2021-2022学年福建省八年级下学期人教版数学第十八章 平行四边形练习题期末试题选编（含解析）

第十八章：平行四边形
一、单选题
1．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（　 　）
A．①，② B．①，④ C．③，④ D．②，③
2．（2022春·福建宁德·八年级统考期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，E是AB延长线上一点，若∠EBC=50°，则∠D的度数为（ ）
A．50° B．100° C．130° D．150°
3．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）下列给出的条件能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．AB//CD， B．，
C．， D．，
4．（2022春·福建福州·八年级统考期末）下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边平行 B．对角线互相平分
C．一组对边相等 D．对角线互相垂直
5．（2022春·福建福州·八年级统考期末）若顺次连接平行四边形各边中点所得四边形必定是（ ）
A．矩形 B．平行四边形 C．正方形 D．菱形
6．（2022春·福建南平·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，□AOBC的顶点B在x轴上，OA=2，∠AOB =60°， OP平分∠AOB交AC边于点P，则点P的坐标是是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，四边形中，ADBC，，，．若点是线段的中点，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
8．（2022春·福建福州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，E，F分别为AC，BC中点，若AB＝6，BC＝7，AC＝8，则EF＝（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
9．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）如图，在中，D，E分别是的中点，点F在延长线上，添加一个条件使四边形为平行四边形，则这个条件是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·福建福州·八年级统考期末）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（　　）
A．测量两组对边是否相等
B．测量对角线是否相等
C．测量对角线是否互相平分
D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等
11．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022春·福建福州·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．20
13．（2022春·福建南平·八年级统考期末）如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（ ）
A．30° B．20° C．15° D．10°
二、填空题
14．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝_____cm．
15．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论：
①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有____．（写出所有正确结论的序号）
16．（2022春·福建漳州·八年级统考期末）在四边形中，现给出下列结论：
①若，，则四边形是平行四边形；
②若，，则四边形是平行四边形；
③若，，则四边形是平行四边形；
④若，，则四边形是平行四边形．
其中正确的结论是____________．（写出所有正确结论的序号）
17．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠D=2∠B，若AD=3，AB=5，则CD=______．
18．（2022春·福建三明·八年级统考期末）如图，A，B两处被池塘隔开，为了测量A，B两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接AC，BC，并分别取线段AC，BC的中点E，F，测得，则______m．
19．（2022春·福建福州·八年级统考期末）菱形两条对角线长为8cm和6cm，则菱形面积为_______cm2．
20．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）如图，四边形是菱形，，，于点，则________．
三、解答题
21．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE=CF．
22．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，BD是的对角线，点E、F在BD上，．求证：．
23．（2022春·福建福州·八年级统考期末）如图，C为线段AB外一点．
(1)尺规作图：求作 ABCD；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）条件下，AB，CD的中点分别为M，N．求证：直线MN，AC，BD相交于同一点．
24．（2022春·福建漳州·八年级统考期末）如图，在中，点E F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：∠ABE＝∠CDF．
25．（2022春·福建福州·八年级统考期末）已知：如图，在平行四边形ABDC中，点E、F在AD上，且AE=DF，
求证：四边形BECF是平行四边形．
26．（2022春·福建厦门·八年级期末）如图1，四边形中，AB//DC，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，过点D作的垂线，垂足为E，过点B作的垂线，垂足为F，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，在线段上取一点P，连接，交于T若，求的长．
27．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，连接BD，将绕点A逆时针旋转90°得，其中D、B的对应点分别是P、E，连接CP．
(1)若，求证：四边形PBDC为平行四边形；
(2)延长DB交PE于F，连接FA．
①若，，求FB的长；
②求证：．
28．（2022春·福建漳州·八年级统考期末）【性质探究】
（1）如图1，在△ABC中，点D E分别是边AB AC的中点，连接DE．
求证：，．
【类比应用】
（2）如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接CD BE，点F为BE的中点，连接AF，若AF＝3，求CD的长．
29．（2022春·福建福州·八年级统考期末）已知：如图，点E，F分别在的AB，DC边上，且，连接DE，BF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
30．（2022春·福建厦门·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝4．
(1)求作直线AE，使得AEBC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)D是直线AE上一点，AC与BD交于点O，且OB＝OD，求四边形ABCD的面积．
31．（2022春·福建龙岩·八年级统考期末）已知：如图，平行四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，CG的延长线交BA的延长线于点F，连接FD．
（1）求证：AB=AF；
（2）若AG=AB，∠BCD=120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
32．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，在 ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF，求证：四边形AECF是菱形．
33．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）已知正方形ABCD的边长等于4，点E为边AD上一动点，连接CE，以CE为边长作正方形CEFG（点D、F在CE所在直线的同侧），H为CD中点，连接FH．
(1)如图1，当点E为AD中点时，连接BE，BH，求证：四边形BEFH为菱形；
(2)如图2，连接EH，若，求的面积；
(3)在点E的运动过程中，求AF的最小值．
34．（2022春·福建三明·八年级统考期末）已知，如图①，在中，，，AC的垂直平分线分别交AD，AC，BC于点E，O，F，连接AF，CE．
(1)求证：；
(2)如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点P自停止，点Q自停止．在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当点P运动到FB上，点Q运动到DE上，且四边形APCQ是平行四边形时，求t的值；
②设点P，Q的运动路程分别为a，b，当四边形APCQ是平行四边形时，求a与b满足的数量关系式．
35．（2022春·福建福州·八年级统考期末）如图，正方形，点E，F是对角线上的两点，，连接，，和关于直线对称．点G在上，连接．
(1)求的度数；
(2)如备用图，延长交于点H．连接
①求证：四边形是菱形；
②求的值．
36．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，已知正方形ABCD中，，CE与DF的交点为O．求证：．
参考答案：
1．D
【分析】确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【详解】只有②③两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带②③两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选D．
【点睛】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了，属于中考常考题型．
2．C
【分析】根据平行四边形的性质，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A=∠EBC=50°，∠A+∠D=180°，
∴∠D=130°．
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
3．C
【分析】由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、由ABCD，AD=BC，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、由∠A=∠B，∠C=∠D，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，故选项C符合题意；
D、由AB=AD，CB=CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
4．B
【分析】根据平行四边形的判定定理（①两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③对角线互相平分的四边形是平行四边形，④有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形）进行判断即可．
【详解】解：A、错误．一组对边平行无法判断四边形是平行四边形；
B、正确．对角线互相平分的四边形是平行四边形；
C、错误．一组对角相等无法判断四边形是平行四边形；
D、错误．对角线互相平分的四边形才是平行四边形，而对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形
【点睛】本题考查了对平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
5．B
【分析】作出图形，根据三角形的中位线定理可得EF=GH=AC，FG=EH=BD，即可得解．
【详解】解：如图，连接AC、BD，
∵E、F、G、H分别是的AB、BC、CD、AD边上的中点，
∴EF=GH=AC，FG=EH=BD（三角形的中位线等于第三边的一半），
∴四边形EFGH是平行四边形．
故选：B．
【点睛】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，作辅助线构造出三角形，然后利用三角形的中位线定理是解题的关键．
6．D
【分析】过点P作，构造平行四边形和直角三角形，利用平行四边形的性质和直角三角形的性质及勾股定理求解.
【详解】解：如图，过点P作，
，， OP平分∠AOB，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
点P的坐标是，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形和直角三角形的知识，涉及知识点：平行四边形的性质与判定，三角形外角的性质，直角三角形中所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，解题关键构造平行四边形和直角三角形．
7．C
【分析】延长CM交AD于N，先由AAS证得△BCM≌△DNM，得出NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3，求出AN＝BC，得出四边形ABCN是平行四边形，即可得出结果．
【详解】解：延长CM交AD于N，如图所示：
∵点M是线段BD的中点，
∴BM＝DM，
∵ADBC，
∴∠CBM＝∠NDM，∠BCM＝∠DNM，
在△BCM和△DNM中，
，
∴△BCM≌△DNM（AAS），
∴NM＝CM＝CN，DN＝BC＝3，
∴AN＝AD﹣DN＝6﹣3＝3，
∴AN＝BC，
∵ADBC，
∴四边形ABCN是平行四边形，
∴CN＝AB＝5，
∴CM＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，添加辅助线证明△BCM≌△DNM是解题的关键．
8．A
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：∵E，F分别为AC，BC中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AB＝×6＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
9．B
【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC，结合平行四边形的判定定理对各个选项进行判断即可．
【详解】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，
A．根据∠B=∠F不能判定CF∥AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
B．∵∠B=∠BCF，
∴CF∥AB，即CF∥AD，
∴四边形ADFC为平行四边形，故本选项符合题意；
C．根据AC=CF不能判定CF∥AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
D．根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定、三角形的中位线定理以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理是解题的关键．
10．D
【分析】根据矩形的判定定理判定即可．
【详解】A.测量两组对边是否相等，能判定平行四边形，故A错误；
B.对角线相等的四边形不一定是矩形，不能判定四边形的形状，故B错误；
C.测量对角线是否互相平分，能判定平行四边形，故C错误；
D.根据对角线相等且互相平分四边形是矩形，可知量出对角线的交点到四个顶点的距离，看是否相等，可判断是否是矩形．故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定定理，矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
11．C
【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OD，结合得到，进一步得到BD=2AB．
【详解】因为四边形为矩形，
所以，
，
，
所以，
所以，
因为
所以
因为，
所以，
故．
故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质和含的直角三角形的边角关系，本题也可用等边三角形的性质和矩形的性质进行求解．
12．B
【分析】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE、CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接BP，
在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=6，
∵AP=CQ，
∴AD-AP=BC-CQ，
∴DP=QB，DP∥BQ，
∴四边形DPBQ是平行四边形，
∴PB∥DQ，PB=DQ，
则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，
在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，CE，
则BE=2AB=8，
∵PA⊥BE，
∴PA是BE的垂直平分线，
∴PB=PE，
∴PC+PB=PC+PE，
连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，
∴CE==10，
∴PC+PB的最小值为10，
即PC+QD的最小值为10，
故选：B．
【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE是解题的关键．
13．C
【分析】根据正方形、等边三角形和三角形内角和定理可以得到答案．
【详解】四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查正方形、等边三角形和三角形内角和定理的综合应用，灵活运用有关性质求解是解题关键．
14．3
【分析】先证明CB=CF，再结合平行四边形的性质，计算即可．
【详解】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BC=AD，ABCF，AB=CD，
所以∠ABF=∠BFC，
因为BF平分∠ABC，
所以∠ABF=∠CBF，
所以∠BFC=∠CBF，
所以CB=CF，
因为CF=CD+DF，
所以AD=AB+DF，
所以AB=7-4=3(cm)，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15．①③④
【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质可判断①；结合图形可判断②；利用平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，对顶角的性质可判断③；利用平行四边形的性质及三角形的面积公式可判断④．
【详解】解：∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点，
∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC，
∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE，
∴ DME BNE，
∴DM=BN，
∴AM=CN，故①正确；
由图可得：BM>AB≠AD=BC，
故②错误；
连接AE、CE，
四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点，
∴BE=DE，
∴ ADE CBE，
∴AE=CE，∠AED=∠CEB，
点A、E、C三点共线，故③正确；
如图所示：过点D、E两点向BC作垂线分别为Q和P点，
∵E是BD的中点，且点E为平行四边形对角线的交点，
∴DQ=2EP，
，
，
∴，故④正确；
故答案为：①③④．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意综合运用这些知识点是解题关键．
16．②③
【分析】由于符合题目的已知条件的除了平行四边形之外，还有等腰梯形，故①错误；因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；根据，可得，又由于，可判定，再依据平行四边形的定义可得结论；过点作于，在上截取，连接，根据线段垂直平分线性质可得出
，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，再结合平行四边形的性质，可证出，，这样的四边形满足题目已知条件，但不符合命题的结论，不是平行四边形，所以④错误，这样就可得解．
【详解】①因为一组对边平行，另一组对边相等可以是平行四边形，也可以是等腰梯形，所以①错误；
②因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；
③∵
∴
∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形
因此③正确；
④作，连接，
过点作于，在上截取，连接，
∵，，
∴，
将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
由作图可知：，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
显然，图中的四边形不是平行四边形．
所以④错误；
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，旋转的性质与作图，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解本题的关键，同时要注意真命题需要证明，假命题只需举出反例即可．
17．2
【分析】首先过点C作CE∥AD交AB于点E，可得四边形ADCE是平行四边形，继而可证得△BCE是等腰三角形，则可求得答案．
【详解】过点C作CE∥AD交AB于点E，
∵AB∥CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AE=CD，CE=AD=3，∠CEA=∠D=2∠B，
∵∠CEA=∠B+∠BCE，
∴∠B=∠BCE，
∴BE=CE=3，
∴CD=AE=AB BE=5 3=2
故答案为：2
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质．
18．12
【分析】利用三角形中位线定理求解即可．
【详解】解：∵E、F分别是AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴AB=2EF=12m，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题的关键．
19．24
【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求其面积即可．
【详解】解：菱形面积是6×8÷2＝24cm2；
故答案为24．
【点睛】本题考查的是菱形的面积的计算，掌握“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”是解本题的关键.
20．
【分析】首先根据菱形的性质，得出，的长，然后再根据勾股定理，得出的长，再利用菱形的面积，即可得出的长．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解本题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．
21．证明见解析.
【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABE≌△CDF，则对应边相等：AE=CF．
【详解】如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF．
又BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
在△ABE与△CDF中，
，
∴得△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
22．见解析
【分析】根据平行四边形的性质得，则可得∠ABE＝∠CDF，利用可证得，根据全等三角形的性质即可求证结论．
【详解】证明：∵BF＝DE
∴BF－EF＝DE－EF，
∴BE＝DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠ABE＝∠CDF，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接BC，再分别以A点、C点为圆心，以BC、AB为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形ABCD满足条件；
（2）设AC与BD相交于点O，连接CM、AN，如图，利用平行四边形的性质得到OA=OC，CD∥AB，AB=CD，再证明四边形AMCN为平行四边形，则MN与AC互相平分，从而可判断直线MN，AC，BD相交于同一点．
（1）
解：如图，平行四边形为所作；
（2）
证明：设与相交于点O，连接，如图，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵点M为的中点，点N为的中点，
∴，
即，
∴四边形为平行四边形，
∴与互相平分，即过的中点O，
∴直线相交于同一点．
【点睛】本题考查了作图——复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
24．见解析
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，推出∠BAC＝∠DCA，即可证明△ABE≌△CDF，由此得到结论．
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
又AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴∠ABE＝∠CDF．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，正确理解并掌握各性质定理是解题的关键．
25．证明见解析.
【分析】根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得证明结论．
【详解】解：如图，连接BC，设对角线交于点O．
∵四边形ABDC是平行四边形，
∴OA=OD，OB=OC．
∵AE=DF，
∴OA﹣AE=OD﹣DF，
∴OE=OF．
∴四边形BECF是平行四边形．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)9
【分析】（1）利用平行线的判定和性质，只要证得即可；
（2）利用直角三角形的两锐角互余，结合已知，可证得，，进而利用等角对等边即可求证；
（3）延长EF交CD延长线于M，延长FE交CP延长线于H，通过导角证明三角形MHC和三角形EHP都是等腰三角形，进而求出AE，再利用即可求出AB，从而得到的长．
（1）
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）
证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴；
（3）
解：如图，延长EF交CD延长线于M，延长FE交CP延长线于H．
∵ AB//DC，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，．
∵，由（1）知，
∴ ，
∴ ．
由（1）知，
设，
∴．
，
，
∵，，
，
，
，
又∵，
，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
设，，
则，
，
，
解得，
即，
由勾股定理可得，，
，
∵，
，
解得，
，
即CD的长为9．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理解直角三角形等，第三问难度较大，通过导角证明三角形MHC和三角形EHP是等腰三角形是解题的关键．
27．(1)见解析
(2)①；②见解析
【分析】（1）根据旋转性质得出PA=AD，从而可得PA=2AB，进而得出PB=CD，然后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证；
（2）①先在Rt△ABD中求出AB=2，进而求出，然后判断△PFB为直角三角形，∠FPB=30°，最后根据“含30度的直角三角形的性质”求解即可；
②过点A作AM⊥EF于M，AN⊥DF于N，过点B作BH⊥AF于H，过点E作于G，先证，得出AN＝AM，进而可证∠EFA＝∠BFA＝45°，即可求出， ，然后证明，得出，最后代入化简即可得证．
（1）
证明：矩形ABCD中，，AB=CD，
∵AD＝2AB，AD＝PA，
∴PB＝PA－AB＝AB，
∴PB＝CD，
又∵，
∴四边形PBDC为平行四边形；
（2）
①解：由旋转性质得，
∴，
在中，设AB＝x，则BD＝2AB＝2x，
∵，
∴
∴x＝2，
∴AB＝2，
∴，
∵∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，
∴∠ABD＝60°
∴∠
∵∠PFB是的外角
∴
在中，
∴
②：过点A作AM⊥EF于M，AN⊥DF于N，过点B作BH⊥AF于H，过点E作于G，
∴∠AMF＝90°，∠ANF＝90°，
∴∠AMF＝∠AND，
又∵AD＝AP，∠ADN＝∠APM
∴，
∴AN＝AM，
又∵AM⊥EF，AN⊥DF，
∴AF平分∠EFD，
∵∠PFB＝90°，
∴，
∴∠EFA＝∠BFA＝45°
∵BH⊥AF，EG⊥FA，
∴中，
中，．
∵，
∴
∵，
∴，
∴
∵，
∴
即
【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，添加合适的辅助线是解题的关键．
28．（1）见解析；（2）6
【分析】（1）利用“边角边”证明△ADE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CF，然后判断出四边形BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得；
（2）延长BA至点G，使AG＝AB，连接GE，利用“边角边”证明△ACD≌△AEG，根据全等三角形对应边相等可得CD＝GE，由点A F分别是边BG BE的中点，得出，求出CD的长．
【详解】解：（1）证明：延长DE至点F，使EF＝DE，连接CF，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE．
又∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF，
∴AD＝CF，∠ADE＝∠CFE，
∴AB∥CF，即．
∵点D是边AB的中点，
∴AD＝DB，
∴DB＝CF，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴，DF＝BC．
∴．
又，
∴．
（2）延长BA至点G，使AG＝AB，连接GE，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，
∴∠BAD＝∠CAE＝90°，AC＝AE，AD＝AB，
∴∠DAG＝90°，AD＝AG．
又∠CAD＝90°－∠DAE＝∠EAG，
∴△ACD≌△AEG，
∴CD＝GE．
∵点A F分别是边BG BE的中点，
∴
∴．
又AF＝3，
∴CD＝6．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，判断三角形全等是解决本题的关键．
29．见解析
【分析】由平行四边形的性质得出，再根据已知条件得出，即可得出结论．
【详解】四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
四边形DEBF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
30．(1)见解析
(2)
【分析】（1）过A点作∠BAE=∠B，可得AEBC；
（2）根据题意作出图形，过A点作AF⊥BC于F，根据含30°角的直角三角形的性质求出BF，再根据勾股定理求出AF，可得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解．
（1）
解：如图所示，AE即为所求.
（2）
解：如图，
∵AEBC，
∴∠DAC＝∠BCA.
∵∠DOA＝∠BOC，OB＝OD，
∴△AOD≌△BOC.
∴AD＝BC.（或OA＝OC）
∴四边形ABCD是平行四边形.
过点A作AF⊥BC于点F，
∴∠AFC＝90°.
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BF＝1，AF＝
∵BC＝4，
∴四边形ABCD的面积为BC·AF＝4．
【点睛】本题考查了复杂作图，勾股定理，直角三角形的性质，关键是会作一条直线的平行线．
31．（1）证明见解析；（2）结论：四边形ACDF是矩形．理由见解析
【分析】（1）只要证明AB=CD，AF=CD即可解决问题；
（2）结论：四边形ACDF是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可；
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠AFC=∠DCG，
∵GA=GD，∠AGF=∠CGD，
∴△AGF≌△DGC，
∴AF=CD，
∴AB=AF．
（2）解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF=CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，
∴∠FAG=60°，
∵AB=AG=AF，
∴△AFG是等边三角形，
∴AG=GF，
∵△AGF≌△DGC，
∴FG=CG，∵AG=GD，
∴AD=CF，
∴四边形ACDF是矩形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、矩形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
32．见解析
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
33．(1)见解析
(2)
(3)AF的最小值是
【分析】（1）先证，推出，，再结合正方形的性质得出，，得出四边形BEFH为平行四边形，再由得出，即可证明四边形BEFH为菱形；
（2）连接EH，连接DF，过点F作，交AD延长线于点M，利用求解；
（3）连接AF，先证，设，则，，由勾股定理得，可知当，即点E与点A重合时，AF有最小值．
【详解】（1）证明： 四边形ABCD是正方形，
，．
又E为AD中点，H为CD中点，
，
在与中，
，
．
，．
，
，
，
在正方形CEFG中，，，
，，
四边形BEFH为平行四边形．
同理可证，
，
四边形BEFH为菱形；
（2）解：如图，连接EH，连接DF，过点F作，交AD延长线于点M，
，
．
，，
，
在与中，
，
，
，，
，
；
（3）解：如图，连接AF，
由（2）可知，，
，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理，得．
当，即点E与点A重合时，AF有最小值．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定，正方形的性质，三角形面积公式以及勾股定理解直角三角形，综合性较强，有一定难度，综合运用上述知识点、正确作出辅助线是解题的关键．
34．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）首先证明，由此得出，从而证明四边形为菱形即可证明结论；
（2）①设菱形AFCE的边长，分别求出，，，，即可得到，由此求解即可；②根据题意分当点在上、点在上时或当点在上、点在上时以及当点在上、点在上时三种情况进一步分析求解即可．
（1）
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，．
∵垂直平分，垂足为，
∴，
在和△COF中，
∵
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
∴四边形为菱形，
∴AE=CF；
（2）
解：①设菱形AFCE的边长，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PC=AQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4cm，AD=BC=8cm，
∵点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，
②由题意得，当四边形APCQ是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，
设，
分三种情况：
其一：如图1，当点在上、点在上时，
∵，
∴，
∴；
其二：如图2，当点在上、点在上时，
∴，
∴，
∴，
∴；
其三：如图3，当点在上、点在上时，
∴，
∵，，
∴，
∴，
综上所述，a与b满足的数量关系式为．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定、全等三角形性质及判定、平行四边形的动点问题，熟练掌握相关知识是解题关键．
35．(1)
(2)①见解析；②
【分析】（1）设对角线的交点为O，根据可得出，再根据和关于直线对称，可知，从而可得出答案；
（2）①利用SAS可证明，，可得出，，再根据正方形的性质得出，可以推出、，即可得出四边形GHCF为平行四边形，再根据即可得证；
②根据①中的结论易证△DGH为等腰直角三角形，可得出，再根据菱形的性质及线段的和即可得出，从而得出答案．
（1）
解：设对角线的交点为O
和关于直线对称
（2）
①和关于直线对称
四边形ABCD为正方形
,
四边形GHCF为平行四边形
四边形GHCF为菱形；
②由①知
△DGH为等腰直角三角形
四边形GHCF为菱形
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的判定及性质，对称图形的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，综合性较强，熟练掌握性质定理是解题的关键．
36．见解析
【分析】利用直角三角形全等的判定得出，并由全等三角形的性质得出，最后根据直角三角形的两锐角互余和垂直定义证明结论．
【详解】证明：正方形ABCD中，，，
，
（HL）．
．
，
．
DF与CE相交于点O，
．
．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的性质与判定的理解与综合运用能力．主要涉及正方形四个边相等，四个角都为；斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）；全等三角形的对应边相等，对应角相、直角三角形的两锐角互余等知识点．灵活运用正方形的性质，直角三角形全等的判定是解本题的关键．