第17章 勾股定理单元测试题（含答案）
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人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》单元练习题（含答案）
一、单选题
1．以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，4，5 B．4，6，8 C．5，12，13 D．8，10，12
2．以下各组数为三角形的三边，其中，能构成直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
3．下列由线段a、b、c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝1， b＝2， c＝3； B．a＝4 ， b＝5 ，c＝6；
C．a＝9， b＝12，c＝15； D．a＝13， b＝14 ，c＝15
4．已知直角三角形的斜边长为15，一直角边长为12，则另一条直角边长为（ ）
A． B．3 C．27 D．9
5．下列各比值中，是直角三角形的三边之比的是（）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：6 D．1：：1
6．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．3 C．4﹣2 D．4＋2
7．在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝12，b＝5，c＝13
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝7，b＝24，c＝25
8．四个边长为5的大正方形按如图方式摆放，在中间形成一个边长为3的小正方形，则正方形ABCD的面积为( )
A．16 B．29 C．34 D．39
9．如图，是一棵“毕达哥拉斯树”.已知正方形的边长为9，那么四个正方形、、、面积的和是（ ）
A．9 B．18 C．40.5 D．81
10．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝25，c＝24 B．a＝11，b＝41，c＝40
C．a＝12，b＝13，c＝5 D．a＝8，b＝17，c＝15
11．如图：已知为直角三角形，分别以直角边、为直径作半圆和，以为直径作半圆，记两个月牙形阴影部分的面积之和为，的面积为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
12．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，2 B．1，1， C．4，5，6 D．1，，2
二、填空题
13．如图，在中，，，，则长是____________．
14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______．
15．若的三边长a，b，c满足，则的形状是________．
16．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 _______．
17．如图所示，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是______．
18．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是__________．
19．如图，由边长为1的正方形组成的方格中，有一个正方形ABCD，把正方形ABCD放到数轴上，使A与-1重合，则D在数轴上表示的数为________．
20．如图，在平行四边形中，已知，，，点在边上，若以为顶点的三角形是等腰三角形，则的长是_____．
三、解答题
21．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为多少海里．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2，求BC的长．
23．如图，在三角形中，为边上的中线，且，过点D作于点E．请求出线段的长．
24．如图，四边形中，，，，，求，的长．
25．点P为△ABC内一点，若，证明：.
26．如图，已知A点坐标为（﹣4，﹣3），B点坐标在x轴正半轴上，OB＝OA．求：
(1)△ABO的面积．
(2)原点O到AB的距离．
(3)在x轴上是否存在一点P使得△POA面积15，直接写出点P坐标．
27．在等腰中，，为上一点，为上一点，连接，，．
(1)如图，若，求证：；
(2)如图，若，．
①求；
②直接写出的值.
参考答案
1．C2．A3．C4．D5．D6．C7．A8．B9．D10．B11．C12．D
13．3
14．①③
15．等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
16．
17．##
18．16
19．
20．解：根据以为顶点的三角形是等腰三角形,可分三种情况
①若AB=BP
∵AB=2
∴BP=2
②若AB=AP
过A点作AE⊥BC交BC于E，
∵AB=AP，AE⊥BC
∴BE=EP
在Rt△ABE中
∵
∴AE=BE
根据勾股定理
AE2+BE2=AB2
即2BE2=4
解得BE=
∴BP=
③若BP=AP，则
过P点作PF⊥AB
∵AP=BP，PF⊥AB
∴BF=AB=1
在Rt△BFP中
∵
∴PF=BF=1
根据勾股定理
BP2=BF2+PF2
即BP2=1+1=2，
解得BP=
∵2，，都小于3
故BP=2或BP=或BP=.
21．解：由题意知：∠APC=45°，PA= ，∠BPC=90°－30°=60°，∠B=30°，
在中，
∵∠APC=45°，∠ACP=90°，PA= ，
∴AC=PC==10．
在中，
∵∠B=30°，2PC=PB，
∴BC=PC =．
∴AB=AC+BC=10+=（海里）
即：海轮行驶的路程AB为海里．
22．解：∵AC＝10，CD＝2，
∴ AD＝AC－CD＝10－2＝8，
∴在Rt△ADB中，
BD＝＝＝6，
在Rt△BDC中，BC＝＝＝2．
23．解：，AD为BC边上的中线，
，
，，，
，
，即，
∵AD为BC边上的中线，即AD垂直平分BC，
，
∵的面积，
，
解得：．
24．如图，连接，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
25．如图所示，延长AP、BP分别与BC、AC交于点H、点K，
在Rt△BPH中, 由勾股定理可得： ，
在Rt△BAH中, 由勾股定理可得： ，
在Rt△AHC中, 由勾股定理可得： ，
在Rt△PHC中, 由勾股定理可得： ，
∴，
∴ ，
又∵，，
∴，
∴.
26．(1)
解：过A作AC⊥x轴于C，如图1所示：
∵A点坐标为（﹣4，﹣3），
∴OC＝4，AC＝3，
∴OA＝＝＝5，
∴OB＝OA＝5，
∴S△ABO＝OB×AC＝×5×3＝；
(2)
解：过O作OD⊥AB于D，如图2所示：
由（1）得：OA＝OB＝5，AC＝3，OC＝4，
∴BC＝OB+OC＝5+4＝9，
∴AB＝＝＝3，
∵S△ABO＝AB×OD＝×3×OD＝，
∴OD＝，
即原点O到AB的距离为；
(3)
解：在x轴上存在一点P使得△POA面积15，理由如下：
如图3所示：
由（1）得：AC＝3，
∵S△POA＝OP×AC＝×OP×3＝15，
∴OP＝10，
当点P在x轴负半轴时，点P坐标为（﹣10，0）；
当点P在x轴正半轴时，点P坐标为（10，0）；
综上所述，在x轴上存在一点P使得△POA面积15，点P坐标为（﹣10，0）或（10，0）．
27．(1)
证明：作，交的延长线于，
，，
，
，，
≌，
，，
，，
，
，
；
(2)
解：在上取点，使，作于，
则，
由（1）同理得，≌，
，，
设，
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
解得负值舍去，
；
作于，于，
，，
是等边三角形，
由知，，，
，，
∽，
，
．
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人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》单元练习题（含答案）
一、单选题
1．以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（ ）
A．2，4，5 B．4，6，8 C．5，12，13 D．8，10，12
2．以下各组数为三角形的三边，其中，能构成直角三角形的是（ ）
A． B．
C．，， D．，，
3．下列由线段a、b、c组成的三角形是直角三角形的是（ ）
A．a＝1， b＝2， c＝3； B．a＝4 ， b＝5 ，c＝6；
C．a＝9， b＝12，c＝15； D．a＝13， b＝14 ，c＝15
4．已知直角三角形的斜边长为15，一直角边长为12，则另一条直角边长为（ ）
A． B．3 C．27 D．9
5．下列各比值中，是直角三角形的三边之比的是（）
A．1：2：3 B．2：3：4 C．3：4：6 D．1：：1
6．由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的之边长为1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B．3 C．4﹣2 D．4＋2
7．在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）
A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝12，b＝5，c＝13
C．a＝6，b＝8，c＝10 D．a＝7，b＝24，c＝25
8．四个边长为5的大正方形按如图方式摆放，在中间形成一个边长为3的小正方形，则正方形ABCD的面积为( )
A．16 B．29 C．34 D．39
9．如图，是一棵“毕达哥拉斯树”.已知正方形的边长为9，那么四个正方形、、、面积的和是（ ）
A．9 B．18 C．40.5 D．81
10．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝7，b＝25，c＝24 B．a＝11，b＝41，c＝40
C．a＝12，b＝13，c＝5 D．a＝8，b＝17，c＝15
11．如图：已知为直角三角形，分别以直角边、为直径作半圆和，以为直径作半圆，记两个月牙形阴影部分的面积之和为，的面积为，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
12．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．1，2，2 B．1，1， C．4，5，6 D．1，，2
二、填空题
13．如图，在中，，，，则长是____________．
14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是______．
15．若的三边长a，b，c满足，则的形状是________．
16．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 _______．
17．如图所示，，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是______．
18．如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．连结，交于点P，若正方形的面积为48，．则的值是__________．
19．如图，由边长为1的正方形组成的方格中，有一个正方形ABCD，把正方形ABCD放到数轴上，使A与-1重合，则D在数轴上表示的数为________．
20．如图，在平行四边形中，已知，，，点在边上，若以为顶点的三角形是等腰三角形，则的长是_____．
三、解答题
21．如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为多少海里．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2，求BC的长．
23．如图，在三角形中，为边上的中线，且，过点D作于点E．请求出线段的长．
24．如图，四边形中，，，，，求，的长．
25．点P为△ABC内一点，若，证明：.
26．如图，已知A点坐标为（﹣4，﹣3），B点坐标在x轴正半轴上，OB＝OA．求：
(1)△ABO的面积．
(2)原点O到AB的距离．
(3)在x轴上是否存在一点P使得△POA面积15，直接写出点P坐标．
27．在等腰中，，为上一点，为上一点，连接，，．
(1)如图，若，求证：；
(2)如图，若，．
①求；
②直接写出的值.
参考答案
1．C2．A3．C4．D5．D6．C7．A8．B9．D10．B11．C12．D
13．3
14．①③
15．等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形
16．
17．##
18．16
19．
20．解：根据以为顶点的三角形是等腰三角形,可分三种情况
①若AB=BP
∵AB=2
∴BP=2
②若AB=AP
过A点作AE⊥BC交BC于E，
∵AB=AP，AE⊥BC
∴BE=EP
在Rt△ABE中
∵
∴AE=BE
根据勾股定理
AE2+BE2=AB2
即2BE2=4
解得BE=
∴BP=
③若BP=AP，则
过P点作PF⊥AB
∵AP=BP，PF⊥AB
∴BF=AB=1
在Rt△BFP中
∵
∴PF=BF=1
根据勾股定理
BP2=BF2+PF2
即BP2=1+1=2，
解得BP=
∵2，，都小于3
故BP=2或BP=或BP=.
21．解：由题意知：∠APC=45°，PA= ，∠BPC=90°－30°=60°，∠B=30°，
在中，
∵∠APC=45°，∠ACP=90°，PA= ，
∴AC=PC==10．
在中，
∵∠B=30°，2PC=PB，
∴BC=PC =．
∴AB=AC+BC=10+=（海里）
即：海轮行驶的路程AB为海里．
22．解：∵AC＝10，CD＝2，
∴ AD＝AC－CD＝10－2＝8，
∴在Rt△ADB中，
BD＝＝＝6，
在Rt△BDC中，BC＝＝＝2．
23．解：，AD为BC边上的中线，
，
，，，
，
，即，
∵AD为BC边上的中线，即AD垂直平分BC，
，
∵的面积，
，
解得：．
24．如图，连接，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
25．如图所示，延长AP、BP分别与BC、AC交于点H、点K，
在Rt△BPH中, 由勾股定理可得： ，
在Rt△BAH中, 由勾股定理可得： ，
在Rt△AHC中, 由勾股定理可得： ，
在Rt△PHC中, 由勾股定理可得： ，
∴，
∴ ，
又∵，，
∴，
∴.
26．(1)
解：过A作AC⊥x轴于C，如图1所示：
∵A点坐标为（﹣4，﹣3），
∴OC＝4，AC＝3，
∴OA＝＝＝5，
∴OB＝OA＝5，
∴S△ABO＝OB×AC＝×5×3＝；
(2)
解：过O作OD⊥AB于D，如图2所示：
由（1）得：OA＝OB＝5，AC＝3，OC＝4，
∴BC＝OB+OC＝5+4＝9，
∴AB＝＝＝3，
∵S△ABO＝AB×OD＝×3×OD＝，
∴OD＝，
即原点O到AB的距离为；
(3)
解：在x轴上存在一点P使得△POA面积15，理由如下：
如图3所示：
由（1）得：AC＝3，
∵S△POA＝OP×AC＝×OP×3＝15，
∴OP＝10，
当点P在x轴负半轴时，点P坐标为（﹣10，0）；
当点P在x轴正半轴时，点P坐标为（10，0）；
综上所述，在x轴上存在一点P使得△POA面积15，点P坐标为（﹣10，0）或（10，0）．
27．(1)
证明：作，交的延长线于，
，，
，
，，
≌，
，，
，，
，
，
；
(2)
解：在上取点，使，作于，
则，
由（1）同理得，≌，
，，
设，
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
解得负值舍去，
；
作于，于，
，，
是等边三角形，
由知，，，
，，
∽，
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