2022-2023学年河南省洛阳市嵩县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省洛阳市嵩县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2. 下列给出的方程中，属于一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列说法错误的是( )
A. 必然事件发生的概率是
B. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C. 概率很小的事件不可能发生
D. 投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得
4. 如图，以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，，则五边形的周长与五边形的周长比是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
5. 如果点、在第三象限，则点关于原点的对称点是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6. 如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点、，如果线段与网格线的其中两个交点为、，那么：：的值是( )
A. ：：
B. ：：
C. ：：
D. ：：
7. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离米，则自动扶梯的长约为参考数据：，，( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8. 若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为( )
A. B. C. D.
9. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
10. 如图，四边形中，已知，与之间的距离为，，，，点，同时由点出发，分别沿边，折线向终点方向移动，在移动过程中始终保持，已知点的移动速度为每秒个单位长度，设点的移动时间为秒，的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. ______．
12. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______．
13. 已知函数是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限．
14. 在中，，，则______．
15. 如图，四边形，，是三个正方形， ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
计算

．
17. 本小题分
解方程：．
18. 本小题分
中，、分别为、的中点，为的中点，、的延长线交于点．
求证：≌；
求证：．
19. 本小题分
如图，在中，，分别是边，上的点，连接，且．
求证：∽；
如果是的中点，，，求的长．
20. 本小题分
已知是二次函数．
求的值；
写出这个二次函数的图象的对称轴及顶点坐标．
21. 本小题分
一只不透明袋子中装有个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验：将球搅匀后从中任意摸出个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下：
摸球的次数
摸到白球的频数
摸到白球的频率
该学习小组发现，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是______精确到，由此估出红球有______个．
现从该袋中摸出个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到个白球，个红球的概率．
22. 本小题分
由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于年月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且小岛与航母相距海里，航母再航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离的长．
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，且与轴交于、两点，点的坐标为．
写出点的坐标，并求出抛物线的解析式；
观察图象直接写出函数值为正数时，自变量的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】
解：由题意可知：，
．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：、符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
B、变形后未知数最高次数是，不是一元二次方程，故本选项错误；
C、未知数的最高次数是，不是一元二次方程，故本选项错误；
D、当时，不是一元二次方程，故本选项错误；
故选：．
根据一元二次方程的定义，依次分析各个选项即可得到答案．
本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：、必然事件发生的概率是，故该选项的说法正确，不符合题意；
B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，故该选项的说法正确，不符合题意；
C、概率很小的事件也有可能发生，故该选项的说法错误，符合题意；
D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，故该选项的说法正确，不符合题意；
故选：．
不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于并且小于．
本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：，其中必然发生的事件的概率；不可能发生事件的概率；随机事件，发生的概率大于并且小于事件发生的可能性越大，概率越接近与，事件发生的可能性越小，概率越接近于．
4.【答案】
【解析】解：以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，，，
五边形与五边形的位似比为：：：，
五边形的周长与五边形的周长比是：：．
故选：．
由以点为位似中心，将五边形放大后得到五边形，，，可得五边形的周长与五边形的位似比为：：：，然后由相似多边形的性质可证得：五边形的周长与五边形的周长比是：：．
此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似多边形的周长比等于位似比．
5.【答案】
【解析】解：点关于原点的对称点是．
又点在第三象限即，．
，，
是第二象限的点．
故选B．
此题首先明确两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是互为相反数；然后能够根据点所在的位置判断点的坐标符号，根据坐标符号得到字母的取值范围．
本题考查了坐标平面内的点坐标的符号，同时考查了关于原点对称的两点坐标之间的关系．
6.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了平行线分线段成比例，作出辅助线，找准对应关系是解决本题的关键．
过点作，交于点，连接、、，根据已知条件得出，再根据平行线分线段成比例即可得出答案．
【解答】
解：过点作，交于点，连接、、，
，
是一个正方形网格，
，
：：：：：：，
：：：：．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：在中，，
则米，
故选：．
根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正弦的定义是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：根据反比例函数的图象位于二、四象限知，
根据二次函数的图象可知，
函数的大致图象经过一、二、四象限，
故选：．
首先根据二次函数及反比例函数的图象确定、的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．
本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．
9.【答案】
【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，
与对称轴距离越近的点的纵坐标越小，距离越远的点的纵坐标越大，
，
，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据，，三点到对称轴的距离大小求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积公式，求出各段的函数关系式是解题的关键．
分点在线段上，点在线段上，点在线段上，三种情况讨论，由三角形面积公式可求解析式，即可求解．
【解答】
解：如图，过点作于，过点作于，
，，，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
，
，，
当点在线段上时，，
，，
，
，
，即，则，
，
，
此段图象是开口向上且在对称轴右侧的抛物线；
当点在线段上时，，，此段图象是从左到右上升的线段；
当点在线段上，则，
如图，
，，
，
，，
，
，
，
，
此段图象是开口向下且在对称轴右侧的抛物线；
综上可知，符合三个阶段的函数图象的是选项．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
熟记特殊角的三角函数值进行求解即可得出答案．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值进行求解是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：若将每个小正方形的面积记为，则大正方形的面积为，其中阴影部分的面积为，
所以该小球停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
若将每个小正方形的面积记为，则大正方形的面积为，其中阴影部分的面积为，再根据概率公式求解可得．
本题主要考查几何概率问题，根据概率公式求解即可．
13.【答案】二
【解析】解：由题意得：
且，
且，
，
一次函数的图象不经过第二象限，
故答案为：二．
根据二次函数的定义：形如为常数且，可得且，从而可得且，进而可得，然后利用一次函数的性质即可解答．
本题考查了二次函数的定义，一次函数的性质，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：因为在中，，，
所以．
所以．
根据锐角三角函数的概念，可以证明：
同一个角的正弦和余弦的平方和等于；同一个角的正切等于它的正弦除以它的余弦．
解答此题要用到同角三角函数关系式，同角三角函数关系常用的是：
；；；．
15.【答案】
【解析】解：四边形为正方形，
，
设正方形的边长为，
则，，，
由勾股定理可得：，
，
，
，
∽，
，
，
．
故答案为：
根据正方形的性质可得，设设正方形的边长为，根据勾股定理算出，，，则，以此可证明∽，，根据三角形外角性质得，以此即可求解．
本题主要考查正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，熟知有三组对应边的比相等的两个三角形相似是解题关键．
16.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】根据二次根式的混合运算进行计算即可；
根据平方、算术平方根、立方根进行计算即可．
本题考查了实数的运算，掌握平方、绝对值以及算术平方根、平方根是解题的关键．
17.【答案】解：，
，
则，
解得，
，．
【解析】本题考查了解一元二次方程配方法．
先利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程．
18.【答案】证明：、分别为、的中点，为的中点，
，，，
，
在和中，
，
≌；
≌，
，
．
【解析】由三角形中位线定理可得，，由“”可得≌；
由全等三角形的性质可得，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
19.【答案】解：，，
∽；
由可知：∽，
，
点是的中点，设，
，
，，
，
解得：，舍去，
．
【解析】根据相似三角形的判定即可求证．
由于点是的中点，设，根据相似三角形的性质可知，从而列出方程解出的值．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
20.【答案】解：由题意可知：，
解得：；
，
，
此抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是
【解析】根据二次函数的最高指数是，二次项系数不等于列方程求出即可，
将抛物线解析式化为顶点式，从而得出对称轴和顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的定义，把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．
21.【答案】解：，；
画树状图为：
由图可知，共有种等可能的结果数，其中恰好摸到个白球、个红球的结果数为，
所以从该袋中摸出个球，恰好摸到个白球、个红球的结果的概率为．
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率．也考查了利用频率估计概率．
通过表格中数据，随着次数的增多，摸到白球的频率越稳定在左右，得出球的总个数，即可估计得出答案；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出恰好摸到个白球、个红球的结果数，然后利用概率公式求解．
【解答】
解：观察表格发现，随着摸球次数的增多，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，
装中有个白球，
袋中球的总个数为个，
估出红球有个．
故答案为：，；
见答案．
22.【答案】解：过点作于点，
由题意，得：，，海里，
在中，，
海里，海里，
在中，，
海里，
海里，
答：的距离是海里．
【解析】过点作于点，根据题意得到，，，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
23.【答案】解：顶点为，且与轴交于、两点，点的坐标为，
点，关于抛物线对称轴对称，
点的坐标为．
设抛物线的解析式为，
把代入，可得，
解得，
抛物线的解析式为，
即；
由图可得，当函数值为正数时，自变量的取值范围是或．
【解析】依据顶点为，且与轴交于、两点，点的坐标为，可得点的坐标为，设抛物线的解析式为，把代入，可得二次函数解析式；
当函数值为正数时，观察轴上方部分的抛物线，即可得到自变量的取值范围．
本题考查了二次函数的解析式的求法、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系等代数问题，对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
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