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7.1.2 平面直角坐标系
夯基训练
知识点1 平面直角坐标系
1.如图所示，点A、点B所在的位置是( )
A．第二象限，y轴上
B．第四象限，y轴上
C．第二象限，x轴上
D．第四象限，x轴上
知识点2 各象限内、坐标轴上点的坐标特征
2.平面直角坐标系中有点M(a，b)．
(1)当a>0，b<0时，点M位于第几象限？
(2)当ab>0时，点M位于第几象限？
(3)当a为任意有理数，且b<0时，点M位于第几象限？
3.如图,在平面直角坐标系中,每个最小方格的边长均为1个单位长,P1,P2,P3,…均在格点上,其顺序按图中“→”方向排列.如:P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,-1),P5(-1,-1),P6(-1,2)……根据这个规律,点P2 016的坐标为 .
知识点3 特殊点的坐标的特征
4.已知M(1,-2),N(-3,-2),则直线MN与x轴,y轴的位置关系分别为( )
A.相交,相交 B.平行,平行
C.垂直,平行 D.平行,垂直
题型总结
题型1 利用平面直角坐标系象限的符号特征判断点的位置
5.点M(a,b)为平面直角坐标系中的点.
(1)当a>0,b<0时,点M位于第几象限
(2)当ab>0时,点M位于第几象限
(3)当a为任意非零实数,且b<0时,点M位于第几象限
题型2 利用平面直角坐标系内图形位置写点的坐标
6已知点A(0，3)，B(－1，1)，C(－3，2)，D(－2，0)，E(－3，－2)，F(－1，－1)，G(0，－3)，H(1，－1)，I(3，－2)，J(2，0)，K(3，2)，L(1，1)．
(1)请在图①的平面直角坐标系中，分别描出上述各点，并顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，A；
(2)试求(1)中连线围成的图形的面积．
7.如图,给出格点三角形ABC.
(1)写出三角形ABC各顶点的坐标;
(2)求出此三角形的面积.
题型3 由点到坐标轴的距离确定点的坐标
8.已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.如果过点P作两坐标轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么点P的坐标是( )
A．(2，－1) B．(1，－2)
C．(－2，－1) D．(1，2)
拓展培优
拓展角度1 利用点的坐标的特征探究横或纵坐标相等的图形的性质
9.如图所示.
(1)请写出A,B,C,D,E五点的坐标.
(2)通过观察B,C两点的坐标,你发现了什么 线段BC的位置有什么特点 由此你又得出什么结论 通过进一步观察D,E两点的坐标你发现了什么 线段DE的位置有什么特点 由此你又能得出什么结论
拓展角度2 利用点的坐标画图求解相关问题
10.在如图所示的平面直角坐标系中描出下面各
点:A(0,3),B(1,-3),C(3,-5),D(-3,-5),E(3,5),F(5,7),G(5,0).
(1)将点C向x轴的负方向平移6个单位,它与点 重合.
(2)连接CE,则直线CE与y轴是什么关系
(3)顺次连接D,E,G,C,D得到四边形DEGC,求四边形DEGC的面积.
拓展角度3 在坐标系中求图形的面积
11.如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(0，0)，B(9，0)，C(7，5)，D(2，7)．试确定这个四边形的面积．
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7.1.2 平面直角坐标系
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 平面直角坐标系
1.如图所示，点A、点B所在的位置是( )
A．第二象限，y轴上
B．第四象限，y轴上
C．第二象限，x轴上
D．第四象限，x轴上
1.解析：根据坐标平面的四个象限来判定．点A在第四象限，点B在x轴正半轴上．故选D.
方法总结：两坐标轴上的点不属于任何一个象限，象限是按逆时针方向排列的．
知识点2 各象限内、坐标轴上点的坐标特征
2.平面直角坐标系中有点M(a，b)．
(1)当a>0，b<0时，点M位于第几象限？
(2)当ab>0时，点M位于第几象限？
(3)当a为任意有理数，且b<0时，点M位于第几象限？
2.解析：(1)横坐标为正，纵坐标为负的点在第四象限；(2)由ab>0知a，b同号，则点M在第一或第三象限；(3)由a为任意有理数，b<0，则点M在x轴下方．
解：(1)点M在第四象限；
(2)可能在第一象限(a>0，b>0)或者在第三象限(a<0，b<0)；
(3)可能在第三象限(a<0，b<0)或者第四象限(a>0，b<0)或者y轴负半轴上．
方法总结：熟记各象限内点的坐标的符号特征：(＋，＋)表示第一象限内的点；(－，＋)表示第二象限内的点；(－，－)表示第三象限内的点；(＋，－)表示第四象限内的点．
3.如图,在平面直角坐标系中,每个最小方格的边长均为1个单位长,P1,P2,P3,…均在格点上,其顺序按图中“→”方向排列.如:P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,-1),P5(-1,-1),P6(-1,2)……根据这个规律,点P2 016的坐标为 .
3.【答案】(504,-504)
解：根据各个点的位置关系,可得:下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上;下标为被4除余1的数的点在第三象限的角平分线上;下标为被4除余3的数的点在第一象限的角平分线上.点P2 016在第四象限的角平分线上,且横、纵坐标的绝对值为2 016÷4=504,再根据第四象限内点的坐标符号可得出答案为(504,-504).
知识点3 特殊点的坐标的特征
4.已知M(1,-2),N(-3,-2),则直线MN与x轴,y轴的位置关系分别为( )
A.相交,相交 B.平行,平行
C.垂直,平行 D.平行,垂直
4.【答案】D
解：由点M(1,-2)和点N(-3,-2)的纵坐标相等可知,直线MN平行于x轴,与y轴垂直.或者在平面直角坐标系中描出点M和点N,结合图判断出直线MN平行于x轴,与y轴垂直.
题型总结
题型1 利用平面直角坐标系象限的符号特征判断点的位置
5.点M(a,b)为平面直角坐标系中的点.
(1)当a>0,b<0时,点M位于第几象限
(2)当ab>0时,点M位于第几象限
(3)当a为任意非零实数,且b<0时,点M位于第几象限
5.解:(1)第四象限.
(2)因为ab>0,所以a>0且b>0或a<0且b<0.所以点M位于第一象限或第三象限.
(3)第三象限或第四象限.
题型2 利用平面直角坐标系内图形位置写点的坐标
6已知点A(0，3)，B(－1，1)，C(－3，2)，D(－2，0)，E(－3，－2)，F(－1，－1)，G(0，－3)，H(1，－1)，I(3，－2)，J(2，0)，K(3，2)，L(1，1)．
(1)请在图①的平面直角坐标系中，分别描出上述各点，并顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，A；
(2)试求(1)中连线围成的图形的面积．
6.解析：(1)依据点的横、纵坐标的定义，分别描出各点并依次连接；(2)连线围成的图形被坐标轴平均分成四部分，故只要求出一个象限中图形的面积，就可求得答案．
解：(1)如图②所示；
(2)因为连线围成的图形在第一象限中的面积为4，并且图形被坐标轴平均分成四部分，所以图形的总面积为4×4＝16.
方法总结：所求图形在四个象限的面积相等，所以只需求其中一部分面积即可．
7.如图,给出格点三角形ABC.
(1)写出三角形ABC各顶点的坐标;
(2)求出此三角形的面积.
7.解:(1)A(2,2),B(-2,-1),C(3,-2).
(2)S三角形ABC=4×5-×3×4-×1×4-×1×5=9.5.
题型3 由点到坐标轴的距离确定点的坐标
8.已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1.如果过点P作两坐标轴的垂线，垂足分别在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上，那么点P的坐标是( )
A．(2，－1) B．(1，－2)
C．(－2，－1) D．(1，2)
8.解析：由点P到x轴的距离为2，可知点P的纵坐标的绝对值为2.又因为垂足在y轴的负半轴上，则纵坐标为－2.由点P到y轴的距离为1，可知点P的横坐标的绝对值为1.又因为垂足在x轴的正半轴上，则横坐标为1.故点P的坐标是(1，－2)．故选B.
易错点拨：本题的易错点有三处：①混淆距离与坐标之间的区别；②不知道与“点P到x轴的距离”对应的是纵坐标的绝对值，与“点P到y轴的距离”对应的是横坐标的绝对值；③忽略坐标的符号出现错解．若本例题只已知距离而无附加条件，则点P的坐标有四个．
拓展培优
拓展角度1 利用点的坐标的特征探究横或纵坐标相等的图形的性质
9.如图所示.
(1)请写出A,B,C,D,E五点的坐标.
(2)通过观察B,C两点的坐标,你发现了什么 线段BC的位置有什么特点 由此你又得出什么结论 通过进一步观察D,E两点的坐标你发现了什么 线段DE的位置有什么特点 由此你又能得出什么结论
9.解:(1)A(2,4),B(-1,2),C(-1,-1),D(1,-4),E(4,-4).
(2)通过观察B,C两点的坐标,发现B,C两点的横坐标相同,纵坐标不同.线段BC与y轴平行,与x轴垂直.由此可得出若一条直线上的所有点的横坐标均相同,纵坐标不同,则此直线与y轴平行(或就是y轴),也可以说是与x轴垂直.通过观察D,E两点的坐标,发现D,E两点的纵坐标相同,横坐标不同.线段DE与x轴平行,与y轴垂直.由此可得出若一条直线上的所有点的纵坐标均相同,横坐标不同,则此直线与x轴平行(或就是x轴),也可以说是与y轴垂直.
拓展角度2 利用点的坐标画图求解相关问题
10.在如图所示的平面直角坐标系中描出下面各
点:A(0,3),B(1,-3),C(3,-5),D(-3,-5),E(3,5),F(5,7),G(5,0).
(1)将点C向x轴的负方向平移6个单位,它与点 重合.
(2)连接CE,则直线CE与y轴是什么关系
(3)顺次连接D,E,G,C,D得到四边形DEGC,求四边形DEGC的面积.
10.解:描点如图.(1)D
(2)如图,直线CE与y轴平行.
(3)S四边形DEGC=S△CDE+S△CEG=×6×10+×10×2=30+10=40.
拓展角度3 在坐标系中求图形的面积
11.如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A(0，0)，B(9，0)，C(7，5)，D(2，7)．试确定这个四边形的面积．
11.解析：由于四边形不是规则的四边形，所以可以考虑把它分成三角形或规则的四边形来解决．
解：分别过点D、C向x轴作垂线，垂足分别为点E、F，则四边形ABCD被分割为△AED、△BCF及梯形CDEF.由各点的坐标可得AE＝2，DE＝7，EF＝5，FB＝2，CF＝5.∴S四边形ABCD＝S△AED＋S梯形CDEF＋S△BCF＝×2×7＋×(7＋5)×5＋×5×2＝7＋30＋5＝42.
方法总结：在直角坐标系中求不规则多边形的面积，一般采用割补法，将其割补为规则图形，从而求出面积．
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