2021-2022学年福建省八年级下学期人教版数学第十七章 勾股定理练习题 期末试题选编（含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年福建省八年级下学期人教版数学第十七章 勾股定理练习题 期末试题选编（含解析） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 913.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-18 00:00:00 | ||
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文档简介
第十七章：勾股定理
一、单选题
1．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
2．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，边长为1的正方形网格图中，点，都在格点上，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·福建福州·八年级统考期末）在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D、E在格点上，长度是的线段是（ ）
A．AB B．AC C．AD D．AE
4．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题．“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”秋于的绳索始终拉的很直，则绳索长为（ ）
A．15.5尺 B．14.5尺 C．13.5尺 D．12.5尺
5．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝1，BC＝2，AC＝ B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A﹣∠B＝∠C
7．（2022春·福建福州·八年级统考期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．7，8，9
8．（2022春·福建福州·八年级统考期末）如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）在操场上，小明沿正东方向走后，沿第二个方向又走了，再沿第三个方向走回到原地，小明走的第二个方向是（ ）
A．正西方向 B．东北方向 C．正南方向或正北方向 D．东南方向
二、填空题
10．（2022春·福建漳州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，边AB的垂直平分线DE分别与AC、AB相交于点D、E，则△BCD的周长为______．
11．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，AB＝AC＝3，ADBC，CD＝5，∠ABD＝2∠DBC，则BD＝________．
12．（2022春·福建厦门·八年级期末）中华民族有一种折纸玩具叫“东南西北”，此玩具制作方法为：用一张正方形纸片按图1步骤折叠得到图2所示折纸，然后在外侧四面标上东、南、西、北，内侧写上有趣的游戏任务．现将图1中的折纸④放大后用图3表示，此时正方形边长为10，把它沿直线l对折，将点重合后记为点A，点重合后记为点B，得到图4、连接，取中点M，如图5所示，若，则点O与点M之间的距离为_________，点C与点D之间的距离为_________．
13．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____．
14．（2022春·福建福州·八年级统考期末）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_____．
15．（2022春·福建福州·八年级统考期末）如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，则的值为_________．
16．（2022春·福建南平·八年级统考期末）如图，在数轴上点A表示的实数是______．
17．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．
18．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为_______cm．
19．（2022春·福建厦门·八年级期末）如图是一个零件的示意图，测量，，，，若，则_________．
三、解答题
20．（2022春·福建厦门·八年级期末）已知：如图，在中，，D是延长线上一点且，求线段和的长．
21．（2022春·福建宁德·八年级统考期末）如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，．
（1）求的大小；
（2）连接DE，若BD=3，CD=5，求AD的长．
22．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
23．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）如图，在港口A的正东3海里有一艘搜救艇B，正南4海里有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C．
(1)若B与C的距离为12海里，D与C的距离为13海里，求点D到直线BC的距离；
(2)当轮船C航行到点D的正东方向时，恰好在点B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？
24．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，，且．求：
(1)的度数；
(2)四边形的面积（结果保留根号）．
25．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，，求BN的长．
26．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，四边形中，，，，，求的度数．
参考答案：
1．A
【分析】先根据勾股定理求出OA的长，由于OB=OA，故估算出OA的长，再根据点B在x轴的正半轴上即可得出结论．
【详解】解：∵点A坐标为（2，3），
∴OA==，
∵点A、B均在以点O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴OA=OB=，
∵3＜＜4，点B在x轴的正半轴上，
∴点B的横坐标介于3和4之间．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OA的长是解答此题的关键．
2．B
【分析】利用勾股定理求出AB，再减去BC可得AC的长．
【详解】解：由图可知：
AB==，
∵BC=，
∴AC=AB-BC==，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求出线段AB的长．
3．B
【分析】利用勾股定理求得各线段的长，即可求解．
【详解】解：AB=，
AC=，
AD=，
AE=，
综上，只有B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，正确计算是解题的关键．
4．B
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，作BE垂直于地面，延长OA交地面于点D，根据题意可得CD=BE=5尺，BC=10尺，设绳索长为x尺，进而可得OA=OB=x，OC=x+1-5=x-4，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，作BE垂直于地面，延长OA交地面于点D，如图所示：
由题意知CD=BE=5尺，BC=10尺，AD=1尺，
设绳索长为x尺，
∴OA=OB=x，OC=x+1-5=x-4，
∴在Rt△OCB中，，
即，
解得：，
∴绳索长为14.5尺；
故选B．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．D
【分析】根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程．
【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺
∴图中直角三角形的斜边长尺
根据勾股定理建立方程得：
故选：D．
【点睛】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题，熟记勾股定理，理清题目中的条件和数量关系是解决本题的关键．
6．C
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：A、∵12＋（）2＝22，∴△ABC是直角三角形；
B、∵AB2 BC2＝AC2，
∴AB2＝BC2＋AC2，即△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形；
D、∵∠A ∠B＝∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
7．B
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、因为12+22≠32，故不是勾股数；故此选项错误；
B、因为32+42=52，故是勾股数．故此选项正确；
C、因为42+52≠62，故不是勾股数；故此选项错误；
D、因为72+82≠92，故不是勾股数．故此选项错误；
故选B．
8．B
【分析】连接AD，BE，根据勾股定理逆定理可得，，从而得到∠ACD=∠CAD=45°，∠BCE=90°，即可求解．
【详解】解：如图，连接AD，BE，
根据题意得：，
，
∴AD=CD，，，
∴∠ADC=90°，∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意作出图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可确定答案．
【详解】解：根据题意作图如下，
，
∵，
∴或，
∴∠ABC=∠ABD=90°，
故小明向东走80m后是向正南方向或正北方向走的．
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理逆定理的应用，解题的关键是根据题意作出图形并进行分析判断．
10．7
【分析】利用勾股定理求出BC，证明DA=DB，即可解决问题．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=4，AB=5，
∴BC= =3，
由作图可知，DE垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴△BCD的周长=BC+CD+DB=BC+CD+DA=BC+AC=3+4=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
11．
【分析】如图，延长BA至F，使AF=AB，过点F作FE⊥BD于点E，连接AE，由直角三角形的性质得出AE=DE=3，证明△FAD≌△CAD（SAS），由全等三角形的性质得出DF=CD=5，根据勾股定理求出EF及BE的长，则可得出答案．
【详解】解：如图，延长BA至F，使AF=AB，过点F作FE⊥BD于点E，连接AE，
设∠DBC=α，
∵FE⊥BD，
∴∠FEB=90°，
又∵AB=AF=3，
∴AB=AE=AF=3，
∴∠ABE=∠AEB=2α，
又∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=α，
∴∠EAD=∠BEA-∠BDA=α，
∴AE=DE=3，
∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠ABC=∠ABD+∠DBC=3α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠CAD=3α，
∴∠FAD=∠CAD，
∵AD=AD，AF=AC，
∴△FAD≌△CAD（SAS），
∴DF=CD=5，
∴EF2=DF2-DE2=52-32=16，
在Rt△BEF中，BE===，
∴BD=BE+DE=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
12．
【分析】根据M为AB的中点，AD=BD，得出DM⊥AB，根据勾股定理得出DM的长，根据折叠得出DM⊥OD，根据勾股定理即可算出OM的长；
根据折叠可知，点C、D、O、M在同一平面内，且OC=OD=5，，连接OM交CD于点P，根据垂直平分线的判定定理，得出OM垂直平分CD，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可求出结果．
【详解】解：将图4简化成平面图形，如图所示：
∵M为AB的中点，
∴，
∵AD=BD，
∴DM⊥AB，
∵，
∴在Rt△AMD中，，
根据折叠可知，DM⊥OD，如图所示：
∵，，
，
即点O与点M之间的距离为；
图5中根据折叠可知，点C、D、O、M在同一平面内，且OC=OD=5，，连接OM交CD于点P，如图所示：
∵OC=OD，MC=MD，
∴OM垂直平分CD，
∴CP=DP，
∵，
∴设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
即点C与点D之间的距离为，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了折叠，勾股定理的应用，垂直平分线的判定，根据题意画出平面图形，熟练应用勾股定理，是解决问题的关键．
13．16
【分析】根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案．
【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
14．
【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【详解】解：连接AB，AD，如图所示：
∵AD＝AB＝，
∴DE＝，
∴CD＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，由勾股定理求出AB、DE是解题的关键．
15．8
【分析】根据图形表示出大，小正方形的面积：a2+b2=34，（b-a）2=4，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．
【详解】解：∵大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，
∴a2+b2=34，（b-a）2=4，
∴4×ab=34-4=30，
∴2ab=30，
∴（a+b）2=（b-a）2+4ab=4+60=64，
∴a+b=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键．
16．
【分析】如图，利用勾股定理求出，即可得解．
【详解】解：如图，，
∴，
∴，
∴点表示的实数是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查实数与数轴．熟练掌握实数和数轴上的点一一对应，是解题的关键．本题还考查了勾股定理．
17．10
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离m．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
18．2
【分析】首先根据勾股定理求得筷子在圆柱里面的最大长度，即cm，由此可求出筷子露在杯子外面的长度至少为多少.
【详解】解：如图所示，筷子、圆柱的高、圆柱的直径正好构成直角三角形，
∵圆柱杯子的底面半径为3cm，高为8cm，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm，
故答案为2．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的最大长度是解决问题的关键．
19．90°
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长，然后在△ACD中，根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD是直角三角形，进而求出∠ACD的度数．
【详解】∵∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，
∴在Rt△ABC中，
由勾股定理得：cm，
在△ACD中，
∵AC2+CD2=52+122=169=132=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
即：∠ACD=90°．
故答案为：90°．
【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
20．
【分析】如图，过作于先求解 再证明 再利用勾股定理求解 利用线段的和差求解 从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于
∵，
∴
而
【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
21．（1）∠ADC=23°；（2）AD=4．
【分析】（1）由旋转的性质可得AB=AC，∠ADC=∠E，∠CAB=∠DAE=60°，由三角形的内角和定理可求解；
（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE=60°，AD=DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD=BE=5，由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠ADC=∠E，∠CAB=∠DAE=60°，
∵∠BFD=97°=∠AFE，
∴∠E=180°-97°-60°=23°，
∴∠ADC=∠E=23°；
（2）如图，连接DE，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE=60°，AD=DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD=BE=5，
∵∠BDC=7°，∠ADC=23°，∠ADE=60°，
∴∠BDE=90°，
∴，
∴AD=DE=4．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
22．（1）12米；（2）7米
【分析】（1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解；
（2）由题意得CO= 5米，然后根据勾股定理可得求解．
【详解】解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，
在Rt，由勾股定理得：
AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，
解得AO=12米，
答：这个梯子的顶端距地面有12米高；
（2）由题意得，AC=7米，
由（1）得AO=12米，
∴CO=AO-AC=12-7=5米，
在Rt，由勾股定理得：
OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，
解得OD=12米
∴BD=OD-OB=12-5=7米，
答：梯子的底端在水平方向滑动了7米．
【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．(1)点D到直线BC的距离为BD的长度，即5海里
(2)派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出事点
【分析】（1）先由勾股定理可得BD=5，再由勾股定理逆定理可得△BDC是直角三角形，知∠CBD=90°，则点D到直线BC的距离是5海里；
（2）正确画图，计算CD和BC的长，哪条路程小，就用哪个搜救艇．
（1）
解∶如图，连接BD，
依题意可得，AD⊥AB，
根据勾股定理可得∶BD＝．.
∵BD＝5，BC＝12，DC＝13，
根据勾股定理的逆定理可得∶BD2＋BC2＝CD2，
∴BD⊥BC，.
∴点D到直线BC的距离为BD的长度，即5海里．
（2）
解：如图，过点B作BE⊥CD于点E．
依题意可得，四边形ABED是矩形，故BE＝4，DE＝3．
∵点C在点B的东南方向，
∴∠CBE＝45°，
又∵BE⊥CD，∠BEC＝90°，
∴∠BCE＝45°，
∴BE＝EC＝4，
∴DC＝DE＋EC＝7．
∵BE⊥CD，根据勾股定理可得∶BC＝．
∵≈1.414，
∴4≈5.656＜7．
当两艘搜救艇速度一样时，派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出事点．
【点睛】本题考查的是勾股定理及方向角，掌握勾股定理、方向角的概念是解题的关键．
24．(1)
(2)
【详解】解：（1）∵，且，
∴，，
而，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴；
（2）∵，
而，
，
∴．
25．(1)点M、N是线段AB的勾股分割点，理由见解析；
(2)的长为或
【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可判断，
（2）设BN=x，则MN=12-AM-BN=7-x，分两种情形①当MN为最大线段时，依题意；②当BN为最大线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题．
（1）
点M、N是线段AB的勾股分割点，理由如下，
，，
，
AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）
设BN=x，则MN=12-AM-BN=7-x，
①当MN为最大线段时，依题意；
即，
解得，
②当BN为最大线段时，依题意，
即，
解得．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不要漏解．
26．
【分析】由于，，利用勾股定理可求得AC，并可求，而，，易得，可证是直角三角形，于是有，从而求出结果．
【详解】解：连接AC，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要是勾股定理及其逆定理的应用，作辅助线构造直角三角形是必要一步．
一、单选题
1．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（2，3），以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴的正半轴于B点，则B点的横坐标介于（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
2．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，边长为1的正方形网格图中，点，都在格点上，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·福建福州·八年级统考期末）在边长为1的小正方形组成的网格中，A、B、C、D、E在格点上，长度是的线段是（ ）
A．AB B．AC C．AD D．AE
4．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题．“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”秋于的绳索始终拉的很直，则绳索长为（ ）
A．15.5尺 B．14.5尺 C．13.5尺 D．12.5尺
5．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝1，BC＝2，AC＝ B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A﹣∠B＝∠C
7．（2022春·福建福州·八年级统考期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．7，8，9
8．（2022春·福建福州·八年级统考期末）如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）在操场上，小明沿正东方向走后，沿第二个方向又走了，再沿第三个方向走回到原地，小明走的第二个方向是（ ）
A．正西方向 B．东北方向 C．正南方向或正北方向 D．东南方向
二、填空题
10．（2022春·福建漳州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，边AB的垂直平分线DE分别与AC、AB相交于点D、E，则△BCD的周长为______．
11．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，AB＝AC＝3，ADBC，CD＝5，∠ABD＝2∠DBC，则BD＝________．
12．（2022春·福建厦门·八年级期末）中华民族有一种折纸玩具叫“东南西北”，此玩具制作方法为：用一张正方形纸片按图1步骤折叠得到图2所示折纸，然后在外侧四面标上东、南、西、北，内侧写上有趣的游戏任务．现将图1中的折纸④放大后用图3表示，此时正方形边长为10，把它沿直线l对折，将点重合后记为点A，点重合后记为点B，得到图4、连接，取中点M，如图5所示，若，则点O与点M之间的距离为_________，点C与点D之间的距离为_________．
13．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）图1中的直角三角形斜边长为4，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为，则的值为_____．
14．（2022春·福建福州·八年级统考期末）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为_____．
15．（2022春·福建福州·八年级统考期末）如图，“赵爽弦图”由4个完全一样的直角三角形所围成，在中，，，，若图中大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，则的值为_________．
16．（2022春·福建南平·八年级统考期末）如图，在数轴上点A表示的实数是______．
17．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞______m．
18．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h至少为_______cm．
19．（2022春·福建厦门·八年级期末）如图是一个零件的示意图，测量，，，，若，则_________．
三、解答题
20．（2022春·福建厦门·八年级期末）已知：如图，在中，，D是延长线上一点且，求线段和的长．
21．（2022春·福建宁德·八年级统考期末）如图，已知△ABC是等边三角形，在△ABC外有一点D，连接AD，BD，CD，将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，AD与BE交于点F，．
（1）求的大小；
（2）连接DE，若BD=3，CD=5，求AD的长．
22．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）一架梯子长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米．
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了7米到C，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
23．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）如图，在港口A的正东3海里有一艘搜救艇B，正南4海里有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C．
(1)若B与C的距离为12海里，D与C的距离为13海里，求点D到直线BC的距离；
(2)当轮船C航行到点D的正东方向时，恰好在点B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇速度一样，救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援能更快到达轮船出事点？
24．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，，且．求：
(1)的度数；
(2)四边形的面积（结果保留根号）．
25．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，，求BN的长．
26．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，四边形中，，，，，求的度数．
参考答案：
1．A
【分析】先根据勾股定理求出OA的长，由于OB=OA，故估算出OA的长，再根据点B在x轴的正半轴上即可得出结论．
【详解】解：∵点A坐标为（2，3），
∴OA==，
∵点A、B均在以点O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴OA=OB=，
∵3＜＜4，点B在x轴的正半轴上，
∴点B的横坐标介于3和4之间．
故选：A．
【点睛】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OA的长是解答此题的关键．
2．B
【分析】利用勾股定理求出AB，再减去BC可得AC的长．
【详解】解：由图可知：
AB==，
∵BC=，
∴AC=AB-BC==，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的加减，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求出线段AB的长．
3．B
【分析】利用勾股定理求得各线段的长，即可求解．
【详解】解：AB=，
AC=，
AD=，
AE=，
综上，只有B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，正确计算是解题的关键．
4．B
【分析】过点B作BC⊥OA于点C，作BE垂直于地面，延长OA交地面于点D，根据题意可得CD=BE=5尺，BC=10尺，设绳索长为x尺，进而可得OA=OB=x，OC=x+1-5=x-4，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，作BE垂直于地面，延长OA交地面于点D，如图所示：
由题意知CD=BE=5尺，BC=10尺，AD=1尺，
设绳索长为x尺，
∴OA=OB=x，OC=x+1-5=x-4，
∴在Rt△OCB中，，
即，
解得：，
∴绳索长为14.5尺；
故选B．
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5．D
【分析】根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程．
【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺
∴图中直角三角形的斜边长尺
根据勾股定理建立方程得：
故选：D．
【点睛】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题，熟记勾股定理，理清题目中的条件和数量关系是解决本题的关键．
6．C
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理逐个判断即可．
【详解】解：A、∵12＋（）2＝22，∴△ABC是直角三角形；
B、∵AB2 BC2＝AC2，
∴AB2＝BC2＋AC2，即△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，即△ABC不是直角三角形；
D、∵∠A ∠B＝∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
7．B
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、因为12+22≠32，故不是勾股数；故此选项错误；
B、因为32+42=52，故是勾股数．故此选项正确；
C、因为42+52≠62，故不是勾股数；故此选项错误；
D、因为72+82≠92，故不是勾股数．故此选项错误；
故选B．
8．B
【分析】连接AD，BE，根据勾股定理逆定理可得，，从而得到∠ACD=∠CAD=45°，∠BCE=90°，即可求解．
【详解】解：如图，连接AD，BE，
根据题意得：，
，
∴AD=CD，，，
∴∠ADC=90°，∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
9．C
【分析】根据题意作出图形，利用勾股定理的逆定理判定直角三角形即可确定答案．
【详解】解：根据题意作图如下，
，
∵，
∴或，
∴∠ABC=∠ABD=90°，
故小明向东走80m后是向正南方向或正北方向走的．
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理逆定理的应用，解题的关键是根据题意作出图形并进行分析判断．
10．7
【分析】利用勾股定理求出BC，证明DA=DB，即可解决问题．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=4，AB=5，
∴BC= =3，
由作图可知，DE垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴△BCD的周长=BC+CD+DB=BC+CD+DA=BC+AC=3+4=7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．注意：线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
11．
【分析】如图，延长BA至F，使AF=AB，过点F作FE⊥BD于点E，连接AE，由直角三角形的性质得出AE=DE=3，证明△FAD≌△CAD（SAS），由全等三角形的性质得出DF=CD=5，根据勾股定理求出EF及BE的长，则可得出答案．
【详解】解：如图，延长BA至F，使AF=AB，过点F作FE⊥BD于点E，连接AE，
设∠DBC=α，
∵FE⊥BD，
∴∠FEB=90°，
又∵AB=AF=3，
∴AB=AE=AF=3，
∴∠ABE=∠AEB=2α，
又∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=α，
∴∠EAD=∠BEA-∠BDA=α，
∴AE=DE=3，
∵AD∥BC，
∴∠FAD=∠ABC=∠ABD+∠DBC=3α，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠CAD=3α，
∴∠FAD=∠CAD，
∵AD=AD，AF=AC，
∴△FAD≌△CAD（SAS），
∴DF=CD=5，
∴EF2=DF2-DE2=52-32=16，
在Rt△BEF中，BE===，
∴BD=BE+DE=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
12．
【分析】根据M为AB的中点，AD=BD，得出DM⊥AB，根据勾股定理得出DM的长，根据折叠得出DM⊥OD，根据勾股定理即可算出OM的长；
根据折叠可知，点C、D、O、M在同一平面内，且OC=OD=5，，连接OM交CD于点P，根据垂直平分线的判定定理，得出OM垂直平分CD，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，即可求出结果．
【详解】解：将图4简化成平面图形，如图所示：
∵M为AB的中点，
∴，
∵AD=BD，
∴DM⊥AB，
∵，
∴在Rt△AMD中，，
根据折叠可知，DM⊥OD，如图所示：
∵，，
，
即点O与点M之间的距离为；
图5中根据折叠可知，点C、D、O、M在同一平面内，且OC=OD=5，，连接OM交CD于点P，如图所示：
∵OC=OD，MC=MD，
∴OM垂直平分CD，
∴CP=DP，
∵，
∴设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴，
∴，
即点C与点D之间的距离为，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了折叠，勾股定理的应用，垂直平分线的判定，根据题意画出平面图形，熟练应用勾股定理，是解决问题的关键．
13．16
【分析】根据题意设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，根据勾股定理可得，根据图形面积可得，即可求得答案．
【详解】解：设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
14．
【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的长．
【详解】解：连接AB，AD，如图所示：
∵AD＝AB＝，
∴DE＝，
∴CD＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，由勾股定理求出AB、DE是解题的关键．
15．8
【分析】根据图形表示出大，小正方形的面积：a2+b2=34，（b-a）2=4，再根据四个直角三角形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求出2ab，然后利用完全平方公式整理即可得解．
【详解】解：∵大正方形的面积为34，小正方形的面积为4，
∴a2+b2=34，（b-a）2=4，
∴4×ab=34-4=30，
∴2ab=30，
∴（a+b）2=（b-a）2+4ab=4+60=64，
∴a+b=8．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了勾股定理的证明，完全平方公式的应用，仔细观察图形利用小正方形的面积和直角三角形的面积得到两个等式是解题的关键．
16．
【分析】如图，利用勾股定理求出，即可得解．
【详解】解：如图，，
∴，
∴，
∴点表示的实数是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查实数与数轴．熟练掌握实数和数轴上的点一一对应，是解题的关键．本题还考查了勾股定理．
17．10
【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．
【详解】两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m
根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离m．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．
18．2
【分析】首先根据勾股定理求得筷子在圆柱里面的最大长度，即cm，由此可求出筷子露在杯子外面的长度至少为多少.
【详解】解：如图所示，筷子、圆柱的高、圆柱的直径正好构成直角三角形，
∵圆柱杯子的底面半径为3cm，高为8cm，
∴筷子在圆柱里面的最大长度= cm，
∴筷子露在杯子外面的长度至少为12－10=2cm，
故答案为2．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的最大长度是解决问题的关键．
19．90°
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长，然后在△ACD中，根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD是直角三角形，进而求出∠ACD的度数．
【详解】∵∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，
∴在Rt△ABC中，
由勾股定理得：cm，
在△ACD中，
∵AC2+CD2=52+122=169=132=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
即：∠ACD=90°．
故答案为：90°．
【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
20．
【分析】如图，过作于先求解 再证明 再利用勾股定理求解 利用线段的和差求解 从而可得答案．
【详解】解：如图，过作于
∵，
∴
而
【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
21．（1）∠ADC=23°；（2）AD=4．
【分析】（1）由旋转的性质可得AB=AC，∠ADC=∠E，∠CAB=∠DAE=60°，由三角形的内角和定理可求解；
（2）连接DE，可证△AED是等边三角形，可得∠ADE=60°，AD=DE，由旋转的性质可得△ACD≌△ABE，可得CD=BE=5，由勾股定理可求解．
【详解】解：（1）∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，△ABC为等边三角形
∴AB=AC，∠ADC=∠E，∠CAB=∠DAE=60°，
∵∠BFD=97°=∠AFE，
∴∠E=180°-97°-60°=23°，
∴∠ADC=∠E=23°；
（2）如图，连接DE，
∵AD=AE，∠DAE=60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADE=60°，AD=DE，
∵将△ACD绕点A按顺时针方向旋转得到△ABE，
∴△ACD≌△ABE，
∴CD=BE=5，
∵∠BDC=7°，∠ADC=23°，∠ADE=60°，
∴∠BDE=90°，
∴，
∴AD=DE=4．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．
22．（1）12米；（2）7米
【分析】（1）由题意易得AB=CD=13米，OB=5米，然后根据勾股定理可求解；
（2）由题意得CO= 5米，然后根据勾股定理可得求解．
【详解】解：（1）由题意得，AB=CD=13米，OB=5米，
在Rt，由勾股定理得：
AO2=AB2-OB2=132-52=169-25=144，
解得AO=12米，
答：这个梯子的顶端距地面有12米高；
（2）由题意得，AC=7米，
由（1）得AO=12米，
∴CO=AO-AC=12-7=5米，
在Rt，由勾股定理得：
OD2=CD2-CO2=132-52=169-25=144，
解得OD=12米
∴BD=OD-OB=12-5=7米，
答：梯子的底端在水平方向滑动了7米．
【点睛】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
23．(1)点D到直线BC的距离为BD的长度，即5海里
(2)派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出事点
【分析】（1）先由勾股定理可得BD=5，再由勾股定理逆定理可得△BDC是直角三角形，知∠CBD=90°，则点D到直线BC的距离是5海里；
（2）正确画图，计算CD和BC的长，哪条路程小，就用哪个搜救艇．
（1）
解∶如图，连接BD，
依题意可得，AD⊥AB，
根据勾股定理可得∶BD＝．.
∵BD＝5，BC＝12，DC＝13，
根据勾股定理的逆定理可得∶BD2＋BC2＝CD2，
∴BD⊥BC，.
∴点D到直线BC的距离为BD的长度，即5海里．
（2）
解：如图，过点B作BE⊥CD于点E．
依题意可得，四边形ABED是矩形，故BE＝4，DE＝3．
∵点C在点B的东南方向，
∴∠CBE＝45°，
又∵BE⊥CD，∠BEC＝90°，
∴∠BCE＝45°，
∴BE＝EC＝4，
∴DC＝DE＋EC＝7．
∵BE⊥CD，根据勾股定理可得∶BC＝．
∵≈1.414，
∴4≈5.656＜7．
当两艘搜救艇速度一样时，派遣轮船B前往救援能更快到达轮船出事点．
【点睛】本题考查的是勾股定理及方向角，掌握勾股定理、方向角的概念是解题的关键．
24．(1)
(2)
【详解】解：（1）∵，且，
∴，，
而，，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴；
（2）∵，
而，
，
∴．
25．(1)点M、N是线段AB的勾股分割点，理由见解析；
(2)的长为或
【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可判断，
（2）设BN=x，则MN=12-AM-BN=7-x，分两种情形①当MN为最大线段时，依题意；②当BN为最大线段时，依题意，分别列出方程即可解决问题．
（1）
点M、N是线段AB的勾股分割点，理由如下，
，，
，
AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）
设BN=x，则MN=12-AM-BN=7-x，
①当MN为最大线段时，依题意；
即，
解得，
②当BN为最大线段时，依题意，
即，
解得．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不要漏解．
26．
【分析】由于，，利用勾股定理可求得AC，并可求，而，，易得，可证是直角三角形，于是有，从而求出结果．
【详解】解：连接AC，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要是勾股定理及其逆定理的应用，作辅助线构造直角三角形是必要一步．