在矩形ABCD中,E为AD的中点，∠BED的角平分线交BC于F.若AB=6, BC=16,则FC的长度为 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
5．如图，在中，D、E、F分别为BC、AC、AB边的中点，于点H，，则HE等于（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
6．直角三角形斜边上的高与中线分别为 5cm 和 6cm，则它的面积为（ ）cm2．
A．30 B．60 C．45 D．15
7．点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是BC边的中点，AD＝8，OE＝3，则线段OD的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
8．已知梯形ABCD中，，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，如果添加一个条件，使得四边形EFGH成为矩形，那么所添加的这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则线段EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图是等腰三角形斜边上一个动点，连结，设，，则下列关于与关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在△AED中，∠AED＝90°，F是AD边的中点，EF＝4 cm，则AD＝________cm．
12．在中，斜边上的中线，则斜边________．
13．工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是____________.
14．如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当点B在边上运动时，点A随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点D到点O的最大距离为______．
15．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB＝8，BC＝6，则AG的长为____________ ．
三、解答题
16．利用矩形的性质，证明：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
已知：在中，是中线．
求证：___________．
证明：
17．如图，在△ABC中，AB⊥BC，请用尺规作图法，在平面内求作一点D，使四边形ABCD为矩形．（保留作图痕迹，不写作法）
18．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AD的延长线于点E．
（1）求证：四边形BECD为平行四边形．
（2）试说明 CE=2AO
参考答案
1．B
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝8，CD为AB边上的中线，
∴CD＝AB＝×8＝4．
故选B．
2．C
【详解】A、其逆命题是“全等三角形的对应边相等”，正确，所以有逆定理；
B、其逆命题是“到线段两端距离相等的点在该线段的垂直平分线上”，正确，所以有逆定理；
C、其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理；
D、其逆命题是“中线等于斜边的一半的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理；
故选：C．
3．D
【详解】试题分析：根据矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠ABC=90°，再结合E是BC的中点，即可求得BE的长，根据勾股定理即可求得AB的长，从而得到结果.
∵矩形ABCD，
∴AD=BC=AE=2，∠ABC=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=1，
，
，
故选D.
4．C
【详解】解：在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝16，
∵E为AD的中点，
∴AE＝AD＝×16＝8，
在Rt△ABE中，BE＝＝10，
∵EF是∠BED的角平分线，
∴∠BEF＝∠DEF，
∵AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF，
∴BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∴FC＝BC BF＝16 10＝6．
故选：C．
5．C
【详解】解：∵D、F分别是AB、BC的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=AC；
∵FD=8
∴AC=16
又∵E是线段AC的中点，AH⊥BC，
∴EH=AC，
∴EH=8．
故选C．
6．A
【详解】∵直角三角形的斜边上的中线为6cm，
∴斜边为2×6=12 （cm），
∵直角三角形斜边上的高为5cm，
∴此直角三角形的面积为×12×5=30 （cm2），
故选A．
7．A
【详解】解：∵在矩形ABCD中，AD＝8，OE＝3，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是BC边的中点，
∴BC＝AD＝8，AB＝2OE＝6，∠B＝90°，
∴，
∵点O为AC的中点，∠ADC＝90°，
∴，
故选：A．
8．A
【详解】解：由题意作图如下，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF是△BAC的中位线，GH是△DCA的中位线，
∴EF∥AC，EF=AC，GH∥AC，GH=AC，
∴EF∥GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
同理可得EH∥BD，EH=BD，GF∥BD，GF=BD，
若BD⊥AC，
∵EF∥AC，
∴BD⊥EF，
∵BD∥EH，
∴EF⊥EH，
∴∠HEF=90°，
∴平行四边形EFGH是矩形，
若BD=AC，无法求得平行四边形EFGH的一个内角为直角或对角线相等，不能证明是矩形，
若，无法求得平行四边形EFGH的一个内角为直角或对角线相等，不能证明是矩形，
若，无法求得平行四边形EFGH的一个内角为直角或对角线相等，不能证明是矩形，
故选： A．
9．D
【详解】解：如图，连接CD，
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴EF=CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时线段EF的长最小，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=＝5，
∵四边形CEDF是矩形，
∴CD=EF=．
故选D．
10．B
【详解】解：过点作，垂足为，作，垂足为，如图所示：
则四边形CDPE是矩形，
所以，，
∴在中，
在中，，
∵，，
∴，
∴，，
∴
即：．
故选：B．
11．8
【详解】解：如图，
∵∠AED＝90°，F是AD边的中点，
∴AD=2EF，
∵EF＝4 cm，
∴AD=8cm．
故答案为：8
12．5
【详解】解：∵Rt△ABC中，斜边AB的中线CD=2.5cm，
∴2CD=AB，
∴AB=5cm．
故答案为：5．
13．三个角都是直角的四边形是矩形
【详解】用直角尺判定门框的三个角是否都为90°，故采用的判定方法是三个角都是直角的四边形是矩形，
故答案为：三个角都是直角的四边形是矩形
14．8
【详解】解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，
此时，OD=OE+DE，
∵矩形ABCD中，AB=6，AD=BC=4，
∴OE=AE=AB=3，
DE=，
∴OD的最大值为：OE+DE =3+5=8，
故答案为：8．
15．3
【详解】解：作GE⊥DB于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝6，∠A＝90°，
由勾股定理得，DB＝＝＝10，
由折叠的性质可知，DE＝DA＝6，AG＝EG，
∴BE＝DB﹣DE＝4，
设AG＝EG＝x，则BG＝8﹣x，
在Rt△EBG中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
即AG的长为3．
故答案为：3．
16．求证：；证明见解析
【详解】求证：；
证明：延长至使得，连接，
为的中点，
，
四边形为平行四边形，
又，
平行四边形为矩形，
，
即．
17．
【详解】解：如图，四边形ABCD即为所求，
18．
【详解】试题分析：由矩形的性质，可得AC=BD，欲求AC=CE，证BD=CE即可．可通过证四边形BDEC是平行四边形，从而得出BD=CE的结论．
试题解析：（1）AD∥BC，
又∵CE∥DB，
∴四边形BDEC是平行四边形．
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,AC=2AO
∴BD=2AO
∵ 四边形BDEC是平行四边形
∴CE=BD=2AO