高二物理人教版（2019）选择性必修一 2.3 简谐运动的回复力和能量 课时作业（含答案）
文档属性
| 名称 | 高二物理人教版（2019）选择性必修一 2.3 简谐运动的回复力和能量 课时作业（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 494.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2023-03-16 13:43:01 | ||
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文档简介
2.3简谐运动的回复力和能量_
一、单选题
1．如图为某个弹簧振子做简谐运动的图象，由图象可知（ ）
A．由于在0.1s末振幅为零，所以振子的振动能量为零
B．在0.2s末振子具有最大势能
C．在0.4s末振子具有的能量尚未达到最大值
D．在0.4s末振子的动能最大
2．一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．质点的振动频率是4Hz B．0～10s内质点经过的路程是20cm
C．在时质点的速度为0 D．在和两时刻，质点的位移相同
3．如图所示，在质量为m的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m的A、B两物体，箱子放在水平地面上。平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐运动。当A运动到最高点时，木箱对地面的压力为（重力加速度大小为g）（ ）
A．0 B．mg C．2mg D．3mg
4．如图甲所示的弹簧振子（以O点为平衡位置在B、C间振动），取水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移的正方向，得到如图乙所示的振动曲线，由曲线所给的信息可知，下列说法正确的是（ ）
A．t = 0时，振子处在O位置
B．振子运动的周期为4s
C．t = 4s时振子对平衡位置的位移为10cm
D．t = 2.5s时振子对平衡位置的位移为5cm
5．某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是（ ）
A．t=1s时，振子的速度为零，加速度为正的最大值
B．t=2s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C．t=3s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D．t=4s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
6．对简谐运动的回复力公式F=－kx的理解，正确的是（ ）
A．k只表示弹簧的劲度系数
B．式中的负号表示回复力总是负值
C．位移x是相对平衡位置的位移
D．回复力只随位移变化，不随时间变化
7．如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻弹簧左端固定，右端与质量为m、带电荷量为+q的小球相连，静止在光滑绝缘的水平面上，在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动，那么（ ）
A．小球完成一次全振动的过程电场力冲量等于零
B．小球到达最右端时，弹簧的形变量为
C．小球做简谐运动的振幅为
D．运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变
8．关于图中弹簧振子的简谐运动，下列说法中正确的是（ ）
A．振子在振动过程中，速率相同时，弹簧的长度一定相同
B．振子从最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧弹力始终做负功
C．振子在振动过程中的回复力由弹簧的弹力提供
D．振子在振动过程中，系统的机械能守恒
二、多选题
9．做简谐振动的振子在最大位移处时，在下列物理量中，具有最大值的物理量是（ ）
A．动能 B．加速度 C．速度 D．回复力
10．如图所示，物体A置于物体B上，一轻弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度范围内，A和B在光滑水平面上往复运动（不计空气阻力），并保持相对静止，则下列说法正确的是（ ）
A．A和B均做简谐运动
B．作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C．B对A的静摩擦力对A做功，而A对B的静摩擦力对B不做功
D．B对A的静摩擦力始终对A做正功，而A对B的静摩擦力对B做负功
11．如图所示为两个相同的弹簧振子，但偏离平衡位置的最大距离不同。振动时间图像如下，已知弹簧劲度系数都是k，弹性势能公式为下面的说法中正确的是（ ）
A．甲的振动能量是乙的4倍 B．甲的振动频率是乙的2倍
C．乙的振动周期是甲的倍 D．两弹簧振子所受回复力最大值之比1∶2
12．如图为某一质点的振动图像，由图可知，在t1和t2两时刻|x1|>|x2|，质点速度v1、v2与加速度a1、a2的关系正确的是（ ）
A．|v1|<|v2|，方向相同 B．|v1|<|v2|，方向相反
C．|a1|>|a2|，方向相同 D．|a1|>|a2|，方向相反
三、解答题
13．简谐运动是我们研究过的一种典型运动方式．
（1）一个质点做机械振动，如果它的回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，而且方向与位移方向相反，就能判定它是简谐运动．如图所示，将两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧套在光滑的水平杆上，弹簧的两端固定，中间接一质量为m的小球，此时两弹簧均处于原长．现将小球沿杆拉开一段距离后松开，小球以O为平衡位置往复运动．请你据此证明，小球所做的运动是简谐运动．
（2）以上我们是以回复力与偏离平衡位置的位移关系来判断一个运动是否为简谐运动．但其实简谐运动也具有一些其他特征，如简谐运动质点的运动速度v与其偏离平衡位置的位移x之间的关系就都可以表示为，v2=v02-ax，其中v0为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度，a为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数．请你证明，如图中小球的运动也满足上述关系，并说明其关系式中的a与哪些物理量有关．已知弹簧的弹性势能可以表达为kx2，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量．
（3）一质点沿顺时针方向以速度v0做半径为R的匀速圆周运动，如图所示．请结合第（2）问中的信息，分析论证小球在x方向上的分运动是否符合简谐运动这一特征．
14．如图所示，劲度系数为k的弹簧上端固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，求：
(1)小球振动到最低点时的加速度；
(2)弹簧弹性势能的最大值。
15．在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子质量为M，振动的最大速度为v，如图所示，当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上，假设二者间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。
（1）物体和振子一起振动，振幅是多大？振动时周期将比原来变大变小？并说明原因
（2）一起振动时，二者通过平衡位置的速度多大？
（3）要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少是多少？
参考答案：
1．B
【详解】AC．简谐运动振幅保持不变，且简谐运动的过程中能量是守恒的，故AC错误；
BD．0.2s末、0.4s末位移最大，速度为零，动能为零，势能最大，B正确，D错误。
故选B。
2．B
【详解】A．由图可知，质点振动的周期为4s，故频率为
A错误；
B．每个周期质点的路程为4A，可知0～10s内质点的路程是振幅的10倍，故路程为20cm，B正确；
C．在时，质点位于平衡位置，故速度最大，C错误；
D．在和两时刻，质点的位移大小相等，方向相反，D错误。
故选B。
3．B
【详解】平衡后剪断A、B间细线，A将做简谐运动，设弹簧劲度系数为k，在平衡位置有
kx1=mg
在平衡之前的初位置有
kx2=2mg
故振幅为
A=x2-x1=
根据简谐运动的对称性，A运动到最高点时，弹簧恰好处于原长，故此时木箱只受重力和支持力，二力平衡，故支持力等于木箱重力mg，结合牛顿第三定律可知，木箱对地面的压力为mg，B正确，ACD错误。
故选B。
4．B
【详解】由图乙可知，振子做简谐振动的振幅为10cm，其周期T = 4s，t = 0和t = 4s时，振子在负的最大位置，即图甲中的B位置。由于振子做变速运动，故t = 2.5s时，振子的位移应大于5cm。
故选B。
5．A
【详解】A．t=1s时，在负向最大位移处，故速度为零， ，加速度最大，为正，故A正确；
B．t=2s时，振子的速度为正，加速度为零，故B错误；
C．t=3s时，振子的速度为零，加速度负向最大，故C错误；
D．t=4s时，振子的速度为负，加速度为零，故D错误。
故选A。
6．C
【详解】A．k是回复力大小与位移大小的比值，不一定表示弹簧的劲度系数，故A项错误；
B．式中的负号表示回复力方向总是与位移方向相反，故B项错误；
C．式中位移x是相对平衡位置的位移，故C项正确；
D．简谐运动物体位移随时间变化，回复力既随位移变化，也随时间变化，故D项错误。
故选C。
7．B
【详解】A．由于电场力是恒力，则小球完成一次全振动的过程电场力冲量不等于零，所以A错误；
D．小球运动过程中，电场力和弹簧弹力都要做功，则对于弹簧和小球组成的系统，电势能和弹性势能以及动能的总量守恒，所以D错误；
C．小球做简谐振运动，振幅等于偏离平衡位置的最大距离，在平衡位置有
解得
则小球做简谐运动的振幅为，所以C错误；
B．由动力学分析可知，小球到达最右端时，弹簧的形变量为振幅的2倍，则弹簧的形变量为，所以B正确；
故选B。
8．D
【详解】A．振子在平衡位置上下往复运动，速率相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，选项A错误；
B．振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，做正功，选项B错误；
CD．振子运动过程中的回复力由振子所受重力和弹簧弹力的合力提供，且运动过程中机械能守恒，选项C错误，D正确。
故选D。
9．BD
【详解】振子在最大位移处时，位移最大，回复力F=-kx，所以回复力也最大，则加速度最大，速度和动能均为零
故选BD
10．AB
【详解】A．物体A、B保持相对静止，在轻质弹簧的作用下做简谐运动，A正确；
B．对A、B整体由牛顿第二定律
对A由牛顿第二定律
解得
B正确；
CD．在衡位置的过程中，B对A的摩擦力对A做正功，在远离平衡位置的过程中，B对A的摩擦力对A做负功，同理A对B的摩擦力也做功，衡位置时做负功，远离平衡位置时做正功，CD错误。
故选AB。
11．AB
【详解】A．甲乙两振子振动的振幅之比为2:1，根据
可知，甲乙振动的能量之比为4:1，选项A正确；
BC．由振动图像可知，乙的周期是甲周期的2倍，则甲的振动频率是乙的2倍，选项B正确，C错误；
D．根据回复力F=-kx可知，甲乙两弹簧振子所受回复力最大值之比2∶1，选项D错误。
故选AB。
12．AD
【详解】AB．在t1时刻，质点向平衡位置运动，在t2时刻，质点远离平衡位置运动，故速度v1与v2方向相同，由于|x1|>|x2|，所以|v1|<|v2|，故A正确，B错误；
CD．在t1和t2时刻，质点离开平衡位置的位移方向相反，因而回复力方向相反，加速度方向相反，但|x1|>|x2|，t1时刻回复力大于t2时刻回复力，故|a1|>|a2|，故C错误，D正确。
故选AD。
13．（1）证明见解析．（2）a等于两个弹簧的劲度系数的和，初速度的大小与开始时的振幅有关．（3）证明见解析．
【详解】（1）若小球向右偏离的位移为x，选取向右为正方向，由胡克定律可得，小球受到的合外力：F合=（k1+k2）x，由于k1和k2都是常数，所以小球受到的合外力与位移成正比，小球做简谐振动．
（2）小球运动的过程中的机械能包括小球的动能与弹簧的弹性势能，小球运动的过程中系统的机械能守恒，设小球偏离O点的最大位移为A，则通过平衡位置时：
若小球向右偏离的位移为x时的速度为v，则：
即：v2=v02-（k1+k2）x2=v02-ax2
可知其中a等于两个弹簧的劲度系数的和，初速度的大小与开始时的振幅有关．
（3）当质点水平方向的位移为x时，质点速度与x轴之间的夹角设为θ，将质点的速度沿x轴方向与y轴方向分解如图，则：
vy=v0cosθ
而：cosθ=
根据合速度与分速度的关系可知：v02=vx2+vy2
整理可得：vx2=v02-v02=v02-ax2
14．(1)g，方向竖直向上；(2)
【详解】(1)小球做简谐运动，由重力和弹簧的弹力提供回复力，在平衡位置则有
根据题意则有
在最低点，由牛顿第二定律有
解得小球在最低点的加速度大小为
方向竖直向上
(2)系统机械能守恒，小球运动到最低点时弹簧的弹性势能最大，小球从最高点运动到最低点，重力势能全部转化为弹簧的弹性势，则有
15．（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）物体和振子在最大位移处，动能为零，势能最大，这个势能与没放物体前相同，所以弹簧的最大形变是相同的，即振幅还是为A；振子质量增加，弹簧劲度系数不变，由知周期增大。
（2）由于物体m是在最大位移处放在M上的，放上后并没有改变系统的机械能。振动中机械能守恒，经过平衡位置时，弹簧为原长，弹性势能为零，则有
解得
（3）放物体后，假定一起振动，则可以产生最大加速度为
此时摩擦力最大，以m为研究对象，根据牛顿第二定律
又，解得
一、单选题
1．如图为某个弹簧振子做简谐运动的图象，由图象可知（ ）
A．由于在0.1s末振幅为零，所以振子的振动能量为零
B．在0.2s末振子具有最大势能
C．在0.4s末振子具有的能量尚未达到最大值
D．在0.4s末振子的动能最大
2．一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．质点的振动频率是4Hz B．0～10s内质点经过的路程是20cm
C．在时质点的速度为0 D．在和两时刻，质点的位移相同
3．如图所示，在质量为m的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m的A、B两物体，箱子放在水平地面上。平衡后剪断A、B间细线，此后A将做简谐运动。当A运动到最高点时，木箱对地面的压力为（重力加速度大小为g）（ ）
A．0 B．mg C．2mg D．3mg
4．如图甲所示的弹簧振子（以O点为平衡位置在B、C间振动），取水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移的正方向，得到如图乙所示的振动曲线，由曲线所给的信息可知，下列说法正确的是（ ）
A．t = 0时，振子处在O位置
B．振子运动的周期为4s
C．t = 4s时振子对平衡位置的位移为10cm
D．t = 2.5s时振子对平衡位置的位移为5cm
5．某弹簧振子沿x轴的简谐运动图像如图所示，下列描述正确的是（ ）
A．t=1s时，振子的速度为零，加速度为正的最大值
B．t=2s时，振子的速度为负，加速度为正的最大值
C．t=3s时，振子的速度为负的最大值，加速度为零
D．t=4s时，振子的速度为正，加速度为负的最大值
6．对简谐运动的回复力公式F=－kx的理解，正确的是（ ）
A．k只表示弹簧的劲度系数
B．式中的负号表示回复力总是负值
C．位移x是相对平衡位置的位移
D．回复力只随位移变化，不随时间变化
7．如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻弹簧左端固定，右端与质量为m、带电荷量为+q的小球相连，静止在光滑绝缘的水平面上，在施加一个场强为E、方向水平向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动，那么（ ）
A．小球完成一次全振动的过程电场力冲量等于零
B．小球到达最右端时，弹簧的形变量为
C．小球做简谐运动的振幅为
D．运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变
8．关于图中弹簧振子的简谐运动，下列说法中正确的是（ ）
A．振子在振动过程中，速率相同时，弹簧的长度一定相同
B．振子从最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧弹力始终做负功
C．振子在振动过程中的回复力由弹簧的弹力提供
D．振子在振动过程中，系统的机械能守恒
二、多选题
9．做简谐振动的振子在最大位移处时，在下列物理量中，具有最大值的物理量是（ ）
A．动能 B．加速度 C．速度 D．回复力
10．如图所示，物体A置于物体B上，一轻弹簧一端固定，另一端与B相连，在弹性限度范围内，A和B在光滑水平面上往复运动（不计空气阻力），并保持相对静止，则下列说法正确的是（ ）
A．A和B均做简谐运动
B．作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比
C．B对A的静摩擦力对A做功，而A对B的静摩擦力对B不做功
D．B对A的静摩擦力始终对A做正功，而A对B的静摩擦力对B做负功
11．如图所示为两个相同的弹簧振子，但偏离平衡位置的最大距离不同。振动时间图像如下，已知弹簧劲度系数都是k，弹性势能公式为下面的说法中正确的是（ ）
A．甲的振动能量是乙的4倍 B．甲的振动频率是乙的2倍
C．乙的振动周期是甲的倍 D．两弹簧振子所受回复力最大值之比1∶2
12．如图为某一质点的振动图像，由图可知，在t1和t2两时刻|x1|>|x2|，质点速度v1、v2与加速度a1、a2的关系正确的是（ ）
A．|v1|<|v2|，方向相同 B．|v1|<|v2|，方向相反
C．|a1|>|a2|，方向相同 D．|a1|>|a2|，方向相反
三、解答题
13．简谐运动是我们研究过的一种典型运动方式．
（1）一个质点做机械振动，如果它的回复力与偏离平衡位置的位移大小成正比，而且方向与位移方向相反，就能判定它是简谐运动．如图所示，将两个劲度系数分别为k1和k2的轻质弹簧套在光滑的水平杆上，弹簧的两端固定，中间接一质量为m的小球，此时两弹簧均处于原长．现将小球沿杆拉开一段距离后松开，小球以O为平衡位置往复运动．请你据此证明，小球所做的运动是简谐运动．
（2）以上我们是以回复力与偏离平衡位置的位移关系来判断一个运动是否为简谐运动．但其实简谐运动也具有一些其他特征，如简谐运动质点的运动速度v与其偏离平衡位置的位移x之间的关系就都可以表示为，v2=v02-ax，其中v0为振动质点通过平衡位置时的瞬时速度，a为由系统本身和初始条件所决定的不变的常数．请你证明，如图中小球的运动也满足上述关系，并说明其关系式中的a与哪些物理量有关．已知弹簧的弹性势能可以表达为kx2，其中k是弹簧的劲度系数，x是弹簧的形变量．
（3）一质点沿顺时针方向以速度v0做半径为R的匀速圆周运动，如图所示．请结合第（2）问中的信息，分析论证小球在x方向上的分运动是否符合简谐运动这一特征．
14．如图所示，劲度系数为k的弹簧上端固定一质量为m的小球，小球在竖直方向上做简谐运动，当小球振动到最高点时弹簧正好为原长，求：
(1)小球振动到最低点时的加速度；
(2)弹簧弹性势能的最大值。
15．在光滑水平面上有一弹簧振子，弹簧的劲度系数为k，振子质量为M，振动的最大速度为v，如图所示，当振子在最大位移为A的时刻把质量为m的物体轻放其上，假设二者间的最大静摩擦力与滑动摩擦力相等。
（1）物体和振子一起振动，振幅是多大？振动时周期将比原来变大变小？并说明原因
（2）一起振动时，二者通过平衡位置的速度多大？
（3）要保持物体和振子一起振动，二者间动摩擦因数至少是多少？
参考答案：
1．B
【详解】AC．简谐运动振幅保持不变，且简谐运动的过程中能量是守恒的，故AC错误；
BD．0.2s末、0.4s末位移最大，速度为零，动能为零，势能最大，B正确，D错误。
故选B。
2．B
【详解】A．由图可知，质点振动的周期为4s，故频率为
A错误；
B．每个周期质点的路程为4A，可知0～10s内质点的路程是振幅的10倍，故路程为20cm，B正确；
C．在时，质点位于平衡位置，故速度最大，C错误；
D．在和两时刻，质点的位移大小相等，方向相反，D错误。
故选B。
3．B
【详解】平衡后剪断A、B间细线，A将做简谐运动，设弹簧劲度系数为k，在平衡位置有
kx1=mg
在平衡之前的初位置有
kx2=2mg
故振幅为
A=x2-x1=
根据简谐运动的对称性，A运动到最高点时，弹簧恰好处于原长，故此时木箱只受重力和支持力，二力平衡，故支持力等于木箱重力mg，结合牛顿第三定律可知，木箱对地面的压力为mg，B正确，ACD错误。
故选B。
4．B
【详解】由图乙可知，振子做简谐振动的振幅为10cm，其周期T = 4s，t = 0和t = 4s时，振子在负的最大位置，即图甲中的B位置。由于振子做变速运动，故t = 2.5s时，振子的位移应大于5cm。
故选B。
5．A
【详解】A．t=1s时，在负向最大位移处，故速度为零， ，加速度最大，为正，故A正确；
B．t=2s时，振子的速度为正，加速度为零，故B错误；
C．t=3s时，振子的速度为零，加速度负向最大，故C错误；
D．t=4s时，振子的速度为负，加速度为零，故D错误。
故选A。
6．C
【详解】A．k是回复力大小与位移大小的比值，不一定表示弹簧的劲度系数，故A项错误；
B．式中的负号表示回复力方向总是与位移方向相反，故B项错误；
C．式中位移x是相对平衡位置的位移，故C项正确；
D．简谐运动物体位移随时间变化，回复力既随位移变化，也随时间变化，故D项错误。
故选C。
7．B
【详解】A．由于电场力是恒力，则小球完成一次全振动的过程电场力冲量不等于零，所以A错误；
D．小球运动过程中，电场力和弹簧弹力都要做功，则对于弹簧和小球组成的系统，电势能和弹性势能以及动能的总量守恒，所以D错误；
C．小球做简谐振运动，振幅等于偏离平衡位置的最大距离，在平衡位置有
解得
则小球做简谐运动的振幅为，所以C错误；
B．由动力学分析可知，小球到达最右端时，弹簧的形变量为振幅的2倍，则弹簧的形变量为，所以B正确；
故选B。
8．D
【详解】A．振子在平衡位置上下往复运动，速率相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点，这时弹簧长度明显不等，选项A错误；
B．振子由最低点向平衡位置运动的过程中，弹簧对振子施加的力指向平衡位置，做正功，选项B错误；
CD．振子运动过程中的回复力由振子所受重力和弹簧弹力的合力提供，且运动过程中机械能守恒，选项C错误，D正确。
故选D。
9．BD
【详解】振子在最大位移处时，位移最大，回复力F=-kx，所以回复力也最大，则加速度最大，速度和动能均为零
故选BD
10．AB
【详解】A．物体A、B保持相对静止，在轻质弹簧的作用下做简谐运动，A正确；
B．对A、B整体由牛顿第二定律
对A由牛顿第二定律
解得
B正确；
CD．在衡位置的过程中，B对A的摩擦力对A做正功，在远离平衡位置的过程中，B对A的摩擦力对A做负功，同理A对B的摩擦力也做功，衡位置时做负功，远离平衡位置时做正功，CD错误。
故选AB。
11．AB
【详解】A．甲乙两振子振动的振幅之比为2:1，根据
可知，甲乙振动的能量之比为4:1，选项A正确；
BC．由振动图像可知，乙的周期是甲周期的2倍，则甲的振动频率是乙的2倍，选项B正确，C错误；
D．根据回复力F=-kx可知，甲乙两弹簧振子所受回复力最大值之比2∶1，选项D错误。
故选AB。
12．AD
【详解】AB．在t1时刻，质点向平衡位置运动，在t2时刻，质点远离平衡位置运动，故速度v1与v2方向相同，由于|x1|>|x2|，所以|v1|<|v2|，故A正确，B错误；
CD．在t1和t2时刻，质点离开平衡位置的位移方向相反，因而回复力方向相反，加速度方向相反，但|x1|>|x2|，t1时刻回复力大于t2时刻回复力，故|a1|>|a2|，故C错误，D正确。
故选AD。
13．（1）证明见解析．（2）a等于两个弹簧的劲度系数的和，初速度的大小与开始时的振幅有关．（3）证明见解析．
【详解】（1）若小球向右偏离的位移为x，选取向右为正方向，由胡克定律可得，小球受到的合外力：F合=（k1+k2）x，由于k1和k2都是常数，所以小球受到的合外力与位移成正比，小球做简谐振动．
（2）小球运动的过程中的机械能包括小球的动能与弹簧的弹性势能，小球运动的过程中系统的机械能守恒，设小球偏离O点的最大位移为A，则通过平衡位置时：
若小球向右偏离的位移为x时的速度为v，则：
即：v2=v02-（k1+k2）x2=v02-ax2
可知其中a等于两个弹簧的劲度系数的和，初速度的大小与开始时的振幅有关．
（3）当质点水平方向的位移为x时，质点速度与x轴之间的夹角设为θ，将质点的速度沿x轴方向与y轴方向分解如图，则：
vy=v0cosθ
而：cosθ=
根据合速度与分速度的关系可知：v02=vx2+vy2
整理可得：vx2=v02-v02=v02-ax2
14．(1)g，方向竖直向上；(2)
【详解】(1)小球做简谐运动，由重力和弹簧的弹力提供回复力，在平衡位置则有
根据题意则有
在最低点，由牛顿第二定律有
解得小球在最低点的加速度大小为
方向竖直向上
(2)系统机械能守恒，小球运动到最低点时弹簧的弹性势能最大，小球从最高点运动到最低点，重力势能全部转化为弹簧的弹性势，则有
15．（1）见解析；（2）；（3）
【详解】（1）物体和振子在最大位移处，动能为零，势能最大，这个势能与没放物体前相同，所以弹簧的最大形变是相同的，即振幅还是为A；振子质量增加，弹簧劲度系数不变，由知周期增大。
（2）由于物体m是在最大位移处放在M上的，放上后并没有改变系统的机械能。振动中机械能守恒，经过平衡位置时，弹簧为原长，弹性势能为零，则有
解得
（3）放物体后，假定一起振动，则可以产生最大加速度为
此时摩擦力最大，以m为研究对象，根据牛顿第二定律
又，解得