2022-2023学年山东省潍坊市潍城区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省潍坊市潍城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知在中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
2. 如图，，，是上的三个点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
3. 用配方法解方程，下列变形正确的是( )
A. B. C. D.
4. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
5. 若点，，都是二次函数的图象上的点，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 如图，点为的内切圆的圆心，连接并延长交的外接圆于点，连接，，若，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
7. 如图，在中，，，垂足为，设则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. ∽
8. 关于的反比例函数与二次函数在同一坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，半径为的是正六边形的外接圆，过点作的切线交的延长线于点，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10. 二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.
D. 为任意实数
三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）
11. 计算： ．
12. 如图所示，一名跳远运动员在助跑后以与地面夹角方向起跳后，其运行的路径近似可以用抛物线来表示，那么该运动员能够跳出的距离约是 米
13. 如图，的网格图中，每个小正方形的边长均为，设经过图中格点，，三点的圆弧与交于，则弧的弧长为 ．
14. 饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降此过程中，水温与开机时间分成反比例函数关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，如此循环下去如图所示那么开机后分钟时，水的温度是
四、解答题（本大题共6小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 本小题分
已知，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
设此方程的两个根分别为，，若，求的值．
16. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点和点．
求出点的坐标及一次函数的表达式；
根据图象，请直接写出不等式的解集；
轴上有点，使，求出点的坐标．
17. 本小题分
小亮在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下去学校体育馆做验证实验如图，平面镜的一端安装在与水平地面平行的体育馆顶部上，另一端安装在竖直墙面上已知平面镜与墙面所成的角，体育馆高，小亮在点的正下方处通过平面镜观察，能看到水平地面上的最远处点，求的长是多少？结果精确到，参考数据：
18. 本小题分
在第届卡塔尔世界杯中，“中国元素”如满天繁星卢塞尔体育场、哈尔萨太阳能电站、电动公交、各种纪念小商品多数都是由中国制造．
在卢赛尔体育场内，要建造一个长，宽的矩形足球场，整个足球场用草坪铺设，并在其四周铺设等宽的缓冲草坪，整个草坪总面积为包括足球场草坪和缓冲草坪，则缓冲草坪的宽度是多少？参考数据：，
一家卡塔尔的官方特许商品零售店，从义乌进口了一批阿根廷队的纪念球衣，每件的进价为元预计当每件的售价定为元时，每天可售出件；若每件的售价每提高元，每天就少售出件当每件的售价定为多少元时，该零售店每天获得利润最大，最大利润为多少元？
19. 本小题分
如图，是半圆的直径，为半圆上的点不与，重合，连接，点为的中点，过点作，交的延长线于点，连接，交于点．
求证：是半圆的切线；
若，，求半圆的半径及的长．
20. 本小题分
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点直线经过点，．
求出此抛物线的表达式及点的坐标；
已知点是第一象限内抛物线上一动点．
当点在何位置时，以点，，为顶点的三角形面积最大？最大面积是多少？
再取轴上一点，是否存在以点，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点和的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图所示：
在中，，，，
．
故选：．
根据题意画出图形，进而利用锐角三角函数定义求出即可．
此题主要考查了锐角三角函数定义，正确把握其定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
利用圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．即可解答．
本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟记圆周角定理．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据配方法可直接作答．
本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：的面积等于，
，
反比例函数图象在第二象限，
，
，
故选：．
利用反比例函数的几何意义得到，然后根据反比例函数图象所在的象限确定的值．
本题主要考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值也考查了反比例函数的性质．
5.【答案】
【解析】解：，，
二次函数开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，
点，，都是二次函数的图象上的点，
．
故选：．
根据题意可得当时，随的增大而增大，即可求解．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：点为的内切圆的圆心，
平分，平分，
，，
，，，
，
，
，
故选：．
由三角形内切圆的圆心为三条角平分线的交点，可知，，利用三角形外角的性质可得，利用同弧所对的圆周角相等可得，进而可证，推出，据此即可求解．
本题考查三角形的内切圆、三角形外角的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等，难度一般，解题的关键是通过导角证明．
7.【答案】
【解析】解：，，
，，，
，故选项A错误；
，故选项B正确；，故选项C正确；
，，
∽，故选项D正确；
综上，正确的有，
故选：．
根据，，可得，再利用锐角三角函数的定义以及相似三角形的判定可逐项判断．
本题主要考查锐角的三角函数、相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，进行分类讨论：
当时，即和的符号相同，则反比例函数图象在第一、三象限，
二次函数的顶点坐标为，
二次函数图象的顶点在第一象限或第三象限，故选项A满足题意；
当时，即和的符号相反，则反比例函数图象在第二、四象限，
二次函数图象的顶点在第二象限或第四象限，故选项C满足题意．
故选：．
根据题意，需分类讨论：当时，即和的符号相同，则反比例函数图象在第一、三象限，已知二次函数的顶点坐标为，此时二次函数图象的顶点在第一象限或第三象限；当时，即和的符号相反，则反比例函数图象在第二、四象限，此时二次函数图象的顶点在第二象限或第四象限，据此分析各个选项即可得到答案．
本题考查了反比例函数的性质及二次函数的性质，根据题意正确对的取值进行分类讨论并熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解这道题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图所示，连接，，，
半径为的是正六边形的外接圆，过点作的切线交的延长线于点，
，，是等边三角形，
，
又，
，
，
，故正确；
是等边三角形，
，故不正确；
是的切线，
，
又，
，
；故正确；
，故正确．
故选：．
连接，，，根据正六边形的性质以及切线的的性质，判断，选项，根据含度角的直角三角形的性质判断，根据正六边形的面积等于个正三角形的面积即可判断选项，即可求解．
本题考查了正多边形与圆，正多边形的性质，切线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由二次函数图象可知：抛物线开口向下，交于轴的正半轴于一点，
，，
，即：，
顶点坐标为，
抛物线对称轴为：，
，
，故A项错误；
，，，
，故B项正确；
由二次函数图象可知：当时，，
抛物线对称轴为：，
当时，，
，
，
，故C项正确，
当时，，故D项错误，
故选：．
二次函数图象可知：抛物线开口向下，交于轴的正半轴于一点，可得，，即有，即：，根据顶点坐标为，可得抛物线对称轴为：，即有，；二次函数图象可知：当时，，根据抛物线对称轴为：，可知当时，，即有；当时，，据此逐项判断即可作答．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质，注重数形结合是解答本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：依题意，令中，，
即，
解得：，舍去，
故答案为：．
令解析式中，即可求解．
本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：如图，连接，，，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是圆的直径，
，
，
弧所对的圆心角为，
的长为，
故答案为：．
连接，，，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定可得是等腰直角三角形，再根据圆周角定理和弧长的计算公式进行求解即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定和性质、圆周角定理和弧长的计算，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：当时，设水温与开机时间的函数关系为：，
依据题意，得，
解得：，
故此函数解析式为：；
在水温下降过程中，设水温与开机时间的函数关系式为：，
依据题意，得：，
解得：，
，
当时，，
解得：，
，
当时，．
故答案为：．
根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间的函数关系式；由点，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间的函数关系式，再将代入该函数关系式中求出值即可，由，将代入反比例函数关系式中求出值即可得出结论．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式．
15.【答案】解：由题意得：，即：，
解得：．
由根与系数的关系可得：，，
，
，
，
整理得，
解得：，，
由知，
．
【解析】根据方程有两个不相等的实数根，得到，进行求解即可；
根据根与系数的关系，列式计算即可．
本题考查一元二次方程的判别式以及根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程的判别式的符号与根的个数之间的关系，以及方程的根与系数的关系，是解题的关键．
16.【答案】解：把点的坐标代入反比例函数中，
得：，
则，
反比例函数解析式为；
把点的坐标代入中，，
，
点的坐标，
把，两点坐标代入中，
得，
解得：，
即一次函数的解析式为；
根据函数图象可得，不等式的解集为：或；
如图，设直线交轴于点，
在中，令，得，即点，
设，则，
设、的边上的高分别为、，则，，
由题意得，
即，解得：
或，
所以点的坐标为或．
【解析】把点的坐标代入反比例函数中，得出，将把点的坐标代入中，得出点的坐标，继而待定系数法求解析式即可求解；
根据函数图象直接求解即可；
如图，设直线交轴于点，设，则，设、的边上的高分别为、，则，，由题意得，，列出方程，解方程即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数综合，求反比例函数解析式，求一次函数解析式，根据函数图象求不等式的解集，求三角形面积，数形结合是解题的关键．
17.【答案】解：过点作，
，，
，
，
，
，
根据光的反射原理可知：，
，
在中，，
，
，
是．

【解析】过点作，得出，根据光的反射原理可知：，解得出，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数关系是解题的关键．
18.【答案】解：设缓冲草坪的宽度是，则草坪的长和宽分别为和，
根据题意，得．
整理，得．
解方程，得，，
根据问题的实际意义，不符合题意，应当舍去．符合题意．
所以，缓冲草坪的宽度为．
解：设利润为，每件的售价为元，则每天可以卖出件，
由题意，得，
，
当时，，
所以售价定为元时，该零售店每天获得利润最大，最大利润为元．
【解析】设缓冲草坪的宽度为，可以表示出草坪的长和宽，知道草坪的面积，可以联系出一元二次方程，求解即可；
设利润为，每件的售价为元，先用含的式子表示出每天卖的数量，然后构建关于的二次函数，再求函数的最大值即可．
本题考查了一元二次函数的实际应用，设未知数，根据题目意思列出关系式是解题的关键．
19.【答案】证明：连接，如图，
点为弧的中点，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
是半圆的切线．
解：连接，如图，
是半圆的直径，
，
，
，
∽，
，即，
，
半圆的半径为．
设与相交于点，
，
∽，
，
，
，
，
∽，
，即，
即，
．
【解析】根据点为弧的中点，得出，然后得出，根据平行线的性质得出，进而即可求解；
连接，设与相交于点，证明∽，得出，证明∽得出，进而证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，进而即可求解．
本题考查了切线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握切线的判定以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
20.【答案】解：对于，令，得，
解得：，
令，则，
故点，的坐标分别为，，
将点，的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
故抛物线的表达式为：，
令，
解得或，
故点的坐标为；
设点的坐标为，
点是第一象限内抛物线上一动点，，
如图，连接，，，，
则
，
，
当时，最大，最大值为．
故点的坐标为时，以点，，为顶点的三角形面积最大，最大面积是．
假设存在，设，其中，，则，
分两种情况：
当为边时，如答图：
设，其中，
四边形是平行四边形，
，，
点，的坐标分别为，，
，，，
，即，
，即，
解得，，
点的横坐标为，代入抛物线的表达式可得：，
解得不符合题意，舍去，，
，；
当为对角线时，如答图：
设，其中，
同理可得，点的坐标为．
综上可知，存在以点，，，为顶点的平行四边形，，或．
存在，，或．
【解析】利用直线的表达式求出点，的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的表达式；令，即可求出点的坐标；
连接，，，，利用割补法将的面积分成三部分，即，再利用配方法求出最值；
先假设存在，再分为边和为对角线两种情况分别进行求解．
本题为二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的最值问题、二次函数的存在性问题、平行四边形的判定与性质，以及勾股定理等相关知识．其中第问中小题用分类讨论思想求解是解题的关键．
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