05学年第二学期上城区双休日班初二数学讲义
第四讲 一次函数
主要概念：
1.形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数，它的图像是一条经过点（0，b）、(，0)且与y=kx平行的直线。其中b是截距，如果b=0，函数变为y=kx，所以正比例函数是一次函数的特例。
2.一次函数y=kx+b(k≠0)的性质：
⑴当k＞0时，直线从左至右向上升， y的值随着x的增大而增大；
⑵当k＜0时，直线从左至右往下降，y的值随着x的增大而减小。
3.要确定一个一次函数，就要先确定k和b的值，常用待定系数法求k和b的值。
A组题
1.如果y=(m2－1)x是正比例函数，那么m的取值范围是 。
2.已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y=kx(k≠0)图像上的两点，且当x1＜x2时，y1＜y2，则k的取值范围是 。
3.已知点A(2m – 1，4)，B(– 3，n)关于x轴对称，则m= ，n= 。
4.一次函数y=(m – 3)x+m+1的图像经过第一、二、四象限，则m的取值范围是 。
5.如图，在( )内填写适当数值：
6.已知函数，当– 1≤x≤1时，y的取值范围是 。
7.不论m取何实数，直线y=x+2m与y= – x+4的交点不可能在第 象限。8.在半径为2的半圆内，有一内接三角形⊿ABC，其边AB为半圆的直径。
①写出⊿ABC的面积y与边AB上高x之间的函数关系式；
②写出高x的取值范围。
9.在同一直角坐标系中，画出函数y1=x+4，y2=2x – 1的图像，利用图像求：①交点坐标；②x取什么值时，y1＞y2；③x取什么值时，y1＜y2？
B组题
10.如图，两块完全中重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O做0°—90°的旋转，那么旋转时露出的⊿ABC的面积S随着旋转角度n的变化而变化，下面表示S与n的关系的图像大致是（ ）
(A) (B) (C) (D)
11.三条直线y+x=5，2x – y =7，x – y +1=0，所围成的三角形的三个顶点分别为A、B、C，则点A的坐标是 ，点B的坐标是 ，点C的坐标是 ，⊿ABC是 三角形（按角分类），S⊿ABC= 。
12.汽车油箱有3升油，在行驶过程中，每小时耗油0.5升，则油箱中余油y(升)与它工作的时间t(时)之间的函数系式大致图像是( )
(A) (B) (C) (D)
13.已知直线y=kx+b经过点(，0)，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的表达式。
14.一支蜡烛燃掉的长度与燃烧时间成正比，一支蜡烛点燃6分钟，剩下烛长为12厘米；点燃16分钟，剩下的烛长为7厘米，假设蜡烛点燃x分钟，剩下烛长为y厘米，求y与x之间的关系式，并求这支蜡烛点完需多少时间？
15.有两条直线，l1：y=ax+b，l2：y=cx+5，学生甲解出它们的交点为（3，– 2 ），学生乙把c抄错了，而解出它们的交点为（，），试写出两条直线的表达式。
16.已知一次函数的图像交正比例函数图像于M点，交x轴于点N(– 6，0)，又知点M位于第二象限，其横坐标为 – 4，若⊿MON的面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式。
17.在直角坐标系中，一次函数在y轴上的交点坐标是(0，5)，与x轴交点A的横坐标是图像与y轴交点到原点距离的2倍，点C的坐标是(6，0)，点P的坐标是(0，y)，若四边形ABPC的面积为S，求S关于y的函数关系式，并求出自变量的取值范围，若∠PCO=30°， 求四边形ABPC的面积。
18.为保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的。研究表明，假设课桌的高度为y厘米，椅子的高度为x厘米，则y应是x的一次函数。下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度。
①试确定y与x的函数关系式；
第一套 第二套
椅子高度x cm 40 37
桌子高度y cm 75 70
②现有一把高39厘米的椅子和一张高为78.2厘米的课桌，他们是否是配套的？为什么？
选做题
19.直线分别交x轴、y轴于点A、B，O是原点。
①在坐标系中画出函数的图像；
②求⊿AOB的面积
③过⊿AOB的顶点能不能画出直线把⊿AOB的分成面积相等的两部分？如果能，可以画出几条？写出这样的直线所对应的函数关系式。
20.如图，在ABCD中，已知AB=4，BD=3，AD=5，以AB所在直线为x轴，B点为原点，建立平面直角坐标系。将ABCD绕点B逆时针方向旋转，使C点落在y轴的正半轴上，C、D、A三点旋转后的位置分别为P、Q和T三点。
（1）求证：点D在y轴上；
（2）若直线y=kx+b经过P、Q两点，求直线PQ的解析式；
（3）将PQTB沿y轴正半轴方向向上平行移动，得P’Q’T’B’(点P、Q、T、B分别与点P’、Q’、T’、B’对应)。设BB’=m(0＜m≤3)，P’Q’T’B’于原ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式
n
n
S
O
O
C
B
A
－3
( )
( )
y=2x+3
x
y
S
O
n
S
O
n
S
O
y=0.5t – 3
(0≤t≤6)
6
－3
y（升）
t（时）
O
y=3 – 0.5t
6
3
y（升）
t（时）
O
y=0.5t – 3
6
－3
y（升）
t（时）
O
y=3 – 0.5t
(0≤t≤6)
6
3
y（升）
t（时）
O
y
D
x
P
T
Q
C
B
A
105学年第二学期上城区双休日班初二数学讲义
第四讲 一次函数
主要概念：
1.形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数，它的图像是一条经过点（0，b）、(，0)且与y=kx平行的直线。其中b是截距，如果b=0，函数变为y=kx，所以正比例函数是一次函数的特例。
2.一次函数y=kx+b(k≠0)的性质：
⑴当k＞0时，直线从左至右向上升， y的值随着x的增大而增大；
⑵当k＜0时，直线从左至右往下降，y的值随着x的增大而减小。
3.要确定一个一次函数，就要先确定k和b的值，常用待定系数法求k和b的值。
A组题
1.如果y=(m2－1)x是正比例函数，那么m的取值范围是 m≠±1 。
2.已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y=kx(k≠0)图像上的两点，且当x1＜x2时，y1＜y2，则k的取值范围是 k＞0 。
3.已知点A(2m – 1，4)，B(– 3，n)关于x轴对称，则m= – 1 ，n= –4 。
4.一次函数y=(m – 3)x+m+1的图像经过第一、二、四象限，则m的取值范围是 – 1＜m＜3 。
5.如图，在( )内填写适当数值：
6.已知函数，当– 1≤x≤1时，y的取值范围是 ≤y＜ 。
7.不论m取何实数，直线y=x+2m与y= – x+4的交点不可能在第 三 象限。8.在半径为2的半圆内，有一内接三角形⊿ABC，其边AB为半圆的直径。
①写出⊿ABC的面积y与边AB上高x之间的函数关系式；
②写出高x的取值范围。
y=2x(0＜x≤2)
9.在同一直角坐标系中，画出函数y1=x+4，y2=2x – 1的图像，利用图像求：①交点坐标；②x取什么值时，y1＞y2；③x取什么值时，y1＜y2？
画图略。①交点坐标：（5，9）②x＜5时，y1＞y2；③x＞5时，y1＜y2
B组题
10.如图，两块完全中重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O做0°—90°的旋转，那么旋转时露出的⊿ABC的面积S随着旋转角度n的变化而变化，下面表示S与n的关系的图像大致是（B）
(A) (B) (C) (D)
11.三条直线y+x=5，2x – y =7，x – y +1=0，所围成的三角形的三个顶点分别为A、B、C，则点A的坐标是（4，1） ，点B的坐标是 （8，9），点C的坐标是（2，3） ，⊿ABC是 直角 三角形（按角分类），S⊿ABC= 12 。
12.汽车油箱有3升油，在行驶过程中，每小时耗油0.5升，则油箱中余油y(升)与它工作的时间t(时)之间的函数系式大致图像是(D)
(A) (B) (C) (D)
13.已知直线y=kx+b经过点(，0)，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的表达式。
解：由题意，，∴h=±5，∴y=kx+b经过点(，0)、(0，5)，y= – 2x+5；y=kx+b经过点(，0)、(0，– 5 )，y=2x–5；
14.一支蜡烛燃掉的长度与燃烧时间成正比，一支蜡烛点燃6分钟，剩下烛长为12厘米；点燃16分钟，剩下的烛长为7厘米，假设蜡烛点燃x分钟，剩下烛长为y厘米，求y与x之间的关系式，并求这支蜡烛点完需多少时间？
15.有两条直线，l1：y=ax+b，l2：y=cx+5，学生甲解出它们的交点为（3，– 2 ），学生乙把c抄错了，而解出它们的交点为（，），试写出两条直线的表达式。
16.已知一次函数的图像交正比例函数图像于M点，交x轴于点N(– 6，0)，又知点M位于第二象限，其横坐标为 – 4，若⊿MON的面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式。
17.在直角坐标系中，一次函数在y轴上的交点坐标是(0，5)，与x轴交点A的横坐标是图像与y轴交点到原点距离的2倍，点C的坐标是(6，0)，点P的坐标是(0，y)，若四边形ABPC的面积为S，求S关于y的函数关系式，并求出自变量的取值范围，若∠PCO=30°， 求四边形ABPC的面积。
18.为保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的。研究表明，假设课桌的高度为y厘米，椅子的高度为x厘米，则y应是x的一次函数。下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度。
①试确定y与x的函数关系式；
第一套 第二套
椅子高度x cm 40 37
桌子高度y cm 75 70
②现有一把高39厘米的椅子和一张高为78.2厘米的课桌，他们是否是配套的？为什么？
选做题
19.直线分别交x轴、y轴于点A、B，O是原点。
①在坐标系中画出函数的图像；
②求⊿AOB的面积
③过⊿AOB的顶点能不能画出直线把⊿AOB的分成面积相等的两部分？如果能，可以画出几条？写出这样的直线所对应的函数关系式。
20.如图，在ABCD中，已知AB=4，BD=3，AD=5，以AB所在直线为x轴，B点为原点，建立平面直角坐标系。将ABCD绕点B逆时针方向旋转，使C点落在y轴的正半轴上，C、D、A三点旋转后的位置分别为P、Q和T三点。
（1）求证：点D在y轴上；
（2）若直线y=kx+b经过P、Q两点，求直线PQ的解析式；
（3）将PQTB沿y轴正半轴方向向上平行移动，得P’Q’T’B’(点P、Q、T、B分别与点P’、Q’、T’、B’对应)。设BB’=m(0＜m≤3)，P’Q’T’B’于原ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式
n
n
S
O
O
C
B
A
－3
(– 2)
( 5 )
y=2x+3
x
y
S
O
n
S
O
n
S
O
y=0.5t – 3
(0≤t≤6)
6
－3
y（升）
t（时）
O
y=3 – 0.5t
6
3
y（升）
t（时）
O
y=0.5t – 3
6
－3
y（升）
t（时）
O
y=3 – 0.5t
(0≤t≤6)
6
3
y（升）
t（时）
O
y
D
x
P
T
Q
C
B
A
