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第十七章 勾股定理
第1课时 勾股定理
一、温故知新（导）
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.我们也来观察一下地面的图案，正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边之间有什么特殊数量关系？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.
2、会用勾股定理进行简单的计算 .
学习重难点
重点：掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.
难点：了解利用拼摆验证勾股定理的方法.
二、自我挑战（思）
1、观察图象：
（1）如图1-1，SA= ，SB= ，SC= ；小正方形A、B、C的面积之间有什么关系： .
（2）如图1-2，SA= ，SB= ，SC= ；小正方形A、B、C的面积之间有什么关系： .
2、图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边平方之间有什么特殊数量关系？
猜想：_______________________________________.
1-1 1-2
3、观察图象
（1）如图1-3，SA= ，SB= ，SC= ；小正方形A、B、C的面积之间有什么关系： SA+SB=SC .
（2）如图1-4，SA= ，SB= ，SC= ；小正方形A、B、C的面积之间有什么关系： .
（提示：以斜边为边长的正方形面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.）
4、（1）1-3图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边平方之间有什么特殊数量关系？
猜想：_______________________________________.
（2）1-4图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边平方之间有什么特殊数量关系？
猜想：_______________________________________.
5、由上面的几个例子，我们猜想（图1-5）
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
6、命题1的证明（勾股定理的证明）
赵爽证法（赵爽弦图）：如图1-6，由4个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
（1）大正方形的边长是 ，大正方形的面积是 ；小正方形的边长是 ，小正方形的面积是 ；4个全等直角三角形的面积是 .
（2）用两种方法表示大正方形的面积： ； .
（3）通过计算，写出a2、b2、c2的关系： .
（4）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
三、互动质疑（议、展）
1、命题1的证明还有其它方法吗？
美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证法，被称为“总统证法”，其图形如图，你能利用它证明勾股定理吗？
证明：∵S梯形=（a+b）2=（a2+2ab+b2），
又∵S梯形=ab+ba+c2，
∴（a2+2ab+b2）=（2ab+c2），
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
即c2=a2+b2．
2、实例：如图1-7，在RT△ABC中，∠C=900,
（1）如果BC=3，AC=4，则AB= .
（2）如果BC=6，AB=10，则AC= .
（3）如果AB=25，AC=20，则BC= .
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、设直角三角的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b； (2)已知a=5，b=12，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
六、用
（一）必做题
1、我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为（ ）
A．21 B．15 C．13 D．12
2、如图1-8，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形,可以验证的式子为( )
A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.c2=a2+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2
3、如图1-9，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
1-8 1-9 1-10
4、如图1-10，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则BC的长为 ．
5、设直角三角的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c.
(1)已知a=5，c=10， 求b;
(2)已知a=8，b=15， 求c;
(3)已知c=2.5，b=1.5，求a.
（二）选做题
6、如图1-11，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
7、以直角三角形的三边为边向外作正方形，如图①所示，三个正方形的面积分别为S1，S2，S3， 则有S1+S2___S3(填“>”“=”“<”).
(1)分别以直角三角形的三边为直径向外作半圆，如图②所示，上述结论是否仍成立 说明理由.
(2)分别以直角三角形的三边为斜边向外作等腰直角三角形，(1)中的结论仍成立吗(直接写出结论，无需证明)
(3)(变式拓展)如图③,图中数字代表正方形的面积,∠ACB=120°，求正方形P的面积.
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第十七章 勾股定理
第1课时 勾股定理
一、温故知新（导）
相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家作客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系.我们也来观察一下地面的图案，正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边之间有什么特殊数量关系？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想.
2、会用勾股定理进行简单的计算 .
学习重难点
重点：掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题.
难点：了解利用拼摆验证勾股定理的方法.
二、自我挑战（思）
1、观察图象：
（1）如图1-1，SA= 9 ，SB= 9 ，SC= 18 ；小正方形A、B、C的面积之间有什么关系： SA+SB=SC .
（2）如图1-2，SA= 4 ，SB= 4 ，SC= 8 ；小正方形A、B、C的面积之间有什么关系： SA+SB=SC .
2、图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边平方之间有什么特殊数量关系？
猜想：两条直角边的平方和等于斜边的平方.
1-1 1-2
3、观察图象
（1）如图1-3，SA= 4 ，SB= 9 ，SC= 13 ；小正方形A、B、C的面积之间有什么关系： SA+SB=SC .
（2）如图1-4，SA= 9 ，SB= 25 ，SC= 34 ；小正方形A、B、C的面积之间有什么关系： SA+SB=SC .
（提示：以斜边为边长的正方形面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积.）
4、（1）1-3图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边平方之间有什么特殊数量关系？
猜想：两条直角边的平方和等于斜边的平方.
（2）1-4图中正方形A、B、C所围成的直角三角形三边平方之间有什么特殊数量关系？
猜想：两条直角边的平方和等于斜边的平方.
5、由上面的几个例子，我们猜想（图1-5）
命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
6、命题1的证明（勾股定理的证明）
赵爽证法（赵爽弦图）：如图1-6，由4个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.
（1）大正方形的边长是 c ，大正方形的面积是 C2 ；小正方形的边长是 b-a ，小正方形的面积是 （b-a）2 ；4个全等直角三角形的面积和是 2ab .
（2）用两种方法表示大正方形的面积： C2 ； （b-a）2+2ab .
（3）通过计算，写出a2、b2、c2的关系： a2+b2=c2 .
（4）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
三、互动质疑（议、展）
1、命题1的证明还有其它方法吗？
美国第二十任总统伽菲尔德对勾股定理的证法，被称为“总统证法”，其图形如图，你能利用它证明勾股定理吗？
证明：∵S梯形=（a+b）2=（a2+2ab+b2），
又∵S梯形=ab+ba+c2，
∴（a2+2ab+b2）=（2ab+c2），
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
即c2=a2+b2．
2、实例：如图1-7，在RT△ABC中，∠C=900,
（1）如果BC=3，AC=4，则AB= 5 .
（2）如果BC=6，AB=10，则AC= 8 .
（3）如果AB=25，AC=20，则BC= 15 .
2、解：（1）AB==5；
（2）AC==8；
（3）BC==15.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、设直角三角的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
(1)已知a=6，c=10，求b； (2)已知a=5，b=12，求c；
(3)已知c=25，b=15，求a.
1、解：（1）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,其中a=6，c=10，
∴b==8；
（2）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,其中a=5，b=12，
∴c==13；
（3）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,其中c=25，b=15，
∴a==20．
六、用
（一）必做题
1、我国古代称直角三角形为勾股形，较短的直角边为勾，另一条直角边为股，斜边为弦．若一勾股形中勾为9，股为12，则弦为（ ）
A．21 B．15 C．13 D．12
解：弦为：＝15，
故选：B．
2、如图1-8，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形,可以验证的式子为( )
A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.c2=a2+b2 D.(a-b)2=a2-2ab+b2
解：∵大正方形的面积表示为：c2
又可以表示为：ab×4+（b-a）2，
∴c2=ab×4+（b-a）2，
c2=2ab+b2-2ab+a2，
∴c2=a2+b2．
故选：C．
3、如图1-9，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
1-8 1-9 1-10
解：设正方形D的面积为x,
∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，
∴根据图形得：2+4=x-3，
解得：x=9，
故选：C．
4、如图1-10，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以直角三角形的两边为边向外作正方形，其面积分别为5和9，则BC的长为 ．
解：由题意可知AB2=5，AC2=9，
又∵△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，
∴根据勾股定理得：BC2=AC2-AB2=9-5=4，
∵BC为正数，
∴BC=2，
故答案为：2．
5、设直角三角的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c.
(1)已知a=5，c=10， 求b;
(2)已知a=8，b=15， 求c;
(3)已知c=2.5，b=1.5，求a.
解：（1）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,其中a=5，c=10，
∴b==；
（2）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,其中a=8，b=15，
∴c==17；
（3）∵直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c,其中c=2.5，b=1.5，
∴a==2．
（二）选做题
6、如图1-11，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
解：根据勾股定理的几何意义，可知
SE=S1+S2
=SA+SB+SC+SD
=122+162+92+122
=625．
7、数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
1-12
（1）如图1，是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC=b,AB=c,以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1，S2，S3，试猜想S1，S2，S3之间存在的等量关系，直接写出结论．
（3）如图3，如果以Rt△ABC的三边长a,b,c为直径向外作半圆，那么第（2）问的结论是否成立？请说明理由．
（4）如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，三边分别为5，12，13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中阴影部分的面积．
解：（1）（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）S1+S2=S3；
（3）成立，设直角三角形两条直角边分别为a,b,斜边为c.
∴S2=π()2=，S3=π（）2=，S1=π()2=，
∵+==，
∴S1+S2=S3；
（4）根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积等于斜边为直径的半圆面积．
∴阴影部分的面积=直角三角形面积
∴阴影部分的面积=5×12÷2=30．
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