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第十八章 平行四边形
18.1.1平行四边形的性质（第2课时）
一、温故知新（导）
在前面我们已经探究得出了平行四边形的边和角的性质，那么平行四边形的对角线又会有什么性质呢？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、能通过观察、测量、试验获得数学猜想，并进一步给出证明，得出平行四边形对角线的性质；
2、会用平行四边形的性质进行有关证明和计算.
学习重难点
重点：平行四边形对角线互相平分的性质
难点：利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题.
二、自我挑战（思）
1、如图18.1-7，在 ABCD中，连接AC，BD，并设它们相较于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？（请用尺子测量 ABCD的两条对角线相交后，得到的四条线段长）你能证明发现的结论吗？
（1）经过测量，你有什么猜想？
.
（2）证明猜想 请你运用以前所学习的知识点证明出你的猜想.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
2、你得到什么结论？
（1）平行四边形的性质： .
（2）请你用几何语言表示性质定理.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴
三、互动质疑（议、展）
1、平行四边形是轴对称图形吗？
2、上图有几个全等三角形？分别是哪几对？
3、平行四边形面积如何求？还有其它方法吗？
4、四个小三角形面积有何关系？
5、实例：
例2 如图18.1-9，已知在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求 BC，CD，AC，OA 的长以及 ABCD的面积．
（1）例题中运用到哪些几何知识
（2）能否求出BＤ长？（写出具体解题过程）
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．平行四边形的对角相等
C．平行四边形的对角线互相平分 D．平行四边形的对边平行且相等
2、如图， ABCD的周长为30cm,△ABC的周长为27cm,则对角线AC的长为（ ）
A．27cm B．17cm C．12cm D．10cm
3、如图，在□ABCD中，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm，△AOD的周长是 cm．
4、如图 ,□ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长．
六、用
（一）必做题
1、如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．OA=OC B．AB=AC C．∠ABD=∠CBD D．AC⊥BD
2、如图，在平行四边形ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11cm,则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
3、如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点，若四边形ABCD的面积为30cm2，则四边形EDCF的面积为（ ）cm2．
A．15 B．20 C．25 D．30
4、如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，a∥b,PB⊥b于点B，PA=15cm,PB=12cm,PC=13cm,CD=14cm,则直线a与b之间的距离是 cm.
5、如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OD，OB的中点，连接AE，CF，求证：AE=CF．
（二）选做题
6、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AC=6，BD=8，AB=5，
(1)求□ABCD的周长；
(2)求□ABCD的面积.
7、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠AOE=70°，∠EAD=3∠EAO，求∠BCA的度数．
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第十八章 平行四边形
18.1.1平行四边形的性质（第2课时）
一、温故知新（导）
在前面我们已经探究得出了平行四边形的边和角的性质，那么平行四边形的对角线又会有什么性质呢？这是今天我们要学的内容，下面我们来看看今天的学习目标和重难点。
学习目标
1、能通过观察、测量、试验获得数学猜想，并进一步给出证明，得出平行四边形对角线的性质；
2、会用平行四边形的性质进行有关证明和计算.
学习重难点
重点：平行四边形对角线互相平分的性质
难点：利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题.
二、自我挑战（思）
1、如图18.1-7，在 ABCD中，连接AC，BD，并设它们相较于点O，OA与OC，OB与OD有什么关系？（请用尺子测量 ABCD的两条对角线相交后，得到的四条线段长）你能证明发现的结论吗？
（1）经过测量，你有什么猜想？
OA=OC， OB=OD .
（2）证明猜想 请你运用以前所学习的知识点证明出你的猜想.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AD∥BC，AD=BC
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4
∴ △AOD≌△COB (ASA)
∴ OA=OC，OB=OD
2、你得到什么结论？
（1）平行四边形的性质： 平行四边形的对角线互相平分 .
（2）请你用几何语言表示性质定理.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=OC，BO=OD
三、互动质疑（议、展）
1、平行四边形是轴对称图形吗？
平行四边形不是轴对称图形.
2、上图有几个全等三角形？分别是哪几对？
上图有四对全等三角形，分别是 △ABD≌△CDB， △ABC≌△CDA， △AOB≌△COD， △AOD≌△COB
3、平行四边形面积如何求？还有其它方法吗？
平行四边形的面积等于底×高，还可以用两条对角线分成的一个小三角形面积的4倍.
4、四个小三角形面积有何关系？
四个小三角形面积都相等 .
5、实例：
例2 如图18.1-9，已知在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求 BC，CD，AC，OA 的长以及 ABCD的面积．
例2.解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=8，AB=CD=10，OA=OC=AC，
∵AB=10，BC=8，
由勾股定理得：AC==6，
∴OA=3；
∴ ABCD的面积是BC×AC=8×6=48．
答：BC=8，CD=10，AC=6，OA=3， ABCD的面积是48．
（1）例题中运用到哪些几何知识
①平行四边形的性质：（对边相等，对角线互相平分）；② 勾股定理；
（2）能否求出BＤ长？（写出具体解题过程）
可以，∵CO=3，BC=8，在Rt△BOC中，
BO=,∴BD=2BO=.
四、清点战果（评）
今天你是否完成了学习目标？你的困惑解决了没？
五、一战成名（检）
1、关于平行四边形的性质，下列描述错误的是（ ）
A．平行四边形的对角线相等 B．平行四边形的对角相等
C．平行四边形的对角线互相平分 D．平行四边形的对边平行且相等
1、解：∵平行四边形的性质是：对边相等且平行；对角相等，邻角互补；对角线互相平分．
∴B、C、D正确，A错误，
故选：A．
2、如图， ABCD的周长为30cm,△ABC的周长为27cm,则对角线AC的长为（ ）
A．27cm B．17cm C．12cm D．10cm
2、解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵ ABCD的周长为30cm,△ABC的周长为27cm,
∴AB+BC=15cm,AB+BC+AC=27cm,
∴AC=12cm,
故选：C．
3、如图，在□ABCD中，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm，△AOD的周长是 cm．
3、解：AC、BD是□ABCD的对角线，
∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA+OB=（AC+BD）=×22=11cm，
∵BC=10cm，
∴AD=10cm，
∴△AOD的周长=OA+OB+AD=11+10=21cm．
故答案为：21．
4、如图 ,□ABCD中，BD⊥AB，AB=12cm，AC=26cm，求AD、BD长．
4、解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC=AC=×26=13cm，
∵BD⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∵AB=12cm，
∴OB= cm，
∴BD=2OB=10cm，
∴AD=cm．
六、用
（一）必做题
1、如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
A．OA=OC B．AB=AC C．∠ABD=∠CBD D．AC⊥BD
1、解：平行四边形对角线互相平分，A正确，符合题意；
平行四边形邻边不一定相等，B错误，不符合题意；
平行四边形对角线不一定平分内角，C错误，不符合题意．
平行四边形对角线不一定互相垂直，D错误，不符合题意；
故选：A．
2、如图，在平行四边形ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11cm,则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
2、解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵△CDE的周长为11cm,
∴△CDE的周长为：CD+CE+DE=CD+CE+AE=AD+CD=11cm.
∴ ABCD的周长为2（AD+CD）=2×11=22厘米，
故选：B．
3、如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点，若四边形ABCD的面积为30cm2，则四边形EDCF的面积为（ ）cm2．
A．15 B．20 C．25 D．30
3、解：如图所示，连接AC，BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，∠AOB=∠COD，∠DOE=∠BOF，
∴∠EAO=∠FCO，∠EDO=∠FBO，
在△AOE与△△COF中，，
∴△AOE≌△COF（ASA），
在△AOB和△COD中，，
∴△AOB≌△COD（SAS），
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF（ASA），
∴S四边形EDCF＝S四边形AEFB＝S平行四边形ABCD＝15（cm2），
故选：A．
4、如图，点P、D在直线a上，点A、C在直线b上，a∥b,PB⊥b于点B，PA=15cm,PB=12cm,PC=13cm,CD=14cm,则直线a与b之间的距离是 cm.
4、解：∵a∥b,PB⊥b于点B，PB=12cm,
∴根据平行线之间的距离可知，直线a与b之间的距离是12cm.
故答案为：12．
5、如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OD，OB的中点，连接AE，CF，求证：AE=CF．
5、证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，OD=OB，
∴∠ABE=∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE=ED，OF=BF，
∴BE=DF，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF．
（二）选做题
6、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AC=6，BD=8，AB=5，
(1)求□ABCD的周长；
(2)求□ABCD的面积.
6、解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA=AC=3，OB=OD=BD=4，
在△AOB中，OA2+OB2=32+42=52=AB2，
∴△AOB是直角三角形且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，,
∴,
∴.
（2）由（1）知：AC⊥BD,
∴.
7、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠AOE=70°，∠EAD=3∠EAO，求∠BCA的度数．
7、（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴AE=CF；
（2）解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∵∠AOE=70°，
∴∠EAO=90°-∠AOE=20°，
∵∠EAD=3∠EAO，
∴∠EAD=3×20°=60°，
∴∠DAC=∠DAE-∠EAO=60°-20°=40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA=∠DAC=40°．
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