2022-2023学年山东省济南市钢城区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）(含解析）

2022-2023学年山东省济南市钢城区九年级（上）期末数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各点，在反比例函数图象上的是( )
A. B. C. D.
2. 下列立体图形中，主视图是圆的是( )
A. B. C. D.
3. 已知在中，，，，则的值是( )
A. B. C. D.
4. 将抛物线的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为( )
A. B.
C. D.
5. 从，，，中随机选取一个数作为二次函数中的值，则抛物线开口向下的概率是( )
A. B. C. D.
6. 已知点，在反比例函数的图象上，则( )
A. B. C. D.
7. 已知圆锥的三视图及相关数据如图所示，则这个圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
8. 一次函数和反比例函数在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
9. 如图，是圆的直径，、是上的两点，连接、相交于点，若，那么的度数为( )
A.
B.
C.
D.
10. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为二倍点若二次函数为常数在的图象上存在两个二倍点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，那么的值是 ．
12. 为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为______．
13. 如图，点、、均在上，点在的延长线上，若，则 ______ ．
14. 在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为，与跳台底部所在水平面的竖直高度为，与的函数关系式为，当她与跳台边缘的水平距离为______时，竖直高度达到最大值．
15. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标是，则它与轴的另一个交点坐标是 ．
16. 如图，是半圆的一条弦，以弦为折线将弧折叠后过圆心，的半径为，则圆中阴影部分的面积为______．
三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
我国海域辽阔，渔业资源丰富如图，现有渔船在海岛附近捕鱼作业，正以海里时的速度向正北方向航行，渔船在处时，测得海岛在该船的北偏东方向上，航行半小时后，该船到达点处，发现此时海岛与该船距离最短求海岛到处的距离结果保留根号
19. 本小题分
如图，是的外接圆，，若的半径为，则弦的长是多少．
20. 本小题分
如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接，．
求这个反比例函数的表达式；
求的面积．
21. 本小题分
某中学积极落实国家“双减”教育政策，决定增设“礼仪”“陶艺”“园艺”“厨艺”及“编程”等五门校本课程以提升课后服务质量，促进学生全面健康发展学校面向七年级参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程？要求必须选修一门且只能选修一门”的随机问卷调查，并根据调查数据绘制了如图两幅不完整的统计图：请结合上述信息，解答下列问题：
共有 名学生参与了本次问卷调查；
“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是 度；
小刚和小强分别从“礼仪”“陶艺”“编程”这三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人恰好选到同一门课程的概率．
22. 本小题分
教育部颁布的基础教育课程改革纲要要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明与同学们在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度：，米，米测角器的高度忽略不计，结果精确到米，参考数据，，
求点距水平地面的高度；
若市政规定广告牌的高度不得大于米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由．
23. 本小题分
脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件元的商品，按单价不低于成本价，且不高于元销售，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
销售单价元
销售数量件
求该商品每天的销售量件与销售单价元之间的函数关系式．
销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润元最大？最大利润是多少元？
24. 本小题分
如图，已知的边是的切线，切点为，经过圆心并与圆相交于点，交于，连接，，，且．
求证：；
若，，求及的半径长．
25. 本小题分
如图，在矩形中，，，点是边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，作直线．
求反比例函数的解析式和点坐标；
在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标；
若点在反比例函数的图象上，点在坐标轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由．
26. 本小题分
如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，点是抛物线的顶点．
求抛物线的解析式及点的坐标；
如图，点在抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，若是以为底的等腰三角形，求点坐标．
如图，连接、，在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、将代入中得：，故本选项不符合题意；
B、代入中得：，故本选项符合题意；
C、代入中得：，故本选项不符合题意；
D、代入中得：，故本选项不符合题意；
故选：．
将每个选项中的坐标代入反比例函数解析式中，能够使得等式成立的选项则在函数图象上．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，解题的关键是利用反比例函数的图象的点坐标特点解决问题．
2.【答案】
【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形，因此选项A不符合题意；
B.三棱柱的主视图是矩形，因此选项B不符合题意；
C.圆柱的主视图是矩形，因此选项C不符合题意；
D.球的主视图是圆，因此选项D符合题意；
故选：．
根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
3.【答案】
【解析】解：如图：
在中，
，，，
．
故选：．
先根据题意画出图形，根据余弦的定义求解即可．
本题考查的是锐角三角函的定义，解题的关键是掌握锐角的余弦等于锐角的邻边比斜边．
4.【答案】
【解析】解：根据左加右减自变量，上加下减常数项可知：
将抛物线的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得到的抛物线为：，
故选：．
根据左加右减自变量，上加下减常数项，进行抛物线的平移即可．
本题考查二次函数的平移，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
5.【答案】
【解析】解：在、、、四个数中，，
该二次函数图象开口向下的概率是；
故选：．
二次函数图象开口向下得出，从所列个数中找到的个数，再根据概率公式求解可得．
本题主要考查概率公式及二次函数的性质，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
6.【答案】
【解析】解：将代入中得：，，
代入中得：，
则．
故选：．
将，两点坐标代入函数解析式中，直接比较结果的大小即可．
本题考查反比例函数的解析式，能够根据函数的横坐标求出对应的纵坐标是解决本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：由三视图中可知，该圆锥的底面半径为，高为，
由勾股定理，可得圆锥母线长为，
圆锥侧面积．
故选：．
由三视图中数据可知该圆锥的底面半径为，高为，再由勾股定理可求得圆锥母线长为，然后根据圆锥的侧面积公式计算即可．
本题主要考查了圆锥的三视图、勾股定理、圆锥侧面积的求法等知识，由该三视图中的数据确定圆锥的底面半径和高是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：根据一次函数图像在第一、二、三象限，则，，即，则双曲线在第一、三象限，与选项不符，故A选项不符合题意；
B.根据一次函数图像在第一、二、三象限，则，，即，所以双曲线在第一、三象限，故B选项符合题意；
C.根据一次函数图像在第一、三、四象限，则，，即，所以双曲线在第二、四象限，与选项不符，故C选项不符合题意；
D.根据一次函数图像在第二、三、四象限，则，，即，所以双曲线在第一、三象限，与选项不符，故D选项不符合题意．
故选：．
先根据各选项中一次函数图像位置确定、的符号，再根据、的符号确定双曲线的大致位置进行判断即可．
本题主要考查了一次函数和反比例函数的图像与性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：连接，
是圆的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，利用直径所对的圆周角是直角，可得，易得，利用圆周角定理可得结果．
本题主要考查了圆周角定理及其推论，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立与，得方程，
即，
抛物线与直线有两个交点，
，
解得，
当直线和直线与抛物线交点在点，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入，得，
把代入得，
，
解得，
．
故选：．
由点的纵坐标是横坐标的倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．
本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
11.【答案】
【解析】解：由题意得，
故答案为：．
根据点坐标和网格特点，利用正切函数的定义求解即可．
本题考查坐标与图形、正切，熟知正切函数的定义是解答的关键．
12.【答案】
【解析】解：画树状图如下：
共有种可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有种，
恰好选中甲和丙的概率为，
故答案为：．
画树状图，共有种可能的结果，其中恰好选中甲和丙的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】
【解析】解：在优弧上取点，连接，，
，
，
，，
．
故答案为：．
首先在优弧上取点，连接，，由圆周角定理可求得的度数，又由圆的内接四边形的性质，可得．
此题考查了圆的内接多边形的性质以及圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
14.【答案】
【解析】解：，
，
当时，有最大值，最大值为，
当她与跳台边缘的水平距离为时，竖直高度达到最大值．
故答案为：．
把抛物线解析式化为顶点式，由函数的性质求解即可．
本题考查二次函数的应用，根据函数的性质求解是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
而抛物线与轴的一个交点坐标为，
所以抛物线与轴的另一个交点的坐标为．
故答案为：．
先求出抛物线的对称轴方程，然后利用对称性写出抛物线与轴的另一个交点的坐标．
本题考查了抛物线与轴的交点，掌握二次函数的对称轴的对称性是解题关键．
16.【答案】
【解析】解：过点作，交于，连接，，
，
，
是的直径，
，
，
，
是等边三角形，
，
弓形面积弓形面积，
阴影部分面积．
故答案为：．
过点作，交于，连接，，证明弓形的面积弓形的面积，这样图中阴影部分的面积的面积．
本题考查了折叠问题、扇形的面积．解决本题的关键是把阴影部分的面积转化为的面积．
17.【答案】解：原式
．
【解析】先进行算式平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算，再加减运算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，涉及算式平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂运算，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
18.【答案】解：过作于，
由题意，海里，
在中，，
海里．
答：海岛到处距离为海里．
【解析】过作于，根据题意，利用正切函数的定义求解即可．
本题考查解直角三角形的应用，理解题意，构造直角三角形，利用正切函数求解是解答的关键．
19.【答案】解：延长交于，连接，则，
，
，
在中，，
．
【解析】延长交于，连接，则，根据圆周角定理得到，利用锐角三角函数定义求解即可．
本题考查圆周角定理、解直角三角形，熟练掌握圆周角定理和特殊角的三角函数值是解答的关键．
20.【答案】解：一次函数经过点，
，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
由题意，得，
解得或，
，
，
．
【解析】求出点的坐标，利用待定系数法求解即可；
解方程组求出点的坐标，利用割补法求三角形的面积．
本题考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
21.【答案】
【解析】解：名，
故答案为：；
“陶艺”在扇形统计图中所对应的圆心角是，
故答案为：；
把“礼仪”“陶艺”“编程”三门校本课程分别记为、、，
共有种等可能的结果，其中小刚和小强两人恰好选到同一门课程的结果有种，
小刚和小强两人恰好选到同一门课程的概率为．
用“礼仪”的人数除以占比得到总人数；
用“陶艺”的人数除以总人数再乘以，即可求解；
用画树状图法求得概率即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数，概率所求情况数与总情况数之比．能对图表信息进行具体分析和熟练掌握概率公式．
22.【答案】解：过点作于点，
由题意可知，：，
设米，米，
则米
，解得，
米，米，
即点距水平地面的高度为米．
作于点，
，，
四边形是矩形．
米，米．
在中，，
米，米，
在中，，米，
米，
米，
，
该公司的广告牌不符合要求．
【解析】过点作于点，根据坡度得到，设米，米，利用勾股定理求得米，进而解方程即可；
作于点，则四边形是矩形．分别在和中解直角三角形即可求解．
本题主要考查解直角三角形的应用，涉及矩形的判定与性质、勾股定理，理解题意，作辅助线构造直角三角形和矩形进行求解是解答的关键．
23.【答案】解：设该商品每天的销售量件与销售单价元之间的函数关系式为，
将点、代入一次函数关系式得：，
解得：．
函数关系式为；
由题意得：
，
，抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，
，
当时，有最大值，此时．
销售单价定为元时，才能使销售该商品每天获得的利润元最大，最大利润是元．
【解析】设该商品每天的销售量件与销售单价元之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
根据每件的利润乘以销售量等于利润得出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
本题考查了二次函数和二元一次方程组在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，切点为，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
解：在中，，，
，
设的半径，
在中，，
，
即的半径长为．
【解析】连接，根据切线的性质得到，由得到，由得到，这样即可证明，再根据平行线的性质证出，从而得证；
根据正弦的定义求出，设半径为，在中根据，列方程求出的值即可．
本题考查的是切线的性质、锐角三角函数的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
25.【答案】解：在矩形中，，，
．
点是的中点，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，设交轴于，
方法一：
，
，
，
，
．
方法二：
，，
设直线的解析式为，
解得，
直线的解析式为，
直线交轴于，令，得，
．
分两种情况讨论：
当点在轴上时，设，，
，，
当，为对角线时，，且解得，点；
当，为对角线时，，且解得，点，舍去；
当，为对角线时，，且解得，点．
当点在轴上时，设，，
，，
当，为对角线时，，且解得，点；
当，为对角线时，，且解得，点；
当，为对角线时，，且解得，点，舍去．
答：存在，以、、、为顶点的平行四边形，点坐标为或或或．
【解析】根据点为的中点，可得点的坐标，从而得出反比例函数的解析式，当代入可得点的坐标；
作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，设交轴于，方法一利用平行线分线段成比例，可得的长，从而得出点的坐标，方法二求出直线的解析式，令也可以求出点的坐标；
分类讨论：点在轴或轴上两种情形，分别利用中点坐标公式解决问题．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，轴对称最短路线问题，平行四边形的判定等知识，利用中点坐标公式是解题问题的关键．
26.【答案】解：把，代入得，
解得，
抛物线的解析式为：，
，
顶点；
设，
则，
，
，
解得，
；
设直线的解析式为，
则，
解得，
直线的解析式为，
当时，
解得，，
；
设，
如图，当交轴于时，
，
，
，
，
，
，，
，
，
∽，
，
，，
，
设，
，
，
，
设的解析式为：，
则，
，
的解析式为：，
则，
，
解得舍，，
当时，，
；
如图，当与轴交于点时，过作于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
设的解析式为：，
则，
，
的解析式为：，
联立方程组得：，
解得：舍，
因为点在抛物线上，所以当时，，
，
综上所述，存在点或，使得．
【解析】利用待定系数法即可求得解析式，化成顶点式即可得点坐标；
设，根据列方程求解即可；
分两种情况：当在的上方和当在的下方时分别求解即可．
本题考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用解析式求交点坐标，方程和分类思想的运用是解题的关键．
第1页，共1页