2022-2023学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷（华师大版B卷）（含解析）

2022-2023学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷（华师大版B卷）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中，属于最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2. 一元二次方程的解是( )
A. B.
C. ， D. ，
3. 若∽，相似比为：，的周长为，则的周长是( )
A. B. C. D.
4. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根 B. 两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
5. 已知抛物线，下列结论中正确的是( )
A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小
6. 一个布袋里放着个黑球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别把布袋中的球搅匀后，从中任取个球，则下列事件中属于必然事件的是( )
A. 个都是黑球 B. 个黑球个白球 C. 个白球个黑球 D. 至少有个黑球
7. 如图，在中，，，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
8. 为做好疫情常态化防疫工作，某校年投入疫情防控专项资金万元，预计到年底三年累计共投入万元设每年投入的专项资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是( )
A. B.
C. D.
9. 如图，在菱形中，为边上一点，、交于点若：：，则：等于( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
10. 如图，抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，顶点在线段上运动，轴，，，有下面五个结论：
；
；
当时，一定有随的增大而增大；
若点的坐标为，则点的坐标为；
若抛物线经过原点，此时抛物线的顶点坐标一定为．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
12. 在描掷一枚质地均匀的硬币的实验中，第次抛掷时，正面朝上的概率是 ．
13. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 ．
14. 如图，线段两个端点的坐标分别为、，以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的倍后得到线段，则端点的坐标为 ．
15. 对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示、中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为 ．
16. 如图，在中，、、分别为边、、上的点，，，分别交、于点、，且，，，有下面四个结论：
；
∽；
；
．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 解方程：．
四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
计算：．
19. 本小题分
古算趣题：“笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服“其大意是：笨伯拿竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门宽尺，竖着比门高尺他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进去问：竹竿有多少尺？
20. 本小题分
一企业有、、三辆商务车供出行使用，它们随机发车某日该企业张经理和李经理准备用车，张经理要早点出发，坐第一辆出发的车，李经理由于需处理一些事务，坐第三辆出发的车请用所学概率知识判断张经理和李经理能乘坐到车的可能性大？并说明理由．
21. 本小题分
小明和他的学习小组开展“测量樟树的高度”的实践活动，他们按拟定的测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：
课题 测量樟树的高度
测量工具 测角仪和皮尺
测量示意图及说明 说明：为水平地面，樟树垂直于地面，斜坡的坡度：，在斜坡上的点处测樟树顶端的仰角的度数．
测量数据 米，米，．
参考数据 ，，．
请你根据以上测量报告中的数据，求樟树的高度结果精确到米
22. 本小题分
如图，在矩形中，与相交于点．
在边上求作一点，使得；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
在的条件下，设交于点，若，求证：．
23. 本小题分
已知二次函数、为常数的图象经过点、．
求、的值；
当时，若的最大值与最小值之和为，求的值．
24. 本小题分
已知在正方形中，点是边的中点，，交对角线于点．
如图，取的中点，连结、、，求证：；
如图，是由沿射线平移得到的，点与点重合，点是的中点，连结、，交于点．
求证：；
若，求的长．
25. 本小题分
已知抛物线经过、两点点在点的左侧，与轴交于点，，．
如图，求此抛物线的表达式；
如图，直线经过点，交于点，点为线段的中点，过点作轴于点，作于点，连结、．
求证：是等腰直角三角形；
当的周长最小时，求直线的表达式．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、属于最简二次根式，故本选项符合题意；
B、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：，
或，
所以，．
故选：．
利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3.【答案】
【解析】解：设的周长为，
∽，相似比为：，
：：，
解得，．
故选：．
根据相似三角形面积的比等于相似比求解即可．
本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
5.【答案】
【解析】解：抛物线中，，抛物线开口向上，因此选项正确，符合题意；
由解析式得，对称轴为直线，因此选项不正确，不符合题意；
由解析式得，当时，取最小值，最小值为，所以抛物线的顶点坐标为，因此选项不正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线，因此当时，随的增大而增大，因此选项错误，不符合题意．
故选：．
根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
6.【答案】
【解析】解：、个都是黑球，是随机事件，故该选项不符合题意；
B、个黑球个白球，是随机事件，故该选项不符合题意；
C、个白球个黑球，是随机事件，故该选项不符合题意；
D、至少有个黑球，是必然事件，故该选项符合题意；
故选：．
必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．
本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是关键．
7.【答案】
【解析】解：在中，，，
设，则，故AB，
则．
故选：．
直接利用勾股定理求出的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确掌握边角之间的关系是解题关键．
8.【答案】
【解析】解：设每年投入的专项资金的年平均增长百分率为，
由题意得，．
故选：．
设每年投入每年投入的专项资金的年平均增长百分率为，根据题意可得，年投入专项资金年投入专项资金增长率年投入专项资金增长率亿元，据此列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
9.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，，，
∽，
：：，
：：，
：：，
故选：．
先根据菱形的性质及相似三角形的判定定理得出∽，再根据：：即可得出相似比，由相似三角形的性质即可求出：的值，由即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟知相似三角形对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴，
顶点在线段上运动，轴，，，
，
，
；
故选项正确；
当顶点为时，抛物线的解析式为：，
当时，，
当顶点为时，，
；
故选项正确；
抛物线开口向上，顶点的纵坐标为，且横坐标在与之间，
当对称轴在轴右边，时，不是随的增大而增大，
故选项错误；
抛物线的对称轴是直线，点在点的左侧，
且，
，
抛物线为，
当时，，
解得，
点的坐标为，，
若点坐标为，则，
，
点坐标为，
故正确．
若抛物线经过原点，则，
抛物线顶点在线段上运动，轴，，，
，
抛物线顶点的纵坐标为，且横坐标在与之间，
，
．
对称轴是：，
抛物线顶点坐标为或，
故选项错误；
本题正确的结论有：；
故选：．
根据对称轴公式和顶点在上可判定；
根据边缘顶点可确定抛物线的解析式，可得的值，从而得出结论正确；
当对称轴在轴右边时，时，一部分随的增大而减小，选项结论错误；
由“抛物线的对称轴是直线，顶点的纵坐标为，点在点左侧可得出与的关系式，从而得出，坐标，从而判断正确；
由题意知：抛物线顶点的纵坐标为，且横坐标在与之间；若抛物线经过原点，得出，，确定抛物线的顶点坐标为或，可判断．
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，关键是二次函数性质的运用．
11.【答案】
【解析】解：根据二次根式有意义的条件，，
．
故答案为：．
根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于，列出不等式即可求出的取值范围．
此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．
12.【答案】
【解析】解：一枚硬币只有两个面，正面朝上的概率是，反面朝上的概率也是，
故第次抛掷这枚硬币正面朝上的概率为：，
故答案为：．
根据实际可知一枚硬币只有两个面，正面朝上的概率是，反面朝上的概率也是，由此可知答案．
本题考查简单的概率计算，能够根据事件计算出概率是解决本题的关键．
13.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程的一个解是，
，
，
故答案为：．
将代入中即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的倍后得到线段，
点的对应点是点，
，位似比为：，
，
故答案为：．
由以原点为位似中心，在第一象限内将线段放大到原来的倍后得到线段得出点的对应点是点，且位似比为：，再根据点的坐标即可得出点的坐标．
本题考查了位似变换的性质，熟练掌握位似比与对应点坐标的关系是解题的关键．
15.【答案】或
【解析】解：当时，方程为：，
即，
解得：舍去，；
此时，
当时，方程为：，
解得：舍去，，
．
故答案为：或．
分类讨论的范围，利用题中的新定义，列出方程，解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，新定义实数运算，解题的关键是理解题意，列出方程求解．
16.【答案】
【解析】解：，
∽，∽，
，，
，
，
；故正确；
，，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
∽，
，
，
设，则，，
，
，
，
，故正确；
∽，
，
，
，
，
，故正确；
由题干条件无法证明∽，故错误，
故答案为：．
由相似三角形的性质可得，可得；故正确；设，则，，由相似三角形的性质可得，可得，故正确；由相似三角形的性质可得，即，故正确；即可求解．
本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质可求线段关系是解题的关键．
17.【答案】解：方程变形得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
【解析】方程常数项移到右边，两边加上变形后，开方即可求出解．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18.【答案】解：原式
．
【解析】根据二次根式的乘除法计算法则，特殊角三角函数值的计算法则求解即可．
本题主要考查了二次根式的混合计算，特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键．
19.【答案】解：设竿长为尺，
由题意得，．
解这个方程，得，，
当时，，舍去
．
答：竹竿有尺．
【解析】设竿长为尺，根据题意可得，则房门的宽为尺，高为尺，对角线长为尺，然后根据勾股定理列出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据题意表示出各个边的长度以及勾股定理的应用．
20.【答案】解：画树状图为：
张经理坐到车，李经理坐到车．
两人坐到车的可能性一样．
【解析】利用树状图表示出所有可能出现的结果情况，再分别求出张经理和李经理能乘坐到车的概率，即可得出结论．
本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是求出相应概率的关键．
21.【答案】解：如图，过点作于点，
则四边形是矩形，
，，
在中，斜坡的坡度，米，
设米，则米，
米，
，
，
米，米，
米，米，
米，
在中，，
米，
米，
答：樟树的高度约为米．
【解析】过点作于点，则四边形是矩形，得，，由坡度的概念和勾股定理得米，米，则米，米，再由锐角三角函数定义求出的长，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22.【答案】解：如图，过点作，交于点，
点就是所求的点，
理由：设交于点，
四边形是矩形，
，
，
于点，
，
，
，
点就是所求的点．
证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
∽，
，
，
，，
．
【解析】过点作，交于点，则，可知点就是符合要求的点；
由矩形的性质得，所以，由，得，而，即可推导出，则，所以，则是等边三角形，再证明∽，得，则，即可证明．
此题重点考查矩形的性质、用直角和圆规过直线外一点作已知直线的垂线、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，作出并且推导出是解题的关键．
23.【答案】解：二次函数、为常数的图象经过点、，
解得：；
由得，．
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，
当时，取最大值，最大值是，当时，取最小值，最小值是，
，
解得，舍去．
当时，
当时，取最大值，的最大值是，
当时，取最小值，的最小值是．
，
不符合题意．
当时，
当时，取最大值，的最大值是，
当时，取最小值，的最小值是．
，
解得，舍去．
综上所述，的值为或．
【解析】把点、代入二次函数解析式，即可求解；
分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合二次函数的性质即可求解．
本题主要考查的是二次函数的最值，涉及到二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
24.【答案】证明：如图中，过点作于点．
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
≌，
，
；
证明：如图中，由此交于点，连接，．
由题意，，三点共线，
，
，
，，
≌，
，，
，，，
≌，
，
，
；
解：，
，，
，，
，
，
，
．
【解析】如图中，过点作于点分别证明，，可得结论；
如图中，由此交于点，连接，利用全等三角形的性质分别证明，，可得结论；
利用平行线发现成比例定理求出可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：，则点，
，则，则点，
设抛物线的表达式为：，
即，
解得：，
即抛物线的表达式为：；
证明：如下图：
，，是线段的中点，
注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
、、、四点在以为圆心，为半径的圆上，
，
，则，
；
，
是等腰直角三角形；
解：是等腰直角三角形；
最小时，、、均最小，
最小时，，如上图：
在中，，
在中，，则，
故直线的表达式为．
【解析】用待定系数法即可求解；
证明、、、四点在以为圆心，为半径的圆上且，则，即可求解；
当最小时，、、均最小，进而求解．
本题考查二次函数综合知识，难度较大，解题的关键是线段、角的转化及线段比的转化．
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