5.1.2垂线课时作业（含解析）2022-2023学年人教版七年级数学下册

5.1.2 垂线课时作业--2022-2023学年七年级数学人教版（2012）下册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共10题）
1．下列说法：①把一个角分成两个角的射线叫角的平分线；②两点确定一条直线；③若线段等于线段，则点是线段的中点；④垂线段最短．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
2．如图，直线相交于点于点，则（　　）
A． B． C． D．
3．如图，直线相交于点O，于点O，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．若，则点是线段的中点
C．过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D．若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大度
5．下列说法正确的是（ ）
①在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种；
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
③相等的两个角是对顶角；
④两条直线被第三条直线所截，内错角相等；
⑤如果一条直线和两条直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直．
A．个 B．个 C．个 D．个
6．如图所示，于D，则下列结论中，正确的个数为（　）
①；②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离；⑥线段的长度是点D到的距离．
A．3个 B．4个 C．7个 D．0个
7．如图，l是一条水平线，把一头系着小球的线一端固定在点A，小球从B到C从左向右摆动，在这一过程中，系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是（ ）
A．从大变小 B．从小变大 C．从小变大再变小 D．从大变小再变大
8．如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（　　）
A．点A到直线l2的距离等于4
B．点C到直线l1的距离等于4
C．点C到AB的距离等于4
D．点B到AC的距离等于3
9．如图，因为，，为垂足，所以和重合，其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．垂直同一条直线的两条直线平行
D．垂线段最短
10．如图，点P是直线l外一点，从点P向直线l引PA，PB，PC，PD（点A，B，C，D在直线l上）4条线段，其中于点C．这4条线段中，长度最短的是（ ）
A．PA B．PB C．PC D．PD
二、填空题（共5题）
11．如图，于点，经过点，，___________．
12．如图，点在直线上，，若，则的大小为________°．
13．如图，，则____________．
14．如图，为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方．将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转一周．则经过______秒后，．
15．如图，点B为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰三角形，则的最小值为______．
三、解答题（共5题）
16．如图，直线，相交于点，且．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
17．如图，直线与相交于点，，．
(1)图中的余角是______、______、______；（把符合条件的角都填出来）
(2)图中除直角相等外，还有相等的角，请写出三对：①____________；②____________；③____________；
(3)求的度数．
18．如图，直线与相交于点O，是的平分线，．
(1)直接写出图中的补角；
(2)若，求的度数；
(3)试判断是否平分，并说明理由．
19．在如图所示的方格纸中，C是的边上的一点，按下列要求画图并回答问题．
(1)过点画的垂线，交于点，该垂线是否经过格点？若经过格点，请在图中标出垂线所经过的格点；
(2)过点C画的垂线，垂足为E．
①线段的长度是点C到______的距离，______是点D到的距离；
②线段、、、的大小关系是______（用“”号连接），依据是：______．
(3)过点画直线，若，则______（用含x的代数式表示）．
20．已知O为直线AB上一点，为直角，OF平分．
(1)如图1，若，则______；若，则______，和的数量关系为______．
(2)当绕点O逆时针旋转得到如图2的位置时，（1）中和的数量关系是否还成立？请说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】根据角平分线的定义，直线公理，线段中点的定义，垂线段的知识，进行判断即可．
【详解】①把一个角分成相等的两个角的射线叫角的平分线；故①错误；
②经过两点有且只有一条直线，两点确定一条直线；故②正确；
③若线段等于线段，当点A、M、B三点共线时，则点是线段的中点；当点A、M、B三点不共线时，则点不是线段的中点；故③错误；
④直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；故④正确；
故选：B
【点睛】本题考查角平分线的定义，直线公理，线段中点的定义，垂线段的知识，解题的关键是熟练掌握相关概念．
2．D
【分析】利用对顶角的性质结合垂线的性质得出求出即可．
【详解】解：∵，
∴，则．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了对顶角以及垂线的性质，得出度数是解题关键．
3．C
【分析】应用垂线的性质及对顶角的定义进行计算即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线、对顶角，熟练掌握垂线的性质及对顶角的定义进行求解是解题的关键．
4．D
【分析】根据对顶角性质、线段中点的定义、余角与补角的关系，逐一判定即可解答．
【详解】解：A、对顶角相等，但是相等的角不一定是是对顶角，故本选项错误，不符合题意；
B、三点不在一条直线上，，但是不是线段的中点，故本选项错误，不符合题意；
C、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故此选项错误，不符合题意；
D、设这个角为，则它的余角为，补角为，
则，
故若一个角的余角和补角都存在，则这个角的补角一定比这个角的余角大度，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了对顶角性质、线段中点的定义、余角与补角的关系，解决本题的关键是熟记相关基本定义与性质．
5．B
【分析】根据对顶角、两条直线的位置关系、垂线段性质求解判断即可．
【详解】解：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种，故正确，符合题意；
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故正确，符合题意；
相等的两个角不一定是对顶角，故错误，不符合题意；
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故错误，不符合题意；
如果一条直线和两条平行直线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直，故错误，不符合题意；
综上，符合题意得有个，
故选：B．
【点睛】此题考查了对顶角、两条直线的位置关系、垂线段性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．
6．A
【分析】①根据，得到；②与不垂直；③点C到的垂线段是线段；④根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；⑤根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；⑥根据点到线段的距离是点到线段的垂线段的长度，进行判断；
【详解】解：①∵，
∴；故①正确；
②，与不垂直；故②错误；
③点C到的垂线段是线段；故③错误；
④点A到的距离是线段的长度；故④正确；
⑤线段的长度是点C到的距离；故⑤正确；
⑥线段的长度是点C到的距离；故⑥错误；
综上：正确的是：，共3个；
故选A．
【点睛】本题考查垂线段．熟练掌握垂线段的定义，以及垂线段的长度是点到线段的距离，是解题的关键．
7．C
【分析】根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，据此即可解答．
【详解】解：根据题意可知：小球在以点A为圆心，以AB长为半径的圆弧上运动，
如图：过点A作与点E，交弧BC于点G，
，AB=AG=AC，
，即，
故系小球的线在水平线下方部分的线段长度的变化是从小变大再变小，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段最短，圆的相关概念，理解垂线段的性质是解决本题的关键．
8．A
【分析】根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，即可得到答案．
【详解】解：点A到直线l2的距离为AB的长，等于4，故A正确；
点C到直线l1的距离为AC的长，大于4，故B错误；
点C到AB的距离为BC的长，等于3，故C错误；
同理，点B到AC的距离也不是3，故D错误，
故选：A
【点睛】本题考查点到直线的距离，掌握定义是解题的关键．
9．B
【分析】利用“平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，逐一分析，排除错误答案即可．
【详解】解：A.点A、C可以确定一条直线，但不可以确定三点B、A、C都在直线l的垂线上，故本选项错误；
B.直线BA、BC都经过一个点B，且都垂直于直线l，故本选项正确；
C.在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误；
D.此题没涉及到线段的长度，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直的定义、两点确定一条直线、垂线段最短，熟练掌握和运用各定义和性质是解决本题的关键．
10．C
【分析】根据“直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短”进行解答．
【详解】直线外一点P与直线上各点连接的所有线段中，最短的是PC，依据是垂线段最短．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
11．##62度
【分析】先根据垂直的定义求出，再根据对顶角相等解答即可.
【详解】解：如图所示，
，
，
，
．
故答案为：.
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，余角的定义，垂线的定义，掌握相关基础知识是解题关键．
12．150
【分析】根据，，计算，运用平角的定义计算即可．
【详解】∵，
∴
∵
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直，余角即和为直角的两个角，补角即和为180°的两个角，熟练掌握定义是解题的关键．
13．##度
【分析】根据垂直的性质，可得和的度数，根据，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
设为x，则，
可得：，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角的和差计算是关键．
14．10或70##70或10
【分析】分两种情况讨论，利用旋转的性质即可求解．
【详解】解：如图，，
∵，，
∴，，
∵将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，
∴(秒)；
如图，，
∵，，
∴，，
∵将三角板绕点以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，
∴旋转角为，
∴(秒)；
故答案为：10或70．
【点睛】本题考查了垂直的定义、角的和差等知识，解题的关键是理解题意，画出图形，利用垂直的定义求解即可．
15．2
【分析】连接，证明，得，从而点P在射线上运动，再利用垂线段最短解决问题．
【详解】解：连接,
∵是等边三角形，
∴，
在和中，
，
∴,
∴，
∴，
∴点P在射线上运动，
∴当时，的值最小，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹问题，证明点P在射线上运动是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直的定义得出，根据余角的定义得出，根据对顶角相等即可求解；
（2）根据垂直的定义得出，根据已知条件得到，根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，
∴,
∴．
【点睛】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
17．(1)、、
(2)①；②；③
(3)
【分析】（1）根据余角定义即可知的余角有几个．
（2）利用对顶角相等、垂直的定义，即可找到相等的角．
（3）根据对顶角的定义和邻补角的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：图中的余角是：、、，
故答案为：、、．
（2）图中除直角相等外，还有相等的角，写出的三对如下：
①；②；③．
其实还有：，等．
故答案为：①；②；③．
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查余角和补角的知识点，有一定的难度，关键是仔细地观察图形，注意不要遗漏满足条件的角．
18．(1)，
(2)
(3)平分；理由见解析
【分析】(1)根据角平分线的定义及补角定义可得答案；
(2)根据垂直的定义可得答案；
(3)由垂直的定义及补角的性质可得结论．
【详解】（1）解：是的平分线，
，
，，
的补角为，；
（2）解： ，
．
，
．
是的平分线，
；
（3）解：平分．
理由如下：
直线与相交于点O，
．
，
．
，，
，
即平分．
【点睛】此题考查的是角平分线的定义、垂直的定义、余角与补角，掌握它们的概念与性质是解决此题关键．
19．(1)画图见解析，经过格点、、
(2)①，；②，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
(3)或
【分析】（1）画出垂线，然后根据图形即可推出结论；
（2）根据点到直线的距离以及垂线段最短可得结果；
（3）根据平行线的性质作出图形后，再根据余角的定义即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，图中该垂线经过的格点有点、、．
（2）解：如图所示，①，，
线段的长度是点到的距离，是点到的距离；
故答案为：，；
②如图，，，
，
，
，
．
依据是：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；
（3）解：如图所示，，，
或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查的是尺规作图，掌握中垂线的性质及勾股定理是解决此题的关键．
20．(1)，，
(2)成立，理由见解析
【分析】（1）根据互余得到，再由平分，得到，然后根据邻补角的定义得到，当，根据互余得到，再由平分，得到，然后根据邻补角的定义得到，所以有；
（2）同（1），可得到．
【详解】（1）解：是直角，，
，
平分．
，
；
当，
，
，
，
．
故答案为：，，；
（2）解：与的数量关系仍然成立．理由如下：
设，
是直角，
，
又平分．
，
，
即．
【点睛】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义，垂线的定义，解题的关键是熟练运用所学知识理清角的关系．