7.1.2全概率公式-2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）(共18张PPT)

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7.1.2 全概率公式
问题导入
在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其概率.下面，再看一个求复杂事件概率的问题.
问题1：从有个红球和个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大？如何计算这个概率呢？
因为抽签具有公平性，所以第2次摸到红球的概率也应该是.但是这个结果并不显然，因为第2次摸球的结果受第1次摸球结果的影响.下面我们给出严格的推导.
新知探索
用表示事件“第次摸到红球”，表示事件“第次摸到蓝球”，.如图所示，事件可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并，即.利用概率的加法公式和乘法公式，得
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上述过程采用的方法是：按照某种标准，将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并，再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.
一般地，设，，，是一组两两互斥的事件，，且，，，，，则对任意的事件，
有.
我们称上面的公式为全概率公式.全概率公式是概率论中最基本的公式之一.
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辨析1.判断正误.
(1)应用全概率公式时，各个事件并不一定互斥.( )
(2)对任意事件，全概率公式都成立.( )
答案：×，√.
辨析2.从数字1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1，，中任取一个数，记为，则
答案：.
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辨析3.从有10个红球和10个黑球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不放回，第1次摸到红球的概率为，那么第2次摸到红球的概率为_________.
答案：.
例析
例4.某学校有两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为.计算王同学第2天去餐厅用餐的概率.
l
解：设“第1天去餐厅用餐”，“第1天去餐厅用餐”，“第2天去餐厅用餐”，则，且与互斥.根据题意得：
，，
由全概率公式，得
.
因此，王同学第2天去餐厅用餐的概率为.
例析
例5.有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
l
解：设“任取一个零件为次品”，“零件为第台机床加工”，，且两两互斥.根据题意得，
(1)由全概率公式，得
.
例析
例5.有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第台机床加工的概率.
l
(2)“如果取到的零件是次品，计算它是第台机床加工的概率”，就是计算在发生的条件下，事件发生的概率.
.
类似地，可得，.
例析
问题2.例5中，，的实际意义是什么？
l
是实验之前就已知的概率，它是第台机床加工的零件所占的比例，称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(发生)，是这件次品来自第台机床加工的可能性大小，通常称为后验概率.如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，那么，，就分别是第1，2，3台机床操作员应承担的份额.
新知探索
将例5中的问题(2)一般化，可以得到贝叶斯公式.
l
*(选学内容)贝叶斯公式：设是一组两两互斥的事件，且，，则对任意的事件，，有，.
例析
例6.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1，发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.
(1)分别求接收的信号为0和1的概率；
l
解：设“发送的信号为0”，“接收的信号为0”，“发送的信号为1”，“接收的信号为1”.由题意得，
(1)，
例析
(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.
l
解：设“发送的信号为0”，“接收的信号为0”，“发送的信号为1”，“接收的信号为1”.由题意得，
(2)
练习
题型：全概率公式的运用
例1.某公司有三个制造厂，全部产品的40%由甲厂生产，45%由乙厂生产，15%由丙厂生产，而甲、乙、丙三厂生产的不合格品率分别为1%，2%，3%.求从该公司产品中随机抽出一件产品为不合格品的概率.
解：设“抽到甲厂的产品”，“抽到乙厂的产品”，“抽到丙厂的产品”，“抽到不合格品”，则两两互斥，且.
由题意可知：，，
由全概率公式，得
练习
方法技巧：
全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下：
(1)找出条件事件里某一个完备事件组，分别命名为；
(2)命名目标的概率事件为事件；
(3)代入全概率公式求解.
练习
变1.某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一、二车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台成品，则该产品合格的概率是？
解：设“从仓库中随机提出的一台是合格品”，“提出的一台是第车间生产的”().则有，由题意知，，，，
由全概率公式得
课堂小结
1.全概率公式：
若样本空间中的事件，满足：
(1)任意两个事件均互斥，即，，；
(2)；
(3)，，，，.则对任意的事件，都有
.则称该公式为全概率公式.
上述公式可借助图形来理解：
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P52的练习1——2题；
(3)课本P52的习题7.1的第3——8题.