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9.5 多项式的因式分解
9.5.3 利用完全平方公式因式分解
知识总结：
1.用完全平方公式分解因式.
即:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的_和__(或__差__)的平方.
2.能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：
(1)能写成一个三项式的形式(可以是2次，也可以是4次)；
(2)首平方，尾平方，收尾2倍在中央(有时需要提取符号和“变形”)
基础练习
1.下列各式中，是完全平方式的是( C )
A.x2－x＋4 B.x2－2x＋4 C.x2－6x＋9 D.x2－4x＋2
2.分解因式9x2－12x＋4的结果是( B )
A.(3x＋4)2 B.(3x－2)2 C.(2x＋3)2 D.(3x－6)2
3.若x2－4x＋4＝(x－n)2，则n的值为( A )
A.2 B.4 C.8 D.16
4.分解因式：
(1)x2－__8xy__＋16y2＝(x－_4_y)2；(2)x2＋x＋__(x＋)2___.
5.如图①，将一个大正方形的面积分成4个部分，通过计算大正方形的面积，我们可以得到恒等式为
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；如图②，将一个大正方形分成9个部分，通过计算大正方形的面积，我们可以得到恒等式为__a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝(a＋b＋c)2__.
图① 图②
6.把下列各式分解因式：
(1)4x2－8xy＋4y2 ； (2)a4＋4a2b＋4b2 ；
(3)－a＋2a2－a3 ； (4)(m－n)2－6m(m－n)＋9m2 .
解：(1)原式＝4(x2－2xy＋y2)＝4(x－y)2;
(2)原式＝(a2)2＋2a2·(2b)＋(2b)2＝(a2＋2b)2；
(3)原式＝－a(1－2a＋a2)＝－a(1－a)2;
(4)原式＝(m－n－3m)2＝(－n－2m)2＝(n＋2m)2.
7.简便计算：20212－4042×2020＋20202 .
解：原式＝20212－2×2021×2020＋20202＝(2021－2020)2＝1.
8.已知a2＋b2＝5，求(a2－b2)2＋4a2b2的值.
解：原式＝a4－2a2b2＋b4＋4a2b2＝a4＋2a2b2＋b4＝(a2＋b2)2＝25.
综合提优
9.分解因式：(1)(a2＋1)2－4a2 ； (2)(a2＋2a－2)(a2＋2a－8)＋9 .
解：(1)原式＝(a2＋1)2－(2a)2＝(a2＋1＋2a)(a2＋1－2a)＝(a＋1)2(a－1)2；
(2)设a2＋2a＝m，
则原式＝(m－2)(m－8)＋9＝m2－8m－2m＋16＋9＝m2－10m＋25＝(m－5)2，
所以原式＝(a2＋2a－5)2 .
10.已知a－4＝3b，则代数式 4a2－24ab＋36b2 的值为__64___.
11.已知a－3＝2b，求(a－b)2＋b(3b－2a)的值.
解：原式＝a2－2ab＋b2＋3b2－2ab＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2，
因为a－3＝2b，所以a－2b＝3，所以原式＝32＝9.
12.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋2c2－2ac－2bc＝0.试判断三角形的形状，并说明理由.
解：△ABC是等边三角形，理由如下：
a2+b2＋2c2－2ac－2bc
＝a2－2ac＋c2＋b2－2bc＋c2
＝(a－c)2＋(b－c)2，
因为(a－c)2＋(b－c)2＝0，所以a－c＝0且b－c＝0，因为a，b，c都为正数，所以a＝b＝c，
所以△ABC是等边三角形.
13.(阅读理解题)多项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，例如：分解因式x2－8x＋12，这个式子的常数项12＝(－2)×(－6)，一次项系数－8＝－2＋(－6)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：
1×(－2)＋1×(－6)＝－8
得到x2－8x＋12＝(x－6)(x－2)，这就是十字相乘法.
利用上述方法，解决下列问题：
(1)分解因式：x2＋4x－12；
(2)先因式分解，再求值：(x－1)(x＋2)(x－3)(x＋4)＋9，其中x2＋x＝4.
解：(1)x2＋4x－12＝(x＋6)(x－2);
(2)原式＝(x2＋x－2)(x2＋x－12)＋9＝(x2＋x)2－14(x2＋x)＋33＝(x2＋x－3)(x2＋x－11)，
因为x2＋x＝4，所以原式＝(4－3)(4－11)＝－7.
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9.5 多项式的因式分解
9.5.3 利用完全平方公式因式分解
知识总结：
1.用完全平方公式分解因式.
即:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的_______(或______)的平方.
2.能用完全平方公式分解因式的多项式的特点：
(1)能写成一个三项式的形式(可以是2次，也可以是4次)；
(2)首平方，尾平方，收尾2倍在中央(有时需要提取符号和“变形”)
基础练习
1.下列各式中，是完全平方式的是( )
A.x2－x＋4 B.x2－2x＋4 C.x2－6x＋9 D.x2－4x＋2
2.分解因式9x2－12x＋4的结果是( )
A.(3x＋4)2 B.(3x－2)2 C.(2x＋3)2 D.(3x－6)2
3.若x2－4x＋4＝(x－n)2，则n的值为( )
A.2 B.4 C.8 D.16
4.分解因式：
(1)x2－_________＋16y2＝(x－_____y)2；(2)x2＋x＋_____________.
5.如图①，将一个大正方形的面积分成4个部分，通过计算大正方形的面积，我们可以得到恒等式为
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2；如图②，将一个大正方形分成9个部分，通过计算大正方形的面积，我们可以得到恒等式为____________________.
图① 图②
6.把下列各式分解因式：
(1)4x2－8xy＋4y2 ； (2)a4＋4a2b＋4b2 ；
(3)－a＋2a2－a3 ； (4)(m－n)2－6m(m－n)＋9m2 .
7.简便计算：20212－4042×2020＋20202 .
8.已知a2＋b2＝5，求(a2－b2)2＋4a2b2的值.
综合提优
9.分解因式：(1)(a2＋1)2－4a2 ； (2)(a2＋2a－2)(a2＋2a－8)＋9 .
10.已知a－4＝3b，则代数式 4a2－24ab＋36b2 的值为_______________.
11.已知a－3＝2b，求(a－b)2＋b(3b－2a)的值.
12.已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋2c2－2ac－2bc＝0.试判断三角形的形状，并说明理由.
13.(阅读理解题)多项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)，例如：分解因式x2－8x＋12，这个式子的常数项12＝(－2)×(－6)，一次项系数－8＝－2＋(－6)，这个过程可用十字相乘的形式形象地表示：
1×(－2)＋1×(－6)＝－8
得到x2－8x＋12＝(x－6)(x－2)，这就是十字相乘法.
利用上述方法，解决下列问题：
(1)分解因式：x2＋4x－12；
(2)先因式分解，再求值：(x－1)(x＋2)(x－3)(x＋4)＋9，其中x2＋x＝4.
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