2022-2023学年湖南省株洲市攸县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省株洲市攸县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是( )
A. B. C. D.
2. 如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是( )
A. B. C. D.
3. 某校举行健美操比赛，甲、乙两个班各选名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都是米，其方差分别是，则参赛学生身高比较整齐的班级是( )
A. 甲班 B. 乙班 C. 同样整齐 D. 无法确定
4. 抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
5. 下列四个图中，是圆周角的是( )
A. B. C. D.
6. 如图，在中，，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
7. 一元二次方程配方后可变形为( )
A. B. C. D.
8. 某纺织厂从万件同类产品中随机抽取了件进行质检，发现其中有件不合格，那么估计该厂万件产品中合格品为( )
A. 万件 B. 万件 C. 件 D. 件
9. 如图，电线杆的高度为，两根拉线与互相垂直在同一条直线上，设，那么拉线的长度为( )
A.
B.
C.
D.
10. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：
；；；，
其中正确结论的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 已知样本数据：、、、，估计总体的平均数是______．
12. 已知线段，，，成比例，且，其中，，，则 ．
13. 已知点，在反比例函数的图象上，则，的大小关系是 填“”或“”或“”
14. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
15. 如图，为的直径，点在圆上，交于点，连接，，则______．
16. 在中，若、满足，则为______ 三角形．
17. 已知：如图，在中，点在边上，点在边上，要使∽，则需要增加的一个条件是______写出一个即可
18. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为尺，则可列方程为______．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
解下列方程：
；
．
21. 本小题分
中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对这种现象的态度态度分为：：无所谓；：反对；：赞成，并将调査结果绘制成图和图的统计图不完整请根据图中提供的信息，解答下列问题：
此次抽样调査中，共调査了______名中学生家长；
将图补充完整；
根据抽样调查结果，请你估计该市城区名中学生家长中有多少名家长持赞成态度？
22. 本小题分
如图，在平行四边形中，点为边的中点，与对角线交于点．
求证：∽；
当且时，若，求的长．
23. 本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
设方程的两个实数根分别为，，当时，求的值．
24. 本小题分
已知，如图，的三个顶点都在上，直径，为的弦，，于，，交的延长线于点．
求证：；
求的长．
25. 本小题分
如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，且与反比例函数为常数，且的图象在第二象限交于点．
求和的值；
过点作轴，垂足为记两个函数图象的另一个交点为，求的面积；
直接写出不等式的解集．
26. 本小题分
如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点，直线的表达式为．
求抛物线的表达式；
在直线上存在一点，使的值最小，求此最小值；
在轴上是否存在一点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
A、，
点在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
B、，
点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
C、，
点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
D、，
点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意．
故选：．
根据反比例函数解析式可得，然后对各选项分析判断即可得解．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应高的比等于相似比，相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．
【解答】
解：两个相似三角形对应高的比是，
它们的相似比为，
它们的面积比．
故选C．
3.【答案】
【解析】解：，，
，
参赛学生身高比较整齐的班级是甲班，
故选：．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
此题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
4.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：．
根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标．
本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：根据圆周角定义：
即可得是圆周角的有：，不是圆周角的有：，，．
故选：．
由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．
此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．
6.【答案】
【解析】解：，
，
即，
解得：，
故选：．
根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，即，
故选：．
先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
8.【答案】
【解析】解：根据抽样调查的结果可知，该纺织厂的合格率为：，
故该厂万件产品中的合格品为：万件，
故合格品为万件，
故选：．
根据抽样调查中的合格率，计算出万件产品中的合格品数量即可．
本题考查由样本估算整体，能够熟练地整理数据，并从数据中获取有用的信息是解决本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：，，
，
在中，，
，
故选：．
根据同角的余角相等得，由，即可求出的长度．
本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：抛物线和轴有两个交点，
，
，正确；
对称轴是直线，和轴的一个交点在点和点之间，
抛物线和轴的另一个交点在和之间，
把代入抛物线得：，
，错误；
把代入抛物线得：，
，
，
，
，正确；
抛物线的对称轴是直线，
的值最大，
即把代入得：，
，
即，正确；
即正确的有个，
故选：．
利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．
此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程的解的方法，同时注意特殊点的运用．
11.【答案】
【解析】解：总体的平均数大约为，
故答案为：．
利用平均数的计算公式即可得．
本题主要考查算术平均数，熟练掌握对于个数，，，，则就叫做这个数的算术平均数是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：，，，成比例，且，
，
．
故答案为：．
根据，再把、、、的值代入，进行计算即可得出答案．
本题考查线段成比例的问题．根据线段成比例的性质，列方程求解即可．
13.【答案】
【解析】解：当时，，
当时，，
故答案为：．
将，，代入解析式求出的值，再进行比较即可．
本题主要考查反比例函数的图象与性质，正确得出的值是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：．
故答案为：．
利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查圆周角定理，关键是根据直径和垂直得出的度数．
连接，得出的度数，进而得出的度数，利用互余解答即可．
【解答】
解：连接，
为的直径，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为．

16.【答案】直角
【解析】解：根据题意得：且，
则，，
，，
，
是直角三角形．
故答案为：直角．
先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求得和，即可作出判断．
本题考查了：特殊角的三角函数值；非负数的性质．正确得到特殊角的三角函数值是关键．
17.【答案】，或
【解析】
【分析】
此题考查相似三角形的判定，关键是根据相似三角形的判定方法解答．
根据相似三角形的判定解答即可．
【解答】
解：，
添加，或，
∽，
故答案为：，或．
18.【答案】
【解析】解：设竿长为尺，
由题意得，．
故答案为：．
设竿长为尺，根据题意可得，则房门的宽为，高为，对角线长为，然后根据勾股定理列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据题意表示出各个边的长度以及勾股定理的应用．
19.【答案】解：原式
．
【解析】由特殊角的三角函数值解题，最后根据无理数的混合运算计算即可．
本题考查的是实数的运算，涉及到特殊角的三角函数值、负整数指数幂，熟记特殊三角函数值并掌握实数的运算法则是解题关键．
20.【答案】解：，
，
，
即，
解得：，；
，
，
，
，
，
，
，．
【解析】去括号、移项合并，然后应用提公因式法解方程即可；
运用配方法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程，根据方程特点选择适当的方式解方程是解题的关键．
21.【答案】解：；
持赞成态度的学生家长有人，
故条形统计图为：
持赞成态度的百分比为：，
持赞成态度的家长有：人．
【解析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
用无所谓的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总数；
总数减去、两种态度的人数即可得到态度的人数；
用家长总数乘以持赞成态度的百分比即可．
调查家长总数为：人；
故答案为；
持赞成态度的学生家长有人，
故条形统计图为：
持赞成态度的百分比为：，
持赞成态度的家长有：人．
22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
∽．
解：四边形是平行四边形，
，，
在中，，
，
在中，，
即，
解得，，
点为的中点，且∽，
，
．
【解析】由平行四边形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据对顶角相等有，从而可以证得∽；
由平行四边形的性质，可得，求出，可得，再根据勾股定理，可得，可求得，，再根据相似三角形的性质，即可求解．
本题主要考查了平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质．
23.【答案】解：方程有两个不相等的实数根，
，
解得：；
当时，方程为，
，，
．
【解析】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握方程的根的情况与判别式的值间的关系及韦达定理是解题的关键．
由方程有两个不相等的实数根知，列不等式求解可得；
将代入方程，由根与系数的关系得出，，代入到可得．
24.【答案】证明：连接．
，，，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：连接，
，
，
，
，
，
，
又直径，
．
【解析】连接，根据证明≌，可得结论；
根据圆周角定理和同圆的半径相等可得，可得结论．
本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
25.【答案】解：由点为两函数图像的一个交点可得：，
解得：；
由知，两个函数的表达式为：、，
联立两个函数表达式得：，
解得：，
点的坐标为，
由点、的坐标得：，
则；
观察函数图象知，不等式的解集为：或．
【解析】将点的坐标代入两个函数表达式，即可求解；
由，即可求解；
观察函数图象即可求解．
本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型．
26.【答案】解：把代入，得，
，
把代入，得，
，
由点、在抛物线上可得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
由所得，，
可知以线段、为邻边的四边形为正方形，其第四个顶点的坐标为，记为，
由正方形的性质可知点关于直线的对称点就是．
与关于对称，
，
，
当、、在一条直线上时，有最小值且等于的长度，
在中，
令，则，
解得：或，
，，
，，
在中，，
故的最小值为；
如图：
，
，
、，
，
，
是直角三角形，
，
，，
，，，
，
，
当∽时，有，
即，
解得，
；
当∽时，有，
即，
解得，
，
综上所述，当的坐标为或时，以、、为顶点的三角形与相似．
【解析】先求出点，坐标，再用待定系数法即可得出结论；
作点关于的对称点，则，则的最小值为的长；
先判断出是直角三角形，求出，，得出分两种情况由相似三角形的性质可得出比例线段，求出的长，则可得出答案．
此题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求二次函数，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数等知识是解答本题的关键．
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