5.3.1函数的单调性（1） 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
5.3.1函数的单调性(1)
5.3 导数在研究函数中的应用
复习引入
通过前两节的学习，我们知道，导数是函数的瞬时变化率数学表示，它定量地刻画了函数的局部变化。本单元我们将利用导数定量地研究函数的单调性，极值，最值。进一步感受导数在研究函数的性质中发挥的工具性作用。
导数在研究函数中的应用
函数的极值
导数的综合应用
函数的最大（小）值
函数的单调性
单元知识框架
t
h
a
O
b
(1)
t
h
a
O
b
(2)
思考1 图(1)是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象，图(2)是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+4.8的图象.
运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别 如何从数学上刻画这种区别
观察图象可以发现:
(1) 从起跳到最高点，运动员的重心处于上升
状态，离水面的高度h随时间t的增加而增加，
即h(t)单调递增. 相应地，v(t)=h'(t)>0.
(2) 从最高点到入水，运动员的重心处于下降状态，离水面的高度h随时间t的增加而减小，即h(t)单调递减. 相应地，v(t)=h'(t)<0.
思考2 我们看到，函数h(t)的单调性与h'(t)的正负有内在联系. 那么，我们
能否由h'(t)的正负来判断函数h(t)的单调性呢
对于高台跳水问题，可以发现:
当t∈(0, a)时，h′(t)>0，函数h(t)的图象是“上升”的，函数h(t)在(0, a)内单调递增；
当t∈(a, b)时，h'(t)<0，函数h(t)的图象是“下降”的，函数h(t)在(a, b)内单调递减.
这种情况是否具有一般性呢
t
h
a
O
b
(1)
t
h
a
O
b
(2)
思考3 观察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
x
y
O
(1)
x
y
O
(2)
x
y
O
(3)
x
y
O
(4)
x
y
O
f (x)＝x
(1)
x
y
O
f ′(x)＝1
在(-∞, +∞)上， f (x)单调递增
在(-∞, +∞)上，f ′ (x)>0
在(-∞, 0)上， f (x)单调递减
在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0
x
y
O
f (x) ＝x2
(2)
x
y
O
f ′(x)＝2x
在(0, +∞)上， f (x)单调递增
在(0, +∞)上，f ′ (x)>0
在(-∞, +∞)上， f (x)单调递增
在(-∞, +∞)上， f ′ (x)0
x
y
O
f ′ (x) ＝3x2
x
y
O
f (x) ＝x3
(3)
在(-∞, 0)上， f (x)单调递减
在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0
在(0, +∞)上， f (x)单调递减
在(0, +∞)上，f ′ (x)<0
x
y
O
(4)
x
y
O
如图示，导数f'(x0)表示函数y=f(x)的图象在点(x0, f(x0))处的切线的斜率，可以发现:
x
y
O
(x0, f(x0))
(x1, f(x1))
思考4 为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？
在x=x0处f ′(x0)>0
函数y=f (x)的图象上升，函数在x=x0附近单调递增
切线是“左下右上”上升式
在x=x1处f ′(x1)<0
函数y=f (x)的图象下降，函数在x=x1附近单调递减
切线是“左上右下”下降式
函数的单调性与导数的关系：
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增;
在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减.
思考5如果在某个区间上恒有f′(x)=0，那么函数f(x)有什么特性
函数y=f(x)在这个区间上是常数函数.
思考6 存在有限个点使得f'(x)=0, 其余点都恒有f ′(x)>0, 则f(x)有什么特性
f(x)仍为增函数.
例如: 对于函数y=x3，y′=3x2.
当x=0时，y′=0，当x>0和x<0时，y′>0，
函数y=x3在R上单调递增.
x
y
O
思考7 在区间(a,b)内，f ′(x)>0（f ′(x)<0）是函数
y=f(x)在区间(a,b)内单调递增（递减）的什么条件？
充分不必要条件
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
解：
x
y
O
(1)
x
y
O
(2)
π
-π
例1 利用导数判断下列函数的单调性:
解：
x
y
O
(3)
1
1
① 求出函数的定义域；
② 求出函数的导数f (x)；
③ 判定导数f (x)的符号；
④ 确定函数f(x)的单调性.
判定函数单调性的步骤：
解：
例2
x
y
O
1
4
“稳定点”
√
小结提升
思考8：由导数的正负来判断函数的单调性，与我们之前学习的函数的单调性定义是否一致？
一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1　 (1)若f(x1)(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.
单调性的定义
(1)x1，x2，当 x1=>0
x1，x2，恒有
= 的几何意义是经过点A(x1，f(x1))、B(x2，f(x2)) 的割线AB的斜率
　(2)x1，x2，当 x1f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.
x1，x2，恒有
=>0
追问：设函数y=f(x)在区间(a,b)内的导函数f′ (x) >0,你能结合平均变化率的几何意义说明f(x)在区间(a,b)上单调递增吗？
x1，x2 x1找到一点T（x0，f(x0)) ,
使函数y=f(x)的图像在点T处的切线与直线
AB平行，所以，存在x0
使得=f′ (x0)>0 ,从而>0 ①
所以f(x)在区间（a,b)内单调递增
1. 判断下列函数的单调性:
解：
课本P87
解：
课本P87
令f ′(x)<0 ,得x<-
令f ′(x)<0 ,得x>-
解：
x
y
O
a
b
x
y
O
a
b
课本P87
1.函数单调性与导数符号存在怎样的关系
2.判定函数单调性的步骤是什么
课堂小结
回顾本节课内容，回答以下问题:
在区间(a,b)内，f ′(x)>0（f ′(x)<0）是函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增（递减）的充分不必要条件.
①求出函数的定义域； ②求出函数的导数f (x)；
③判定导数f (x)的符号；④确定函数f(x)的单调性.