6.3.2二项式系数的性质 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
6.3.2　二项式系数的性质
1．了解二项式系数的性质并能简单应用．
2．掌握“赋值法”并会灵活应用．
你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？
通过前面的学习，我们知道：(a＋b)n的展开式的二项式系数，当 n 取正整数时可以表示成如下形式：
(a＋b)1 1　1　　　　　　
(a＋b)2 1　2　1　　　　　
(a＋b)3 1　3　3　1　　　　
(a＋b)4 1　4　6　4　1　　　
(a＋b)5 1　5　10　10　5　1　　
(a＋b)6 1　6　15　20　15　6　1　
1
6
15
20
15
6
1
(a+b)1
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
(a+b)2
(a+b)6
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
二项式系数的性质
1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
实际上，由 ，
所以
2．增减性与最大值
二项式系数先增后减，
当 n 为偶数时，中间的一项 取得最大值；
当 n 为奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数的和
已知
令 ，得
这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于 .
二项式系数性质的应用
例1.(1)已知 的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝(　　)
A．11　 B．10　　　　 C．9　　　 D．8
(2)在 的二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是(　　)
A．第8项　　　 B．第7项 C．第9项 D．第10项
C
D
1．二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对 中的 n 进行讨论：
(1)当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；
(2)当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大．
2．展开式中系数最大的项的求法
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．
如求 (a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第 项最大，
应用 解出 k，即得出系数最大的项．　
1.(1)在 的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则 n 等于(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
(2)已知 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中系数最大的项.
C
求二项展开的系数和
例2.若 ，求
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) .
二项展开式中系数和的求法
(1)对形如 ， 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 即可；对 的式子求其展开式各项系数之和，只需令 即可；
(2)一般地，若 ，则 f(x)展开式中：
各项系数之和为 f(1)；
奇数项系数之和为 ；
偶数项系数之和为 .
(3)赋值法是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值.一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系.
令 可得常数项；
令 可得所有项系数之和；
令 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.
2.设 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
解：(1)令 ，得 ，
令 ，得 ，
所以
(2)由(1) ①
令 ，得 ②
①－②得 ，
所以 .
(3)因为 ，
所以 k 为奇数时， ，k 为偶数时， ，
故 .
整除、求余数问题
例3.(1)用二项式定理证明 能被100整除；
(2)求 除以7的余数.
解：(1)因为
所以 能被100整除.
(2)因为
所以 被7除余数为4.
整除性问题或求余数问题的处理方法
(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式；
(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．　
3.求 除以9的余数.
解：因为
显然上式括号内的数是正整数，故 除以9的余数为7.