2022-2023学年河北省沧州市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省沧州市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 要使式子有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
2. 下列分式是最简分式的( )
A. B. C. D.
3. 中国“一十四节气”已被利入联合国教科文组织人类非物质文化读产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 已知是等腰三角形，若，则的顶角度数是( )
A. B. 或 C. D. 或
5. 为促进旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村，如图所示，若要使度假村到三条公路的距离相等，则这个度假村应修建在( )
A. 三条高线的交点处
B. 三条中线的交点处
C. 三条角平分线的交点处
D. 三边垂直平分线的交点处
6. 下列条件中，不能判定≌的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
7. 如图，数轴上有，，，，下点，根据图中各点表示的数，表示数的点会落在( )
A. 点和之间 B. 点和之间 C. 点和之间 D. 点和之间
8. 如图是嘉琪的作业，他的得分是( )
判断题每小题分姓名：嘉琪
没有平方根
的相反数是
的立方根是
近似数精确到了百分位
是一个大于的无理数
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
9. 下列众题中，其逆命题是假命题的是( )
A. 等腰三角的两个底角相等 B. 直角三角形中两个锐角互余
C. 全等三角形的对应角相等 D. 如果，那么
10. 如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，人只要移至该门口及以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图，一个身高的学生刚走到处，门铃恰好自动响起，则该生头顶到门铃的距离为( )
A. B. C. D.
11. 为了防止疫情扩散，确保人民健康，某区计划开展全员核酸检测．甲、乙两个检测队分别负责，两个生活区的核酸检测．已知生活区参与核酸检测的共有人，生活区参与核酸检测的共有人，乙检测队因工作原因比甲检测队晚开始检测分钟．已知乙检测队的检测速度是甲检测队的倍，结果两个检测队同时完成检测，设甲检测队每分钟检测人，根据题意，可以得到的方程是( )
A. B.
C. D.
12. 对于任意的实数，，定义一种词“”，，则( )
A. B. C. D.
13. 如图，中，由，，要求用圆规和直尺作图，分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形其作法错误的是( )
A. B.
C. D.
14. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围为( )
A. B. 且 C. D. 且
15. 老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，为的中点，若，，则的长不可能是( )
思考：甲同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，需要进行转化；乙同学认为可以从中点出发，构造辅助线，利用全等的知识解决基于以上两位同学的思考过程，请选择正确的结果．
A. B. C. D.
16. 图是第七届国际数学教育大会的会徽，主体图案由图的一连串直角三角形演化而成，其中，若的值是整数，，则符合条件的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
17. 的算术平方根是 ．
18. 若与最简二次根式可以合并，则 ．
19. 若，则代数式的值是 ．
20. 如图，已知点，点分别是等边三角形中，边的中点，，点是由动点，则的最小值 ．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
计算．
；
．
22. 本小题分
已知一个正数的平方根分别是和，另一个实数的立方根是，是的整数部分求：
，，的值；
求的平方根．
23. 本小题分
复习备考时，王老师在黑板上写了一道分式化简题的正确计算结果，随后用字母代替了原题目的一部分：．
求代数式，并将其化简；
当时，求的值．
24. 本小题分
如图，是的平分线．垂直平分于点，于点，于点．
求证：；
若，，则______．
25. 本小题分
年第大学生夏季运动会终在成都学办，吉祥物“蓉宝”，以熊猫为原型创作，手中握有“”字样火焰的大运火炬，深受大众喜爱，与吉祥物有关的纪念品现已上市某商店第一次用元购进一批“蓉宝”玩具；该商店第二次购进“蓉宝”玩具时，进价提高了，同样用了元，购进的数量比第一次少了件．
求第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价；
若两次购进的“蓉宝”玩具每件售价为元，且全部售完，求两次的总利润．
26. 本小题分
阅读下面材料：某学校数学兴趣活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究，已加是等腰三角形，，是的中点．
问题发现，如图，若点，分别在线段，上，且，连接，，，此时小明发现 ， 填“，，”接下来小明同学继续探究，发现了一个结论，线段与长的比是一个固定值，猜想和的数量关系，并进行证明；
变式探究，如图，，分别在线段，的延长线上，且，若，求的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意得，
且，
即且，
故选：．
根据分子的被开方数不能为负数，分母不能为零，可得答案．
本题考查二次根式有意义，分式有意义的条件，掌握被开方数是非负数以及分母不等于是正确解答的关键．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了最简分式，先将分子分母因式分解是解答此题的关键．
利用最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，可得结果．
【解答】
解：分子分母不能分解因式，也没有公因式，是最简分式；
B.，所以不是最简分式；
C.，所以不是最简分式；
D.，所以不是最简分式．
故选A．

3.【答案】
【解析】解：选项不是轴对称图象，也不是中心对称图形，不合题意；
选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
选项是轴对称图象，不是中心对称图形，不合题意；
选项是轴对称图象，也是中心对称图形，符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫轴对称图形；如果一个图形绕某一个点旋转度后能与它自身重合，这个图形叫做中心对称图形．
4.【答案】
【解析】解：当是顶角时，的顶角度数是；
当是底角时，则的顶角度数为；
综上，的顶角度数是或．
故选：．
分是顶角和底角两种情况讨论，即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．
5.【答案】
【解析】解：度假村到三条公路的距离相等，
这个度假村为的角平分线的交点．
故选：．
根据角平分线的性质进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6.【答案】
【解析】解：，，，则≌，所以选项不符合题意；
B.，，，则≌，所以选项不符合题意；
C.由，，不能判断≌，所以选项符合题意；
D.，，，则≌，所以选项不符合题意．
故选：．
根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
表示数的点会落在点和之间．
故选：．
根据，先估算出的取值范围，再估算出的取值范围，进而确定在数轴上的位置即可．
本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，实数与数轴等知识，准确的计算并掌握无理数估算的方法是解决本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：是负数，负数是没有平方根的，本题是正确的，所以嘉淇做对了；
相反数是只有符号不同的两个数，所以的相反数是，本题是错误的，所以嘉淇做对了；
的立方根是，本题是错误的，所以嘉淇做错了；
近似数精确到了千分位，本题是错误的，所以嘉淇做对了；
，即，本题是正确的，所以嘉淇做错了；
所以嘉淇做对了道，共得分分，
故选：．
根据平方根与立方根的定义、相反数的定义、近似数及无理数的估算来判断即可．
本题主要考查的是实数的性质，熟知平方根与立方根的定义、相反数的定义、近似数及无理数的估算等知识是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：、逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；
B、逆命题为：有两个角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故本选项不符合题意；
C、逆命题为：对应角相等的三角形全等，是假命题，故本选项符合题意；
D、逆命题为：如果，那么，是真命题，故本选项不符合题意．
故选：．
写出各命题的逆命题，再根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，全等三角形的判定，逐项判断即可求解．
本题考查的是命题与定理，涉及到等腰三角形的判定，三角形内角和定理，全等三角形的判定，判断命题的真假，逆命题等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由题意可知：，，，
由勾股定理得，
故选：．
根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答．
本题考查了勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
11.【答案】
【解析】解：乙检测队的检测速度是甲检测队的倍，且甲检测队每分钟检测人，
乙检测队每分钟检测人．
依题意得：．
故选：．
由“乙检测队的检测速度是甲检测队的倍”可得出乙检测队每分钟检测人，利用检测实际需检测的总人数每小时检测的人数，结合“乙检测队因工作原因比甲检测队晚开始检测分钟”即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，是正确列出分式方程的关键．
12.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
根据，代入计算可以求得所求式子的值．
本题考查了实数的运算，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题．
13.【答案】
【解析】解：、由作法知作图是线段的垂直平分线，
，
即，
在中，，，
，
，
是等腰三角形，
故此选项不符合题意；
B、由作法知所作图是线段的垂直平分线，
不能推出和是等腰三角形，
故此选项符合题意；
C、由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，
，
是等腰三角形，
故此选项不符合题意；
D、，，
，
由作法知是的平分线，
，
，
是等腰三角形，
故此选项不符合题意，
故选：．
由作法知，可判断；由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断；由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断；由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到，可判断．
本题主要考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键．
14.【答案】
【解析】解：两边同时乘以得：，
，
分式方程的解是正数，
，
．
，
且．
．
且．
故选：．
先表示分式方程的解，再求范围．
本题考查分式方程的解，正确表示分式方程的解是求解本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：如图所示，延长到使得，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，，不符合题意，符合题意；
故选：．
如图所示，延长到使得，利用倍长中线模型证明≌得到，再用三角形三边的关系可得，从而可得答案．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：由勾股定理得，，，，，，
是整数，，
为整数，
或或，
符合条件的有个，
故选：．
根据勾股定理分别计算、、、，即可得出，再根据的值是整数，，得，从而解决问题．
本题主要考查勾股定理，图形的变化类，理解题意，找到规律得出的值是解答本题的关键．
17.【答案】
【解析】解：，
的算术平方根为，
故答案为：．
先计算，再求的算术平方根即可求解．
本题考查了求一个数的算术平方根，先计算是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：与最简二次根式可以合并，，
，
解得：．
故答案为：
把化为最简根式，然后根据同类次根式的定义列出方程求解即可．
本题主要考查同类二次根式的概念，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．
19.【答案】
【解析】解：原式，
，
，
，
原式
．
故答案为：．
根据分式的乘除运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则以及运用整体代入的思想求值是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：点，点分别是等边三角形中，边的中点，，
，，
又，
是等边三角形，
，
，，
如图，连接，，则，当在线段上时，取得最小值，最小值为的长，
为的中点，
，
，
即的最小值为．
故答案为：．
根据已知条件得出等边三角形的边长为，连接，，根据轴对称的性质，得出，当在线段上时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解．
本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，轴对称的性质，含度角的直角三角形的性质等知识点的综合运用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21.【答案】解：
；
．
【解析】根据化简绝对值以及二次根式的乘法进行计算，最后根据二次根式的加减进行计算即可求解；
根据二次根式的混合运算进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：一个正数的平方根分别是和，另一个实数的立方根是，
，，
解得，
则的值是，的值是；
，
，
的整数部分是，
，
综上所述，，，；
，，，
，
的平方根，
的平方根．
【解析】由平方根的性质知和互为相反数，可列式，解之可求得的值；根据立方根定义可得的值；根据可得的值；
分别将，，的值代入中，即可求得它的值及平方根．
本题主要考查了立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．
23.【答案】解：由题意得：
；
当时，，
去分母，得，
解这个整式方程，得，
经检验，是原分式方程的解，
故当时，．
【解析】根据被除式商除式，被减式差减式，然后根据分式的乘法和加法运算法则进行计算，即可解答；
利用的结论可得，然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
24.【答案】
【解析】证明：连接，，
垂直平分，
，
平分，，，
，，
在和中，
，
≌，
；
解：设，则，，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，，根据角平分线的性质和证明和全等，进而解答即可；
根据，得出方程解答即可．
此题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
25.【答案】解：设第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为元，则第二次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为元．
依题意得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为元；
第一次购进的“蓉宝”玩具的数量为件，
第二次购进的“蓉宝”玩具的数量为件，
元，
答：两的总利润为元．
【解析】设第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为元，则第二次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为元，根据“同样用了元，购进的数量比第一次少了件”列出方程，即可求解；
根据利润等于总售价减进价，即可求解．
本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：猜想：，
证明：是等腰直角三角形，，
，
，
点是斜边的中点，
是边上的中线．
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
即，
．
故答案为：，；
解：是等腰直角三角形．，
，
．
点是斜边的中点，
是边上的中线，
，，
，，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
即，
，
，
．
利用等腰直角三角形的性质得出，进而得出≌，即可得出为等腰直角三角形，则可得出答案；
证明≌，由全等三角形的性质得出，，证出为等腰直角三角形．由等腰直角三角形的性质可得出答案．
此题是三角形综合题，主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质，根据已知得出≌是解题关键．
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