第一章 空间向量与立体几何 章节综合检测
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．）
1．（2022·全国·高二课时练习）已知 a,b,c 能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间
基底的是（ ）
A． a b,b,c B． a, a b,c C． a c,b c, a b D． a,b, a b c
2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥O ABC 中，设OA a，OB b，OC c，若 AN NB ，
BM 2MC ，则MN （ ）
1 a 1 b 2 c 1 a 1 b 2
1 1
A． B． c C． a b
1 1 1 1
c D． a b c
2 6 3 2 6 3 2 6 3 2 6 3
3．（2022·全国·高二单元测试）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记
载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形 ABCD为矩形，EF //AB，若 AB 3EF ， ADE 和△BCF
都是正三角形，且 AD 2EF ，则异面直线DE 与 BF 所成角点的大小为（ ）
A． B． C． D．
2 4 3 6
4．（2022·全国·高二课时练习）a (1, 1,3),b ( 1,4, 2),c (1,5, x) ，若 a,b ,c 三向量共面，则实数 x
（ ）
A．3 B．2 C．15 D．5
5．（2022·全国·高二专题练习）在正三棱柱 ABC A1B1C1中，若 AB AA1 4，点D是 AA1的中点，则点 A1
到平面DBC1的距离是（ ）
A． 2 B
2
． C 2． D 2．
2 3 4
6．（2022·全国·高二单元测试）已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为 2，N 为棱CC1 的中点，动点 M
满足BM BC ，λ∈[0，1]，当 M 运动时，下列选项正确的是（ ）
1A．当 时，△A1MC2 1的周长最小
B．当 λ=0 时，三棱锥C1 A1MN 的体积最大
C．不存在 λ 使得 AM⊥MN
D．设平面 A1B1M
5
与平面BCC1B1所成的角为 θ，存在两个不同的 λ 值，使得 | cos |
5
7．（2022·浙江师范大学附属中学高一期末）如图，已知矩形 ABCD的对角线交于点E, AB x, BC 1，将
△ABD 沿BD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 AB CE ，则 x 的取值范围是（ ）
A．0 x 3 B．0 x 2
C．0 x 1 D．0 x 6
8．（2022·江西鹰潭·高二期末（理））如图，在三棱锥P ABC 中， AB AC PB PC 5， PA 4 ，BC 6，
点M 在平面PBC 内，且 AM 15 ，设异面直线 AM 与BC 所成的角为 ，则 cos 的最大值为（ ）
2 3 2A B C D 5． ． ． ．
5 5 5 5
二 多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9．（2022·全国·高二课时练习）已知 a 1,0,1 ，b 1,2, 3 ， c 2, 4,6 ，则下列结论正确的是（ ）
A． a b B．b∥c
C． a,c 为钝角 D． c在 a方向上的投影向量为 4,0,4
10．（2022·江苏·淮海中学高二开学考试）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中（ ）
A． AC 与BD1的夹角为60 B．二面角D AC D1的平面角的正切值为 2
C 3． AB1与平面 ACD1所成角的正切值 2 D．点D到平面 ACD1的距离为
3
11．（2022·黑龙江·哈九中高二开学考试）已知空间三点 A( 2,0,2), B( 1,1,2),C( 3,0,4)，设 a AB,b AC .
则下列结论正确的是（ ）
A．若 c＝3，且 c / /BC ，则 c 2,1, 2
B 10． a和b 的夹角的余弦值
10
C．若 ka b与 ka 2b互相垂直，则 k 的值为 2；
D．若 a b a b 与 z 轴垂直，则 ， 应满足 0
12．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的边长为 2，M 为CC1 的中点，P 为侧面BCC1B1
上的动点，且满足 AM / / 平面 A1BP，则下列结论正确的是（ ）
A． AM B1M B．CD1 / / 平面 A1BP
A B 2C AM 2 13． 与 1 1 所成角的余弦值为 D3 ．动点 P 的轨迹长为 3
三 填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分.）
13．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量 a、b 、 c满足 a b c 0 ， | a | 1， | b | 2 ， | c | 7 ，则 a
与b 的夹角为_________．
14．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）已知四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD
是正方形，底面边长和侧棱长均为 2， A1AB A1AD 60 ，则对角线 AC1的长为________．
15．（2022·全国·高二单元测试）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、
体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成
是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示， A1F B1F 2 2 ， AB AA1 2AD 4，
P，Q，M，N 分别是棱 AB，C1E ，BB1， A1F 的中点，则异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值是______．
16．（2022·广东· 3 6模拟预测）已知正四面体 A BCD内接于半径为 的球O中，在平面BCD内有一动点
2
P ，且满足 AP 4 2 ，则 | BP |的最小值是___________；直线 AP 与直线BC 所成角的取值范围为___________.
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，其它每题 12 分，解答应写出文字说明 证明过
程或演算步骤.）
17．（2021·黑龙江·勃利县高级中学高二期中）已知空间三点 A( 2,0,2), B( 1,1,2),C( 3,0,4)，设
a AB,b AC .
（1） a,b的夹角 的余弦值；
（2）若向量 ka b,ka 2b互相垂直，求实数 k 的值；
（3）若向量 a b,a b共线，求实数 的值.
18．（2022·湖南·高三开学考试）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 ABC 平面
ACC1A1, ABC 90
, AB BC ，四边形 ACC1A1 是菱形， A1AC 60
,O是 AC 的中点.
(1)证明：BC 平面B1OA1；
(2)求直线OA与平面OB1C1所成角的正弦值.
19．（2022·安徽省宣城中学高二期末）如图，在圆锥PO中，已知PO 2, O 的直径 AB 2 ，点C 是 AB
的中点，点D为 AC 中点.
(1)证明： AC 平面POD；
(2)求二面角 A PC B的正弦值.
20．（2022·江苏淮安·高二期中）如图，在棱长是 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为CD 的中点.
(1)求证：EB1 AD1；
(2)求异面直线D1E 与 AB1所成角的余弦值；
(3)求点B1到平面 AD1E的距离.
21．（2022·湖南郴州·高二期末）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC 是边长为 2的正三角形，O为 AB
的中点．
（1）证明：CO 平面 ABB1A1；
（2 15）若直线B1C 与平面 ABB1A1所成的角的正切值为 ，求平面 A1BC1与平面 ABC1夹角的余弦值．
5
22．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直， AA1 AB AC 1，
AB AC ，M ， N 分别是CC1 ，BC 的中点，点 P 在直线 A1B1 上．
(1)证明：PN AM ；
(2)当平面 PMN 与平面 ABC 所成的锐二面角为 45 时，求平面 PMN 与侧面 A1ACC1 的交线长．第一章 空 间向量与立体几何 章 节综合检测
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．）
1．（2022·全国·高二课时练习）已知 a,b,c 能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间
基底的是（ ）
A． a b,b,c B． a, a b,c C． a c,b c, a b D． a,b, a b c
【答案】C
【详解】由图形结合分析
a c,b c, a b
三个向量共面，不构成基底，
故选：C
2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱锥O ABC 中，设OA a，OB b，OC c，若 AN NB ，
BM 2MC ，则MN （ ）
1 1 a b 2
1 1 2 1 1 1 1 c a 1
1
A． B． b c C． a b c D． a b c
2 6 3 2 6 3 2 6 3 2 6 3
【答案】A
【详解】连接 OM，ON，
1
则MN ON OM (OA OB) (OC CM )
2
1
(OA OB) OC 1 CB
2 3
1 1
(OA OB) OC (OB OC) 1 OA 1 OB 2 OC
2 3 2 6 3
1 a 1
b 2 c．
2 6 3
故选：A．
3．（2022·全国·高二单元测试）《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记
载了一种名为“刍甍”的五面体(如图)，其中四边形 ABCD为矩形，EF //AB，若 AB 3EF ， ADE 和△BCF
都是正三角形，且 AD 2EF ，则异面直线DE 与 BF 所成角点的大小为（ ）
A． B． C． D．
2 4 3 6
【答案】A
【详解】如图，以矩形 ABCD的中心 O 为原点，CB的方向为 x 轴正方向建立空间直角坐标系，
∵四边形 ABCD为矩形，EF / / AB， ADE 和△BCF 都是正三角形，∴ EF 平面 yOz ，且Oz 是线段 EF
EF 1 AD 2, D 1 3 1 3 1 的垂直平分线.设 AB 3，则 ， ， ，0 ，E 0， , 2 ，B 1，，02 2 2
, F 0，，2
2
DE 11 2 , BF 1 1, 2 ∴ ，， ， ，∴ DE BF 1 1 1 1 2 2 0，∴ DE BF ，
∴异面直线DE 与 BF 所成的角为 .
2
故选：A
4．（2022·全国· 高二课时练习）a (1, 1,3),b ( 1,4, 2),c (1,5, x) ，若 a,b ,c 三向量共面，则实数 x
（ ）
A．3 B．2 C．15 D．5
【答案】D
【详解】∵ a (1, 1,3),b ( 1,4, 2) ，∴ a与b 不共线，
又∵ a 、b、c 三向量共面，则存在实数 m，n 使 c ma nb
m n 1
即 m 4n 5，解得n 2,m 3, x 5．
3m 2n x
故选：D．
5．（2022·全国·高二专题练习）在正三棱柱 ABC A1B1C1中，若 AB AA1 4，点D是 AA1的中点，则点 A1
到平面DBC1的距离是（ ）
A． 2 B
2
． C 2 D 2． ．
2 3 4
【答案】A
【详解】解：以 AC 为 y 轴，以 AA1为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
正三棱柱 ABC A1B1C1中，若 AB AA1 4，点D是 AA1的中点，
B(2 3,2,0)，C1(0, 4, 4)，D(0,0,2)， A1(0,0,4) ，
DB (2 3, 2, 2)，DC1 (0, 4, 2)，DA1 (0,0, 2)，
设平面BDC1 的法向量为 n (x, y, z) ，
n DB 0， n DC1 0 ，
2 3x 2y 2z 0 ，取 y 1，则 n ( 3, 1,2) ，
4y 2z 0
n DA
点 A 1到平面DBC的距离d | 0 0 4 |1 1 2 ．
| n | 3 1 4
故选：A．
6．（2022·全国·高二单元测试）已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为 2，N 为棱CC1 的中点，动点 M
满足BM BC ，λ∈[0，1]，当 M 运动时，下列选项正确的是（ ）
1A．当 时，△A1MC2 1的周长最小
B．当 λ=0 时，三棱锥C1 A1MN 的体积最大
C．不存在 λ 使得 AM⊥MN
D 5．设平面 A1B1M 与平面BCC1B1所成的角为 θ，存在两个不同的 λ 值，使得 | cos |
5
【答案】B
【详解】当
1
时，M 是BC 的中点， A1M C1M 7 5 ,当 1 时， A1M C1M 2 2 22 ，
2 2 17 5 12 140, 2 2 2 12 128 12 140 , 故当 △A MC2 时 1 1的周长并不是最小的.
故 A 错.
当 λ=0 3时，V V M , BC1 A1MN A1 C1MN S C MN ,只需要面积最大体积就最大，此时 重合，故 B 对.3 1
当M 是BC 中点时， AM 平面BCC1B1 ,又MN 平面BCC1B1，则 AM MN ，故 C 错.
取BC 中点为O ,则 AO 平面BCC1B1 ,以OB,OA所在直线为 x, z 轴，故建立如图所示空间直角坐标系，平面
BCC1B1的法向量为m (0,0,1)
A1(0, 2, 3), B(1,0,0, ), B1(1, 2,0, ),C( 1,0,0)
BM BC, M 1 2 ,0,0 ,故 A1B1 1,0, 3 , B1M ( 2 , 2,0)
设平面 A1B1M 的法向量为 n x, y, z
x 3z 0
所以 令 z 3 ，则 x 3, y 3 ，故 n 3, 3 , 3
2 x 2y 0
m n
cos m, n 3 5 3 3 , 0, ，故 D 不对.
m n 12 9 2 5 3 3
故选：B
7．（2022·浙江师范大学附属中学高一期末）如图，已知矩形 ABCD的对角线交于点E, AB x, BC 1，将
△ABD 沿BD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 AB CE ，则 x 的取值范围是（ ）
A．0 x 3 B．0 x 2
C．0 x 1 D．0 x 6
【答案】A
【详解】如图示,设 A1处为△ABD 沿BD翻折后的位置，
以 D 为坐标原点，DA,DC 分别为 x,y 轴，过点 D 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，
A(1,0,0), B(1, x,0),C(,0, x,0), E(1 , x则 ,0) ，设 A1(a,b,c) ，2 2
由于 | A1D | 1 ,故 a2 b2 c2 1 ，
而BA1 (a 1,b x,c), DA1 (a,b,c),CE (
1 , x ,0) ，
2 2
由于 AB AD ,故BA1 DA1 ，则BA1 DA1 a(a 1) b(b x) c
2 0，
即bx 1 a ；
又由在翻折过程中存在某个位置，便得 AB CE ，不妨假设BA1 CE ,
则BA1 CE
1
(a x 1) (b x) 0，即 x22 2 bx a 1 0
，
即 x2 bx 1 a 2(1 a) ，
当将△ABD 翻折到如图 A BD 位置时， A BD 位于平面 ABCD 内，
不妨假设此时BA CE ，设垂足为 G,
作 A F AD 的延长线，垂足为 F,此时在 x 轴负半轴上方向上，DF 的长最大，a 取最小值，
由于 BA D 90 ，故EG∥ A D ,
所以 BEG BDA BDA ,而 BEG AED ,
故 AED BDA EDA，又 AE AD ,
故 AED 为正三角形，则 EDA 60 , BDA FDA 60 ,
而 A D 1 ,故DF
1 1
,则 a ，
2 2
故 x2 2(1 a) 3， x 0 ，则 x 3 ，
故 x 的取值范围是 (0, 3] ，
故选：A
8．（2022·江西鹰潭·高二期末（理））如图，在三棱锥P ABC 中， AB AC PB PC 5， PA 4 ，BC 6，
点M 在平面PBC 内，且 AM 15 ，设异面直线 AM 与BC 所成的角为 ，则 cos 的最大值为（ ）
2
A 2． B 3． C D 5． ．
5 5 5 5
【答案】D
【详解】设线段BC 的中点为D，连接 AD ，
AB AC 5，D为BC 的中点，则 AD BC ，
BC 6 ，则BD CD 3， AD AB2 BD2 4，同理可得PD 4，PD BC ，
PD AD D， BC 平面PAD ，
过点 P 在平面PAD 内作PO AD ，垂足为点O，
因为PA PD AD 4，所以，△PAD 为等边三角形，故O为 AD 的中点，
BC 平面PAD ，PO 平面PAD ，则BC PO，
PO AD ， AD BC D， PO 平面 ABC ，
以点O为坐标原点，CB、 AD 、OP 分别为 x 、 y 、 z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系
O xyz ，
因为△PAD 是边长为 4的等边三角形，O为 AD 的中点，则OP PAsin 60 2 3 ，
则 A 0, 2,0 、B 3, 2,0 、C 3,2,0 、P 0,0,2 3 ，
由于点M 在平面PBC 内，
可设BM mBP nBC m 3, 2,2 3 n 6,0,0 3m 6n, 2m, 2 3m ，
其中m 0 ， n 0 且m n 1，
从而 AM AB BM 3,4,0 3m 6n, 2m, 2 3m 3 3m 6n, 4 2m, 2 3m ，
因为 AM 15 ，则 3 3m 6n 2 4 2m 2 12m2 15，
所以， 3 3m 6n 2 16m2 16m 1 4m 2 2 3，
m 1故当 时， 16m2
2
2 16m 1
有最大值3，即 3m 6n 3 3，
故 3 3m 6n 3 3 ，即3m 6n 3有最大值 3，
AM BC 6 3 3m 6n
所以， cos cos AM , BC
6 3 5
.
AM BC 6 15 6 15 5
故选：D.
二 多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9．（2022·全国·高二课时练习）已知 a 1,0,1 ，b 1,2, 3 ， c 2, 4,6 ，则下列结论正确的是（ ）
A． a b B．b∥c
C． a,c 为钝角 D． c在 a方向上的投影向量为 4,0,4
【答案】BD
【详解】因为1 1 0 2 1 3 4 0，所以 a，b 不垂直，A 错，
因为 c 2b ，所以b∥c，B 对，
因为 a c 1 2 0 4 1 6 8，所以 cos a,c 0，所以 a,c 不是钝角，C 错，
因为 c在 a方向上的投影向量 c cos a,c
a a c 8 2 a 1,0,1 4,0,4 a 2 ，D 对，a
故选：BD.
10．（2022·江苏·淮海中学高二开学考试）如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中（ ）
A． AC 与BD1的夹角为60 B．二面角D AC D1的平面角的正切值为 2
C． AB1与平面 ACD1所成角的正切值 2 D．点D到平面 ACD
3
1的距离为
3
【答案】BCD
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则 A 1,0,0 ,C 0,1,0 , B 1,1,0 , D1 0,0,1 , B1 1,1,1 ，
∴ AC 1,1,0 , BD1 1, 1,1 ， AC BD1 0，即 AC BD1 ， AC 与BD1的夹角为90 ，故 A 错误；
ACD m
设平面 1的法向量为 x, y, z ， AC 1,1,0 , AD1 1,0,1 ，
m AC x y 0
所以 ，令 x 1，则m 1,1,1 ，
m AD1 x z 0
平面DAC 的法向量可取 n 0,0,1 ，二面角D AC D1的平面角为 ，
则 cos cos m
,n 1 sin cos m ,n 2，所以 , tan 2 ，故 B 正确；
3 3
因为 AB1 0,1,1 ，设 AB1与平面 ACD1所成角为 ，
则 sin cos AB1 m
2 6
, cos 3 , tan 2 ，故 C 正确；
2 3 3 3
因为DA 1,0,0 ，设点D到平面 ACD1的距离为d ，则
d DA m
1 3
，故 D 正确.m 3 3
故选：BCD.
11．（2022·黑龙江·哈九中高二开学考试）已知空间三点 A( 2,0,2), B( 1,1,2),C( 3,0,4)，设 a AB,b AC .
则下列结论正确的是（ ）
A．若 c＝3，且 c / /BC ，则 c 2,1, 2
B 10． a和b 的夹角的余弦值
10
C．若 ka b与 ka 2b互相垂直，则 k 的值为 2；
D．若 a b a b 与 z 轴垂直，则 ， 应满足 0
【答案】BD
【详解】依题意， a (1,1,0),b ( 1,0,2) ，BC ( 2, 1, 2)，
对于 A，因 | BC | 3，而 c＝3，且 c / /BC ，则 c BC 2,1, 2 或 c BC ( 2, 1,2)，A 不正确；
对于 B， cos a,b
a b 1 10
，B 正确；
| a || b | 2 5 10
2 C 2对于 ，因 ka b与 ka 2b互相垂直，则 (ka b) (ka 2b) k 2 a ka b 2b 2k 2 k 10 0，
5
解得 k 2或 k ，C 不正确；
2
对于 D， a b a b (0,1, 2) (2,1, 2) (2 , , 2 2 )，z 轴的一个方向向量 n (0,0,1)，
依题意， (2 , , 2 2 ) (0,0,1) 2 2 0，即 0，D 正确.
故选：BD
12．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的边长为 2，M 为CC1 的中点，P 为侧面BCC1B1
上的动点，且满足 AM / / 平面 A1BP，则下列结论正确的是（ ）
A． AM B1M B．CD1 / / 平面 A1BP
C． AM 与 A1B
2 2 13
1 所成角的余弦值为 D3 ．动点 P 的轨迹长为 3
【答案】BCD
【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，
则 A(0,0,2), A1(0,2,2), B(0,0,0), M (2,1,0), P(x, y,0) ，
所以 A1B (0, 2, 2), BP (x, y,0), AM (2,1, 2)，
0 bx 2
由 AM // 平面 A1BP
，得 AM aA1B bBP ，即 2a by 1，
2a 2
化简可得：3x 2y 0，
所以动点 P 在直线3x 2y 0上，
对于选项 A： AM (2,1, 2), B1M (2, 1,0), AM B1M 2 2 1 ( 1) ( 2) 0 3 0，所以 AM 与B1M 不
垂直，所以 A 选项错误；
对于选项 B：CD1 //A1B, A1B 平面 A1BP,CD1 平面 A1BP，所以CD1 // 平面 A1BP，B 选项正确；
4 2
对于选项 C： A1B1 (0,0, 2),cos AM , A1B1 2 22 12 ( 2)2 3 ，
C 选项正确；
4
对于选项 D：动点 P 在直线3x 2y 0上，且 P 为侧面 BCC1B1上的动点，则 P 在线段 P1B上， P1 , 2,0 ，
3
2
所以PB 4 2 2 2 131 2 0 ，D 选项正确；
3 3
故选：BCD.
三 填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，其中第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分.）
13．（2022·全国·高二课时练习）已知空间向量 a、b 、 c满足 a b c 0 ， | a | 1， | b | 2 ， | c | 7 ，则 a
与b 的夹角为_________．
【答案】 ##60°
3
【详解】因为 a b c 0 ，所以 c a b，
2 2 2 2
所以 c a b a 2a b b ，
因为 | a | 1， | b | 2 ， | c | 7 ，
所以7 1 2 1 2cos a,b 4 ，
所以 cos a,b
1
，
2
因为 a,b 0, ，
所以 a,b
，
3
故答案为：
3
14．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）已知四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD是正方形，底面边
长和侧棱长均为 2， A1AB A1AD 60 ，则对角线 AC1的长为________．
【答案】 2 5
【详解】由题可知四棱柱 ABCD A1B1C1D1 为平行六面体， AC1 AB AD AA1 ，
2 2 2 2
所以 AC1 (AB AD AA )
2
1 AB AD AA1 2AB AD 2AB AA1 2AD AA1
4 4 4 2 2 2cos 60 2 2 2cos 60 20，
所以 | AC1 | 2 5 .
故答案为： 2 5 .
15．（2022·全国·高二单元测试）手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、
体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成
是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示， A1F B1F 2 2 ， AB AA1 2AD 4，
P，Q，M，N 分别是棱 AB，C1E ，BB1， A1F 的中点，则异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值是______．
2 15 2
【答案】 ## 15
15 15
【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
因为 A1F B1F 2 2 ， AB AA1 2AD 4，
所以可得P 2,2,0 ,Q 0,3,5 , M 2,4,2, , N 2,1,5 ，
所以PQ 2,1,5 , MN 0, 3,3 ，
所以 cos PQ, MN
P Q M N 12 2 15
PQ MN 30 3 2 15 ，
2 15
所以异面直线 PQ 与 MN 所成角的余弦值是 .
15
2 15
故答案为： .
15
16．（2022·广东· 3 6模拟预测）已知正四面体 A BCD内接于半径为 的球O中，在平面BCD内有一动点
2
P ，且满足 AP 4 2 ，则 | BP |的最小值是___________；直线 AP 与直线BC 所成角的取值范围为___________.
【答案】 2 3 2 2 ,
3 2
【详解】设 A 在面BCD内的投影为 E，故 E 为三角形 BCD 的中心，
设正四面体 A BCD的棱长为 x ，球O的半径为 R .
BE 2 x 3 3x 6x则 ， AE AB2 BE2 ，
3 2 3 3
依题可得，球心O在 AE 上，R2 BE2 AE R 2，代入数据可得 x 6，
则BE 2 3 ， AE 2 6 ，
又 AP 4 2 ，PE AP2 AE2 2 2 ，
故 P 的轨迹为平面 BCD 内以 E 为圆心， 2 2 为半径的圆，
BE 2 3 ，
B, P, E 三点共线时，且 P 在 BE 之间时， | BP |的最小值是 2 3 2 2 .
以 E 为圆心，BE 所在直线为 x 轴建立如图所示直角坐标系，
A 0,0,2 6 ，B 2 3,0,0 ，C 3,3,0 ，D 3, 3,0 ，
设P 2 2 cos , 2 2 sin ,0 ， 0,2 ，
故 AP 2 2 cos , 2 2 sin , 2 6 ，BC 3 3,3,0 ，
设直线 AP 与直线BC 所成角为 ，
cos A P B C 6 6 cos 6 2 sin 1 π 1 1∵ sin
,
BC AP 4 2 6 2 3 2 2 ，
∴ cos
1 1
, ，
2 2
又α 0,
π ，故 , ， 2 3 2
, 故答案为： 2 3 2 2 ， .
3 2
四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分，其中第 17 题 10 分，其它每题 12 分，解答应写出文字说明 证明过
程或演算步骤.）
17．（2021·黑龙江·勃利县高级中学高二期中）已知空间三点 A( 2,0,2), B( 1,1,2),C( 3,0,4)，设
a AB,b AC .
（1） a,b的夹角 的余弦值；
（2）若向量 ka b,ka 2b互相垂直，求实数 k 的值；
（3）若向量 a b,a b共线，求实数 的值.
1 10
5
【答案】（ ） ；（2） k 或 k 2；（3） 1或 1 .
10 2
【详解】（1）已知空间三点 A( 2,0,2), B( 1,1,2),C( 3,0,4)，
a AB (1,1,0),b AC ( 1,0,2)
cos a b 1 10
| a | | b | 2 5 10
（2）若向量 ka b,ka 2b互相垂直，
又 a (1,1,0),b ( 1,0,2) ，则
(ka b) (ka 2b) (k 1,k, 2) (k 2,k, 4) (k 1)(k 2) k 2 8 0
2k 2 k 10 0
5
解得： k 或 k 2
2
（3）向量 a b,a b共线，又 a (1,1,0),b ( 1,0,2)
a b ( 1, , 2),a b (1 ,1, 2 )
1 2
当 1, 0时， 1
1 1 2
当 1时， a b (0, 1, 2), a b (0,1, 2)，成立，
当 0 时， a b (1,0, 2),a b (1,1,0)，不成立，
故： 1或 1
18．（2022·湖南·高三开学考试）如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中，平面 ABC 平面
ACC1A1, ABC 90
, AB BC ，四边形 ACC1A1 是菱形， A1AC 60
,O是 AC 的中点.
(1)证明：BC 平面B1OA1；
(2)求直线OA与平面OB1C1所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 30
10
（1）连接 A1C ，因为四边形 ACC1A1 是菱形，则 AC AA1，
因为 A AC 60 1 ，故△AA1C 为等边三角形，所以 A1O AC .
因为平面 ABC 平面 ACC1A1 ，平面 A1ACC1 平面 ABC AC, A1O 平面 AA1C1C ，
所以 A1O 平面 ABC ，
BC 平面 ABC ，所以 A1O BC .
B 因为 1A1∥BA, ABC 90 ，所以 BC A1B1 .
又OA1 B1A1 A1，所以BC 平面B1OA1 .
（2）连接BO，因为 ABC 90 , AB BC,O 是 AC 的中点，所以BO AC .
又因为平面 ABC 平面 ACC1A1 ，平面 ABC 平面 ACC1A1 AC, BO 平面 ABC ，
所以BO 平面 ACC1A1 .
设 AC 2，因为 A1O BC ，
以点O为坐标原点，OA OA1 OB所在直线分别为 x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O 0,0,0 A 1,0,0 B1 1, 3,1 C1 2, 3,0 ，
OA 1,0,0 ,OB1 1, 3,1 ,OC1 2, 3,0 .
设平面OB1C1的法向量是 n x2 , y2 , z2 ，
n OC1 2x2 3y2 0
则 ，取 x 3 ，可得 n 3,2, 3 .
n OB1 x2 3y
2
2 z2 0
设直线OA与平面OB1C1所成角为
OA n
所以 sin cos OA,n
3 30 ，
OA n 10 10
∴ 30直线OA与平面OB1C1所成角的正弦值是 .
10
19．（2022·安徽省宣城中学高二期末）如图，在圆锥PO中，已知PO 2, O 的直径 AB 2 ，点C 是 AB
的中点，点D为 AC 中点.
(1)证明： AC 平面POD；
(2)求二面角 A PC B的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 4 5
9
(1)连接OC ，如图所示：
因为OA OC, D 为 AC 的中点，所以 AC OD .
又PO 底面 O, AC 底面 O ，所以 AC PO .
因为OD, PO 是平面POD内的两条相交直线，所以 AC 平面POD
(2)
以O为坐标原点，OB,OC,OP所在的直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则 A 1,0,0 , B 1,0,0 ,C 0,1,0 , P 0,0,2 .
AP 1,0,2 ,CP 0, 1,2 , BC 1,1,0
n 1 A P 0
x 2z 0
设平面 APC 1 1的一个法向量为 n1 x1, y1, z1 ，则有 ，即 ，
n1 CP 0
y1 2z1 0
令 z1 1，则 x1 2, y1 2，所以 n1 2,2,1
n2 BC 0 x2 y2 0
设平面BPC 的一个法向量为 n x 2 2 , y2 , z2 ，则有 ，即 ，
n2 CP 0
y2 2z2 0
令 y2 2，则 x2 2, z2 1，所以 n2 2,2,1
n1 n2
所以 cos n1,n2
1 1
.
n1 n 92 4 4 1 4 4 1
1
2
4 5
所以 sin n1,n2 1 .
9 9
故二面角 A PC B 4 5的正弦值为 .
9
20．（2022·江苏淮安·高二期中）如图，在棱长是 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为CD 的中点.
(1)求证：EB1 AD1；
(2)求异面直线D1E 与 AB1所成角的余弦值；
(3)求点B1到平面 AD1E的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2) 10
10
(3) 6
(1)解：因为正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为 2，
故以D为坐标原点，DA, DC, DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
则有D(0,0,0) ， A(2,0,0)，B(2, 2,0) ，C(0, 2,0)，D1(0,0,2)，
A1(2,0, 2)，B1(2, 2, 2) ，C1(0, 2, 2) .
因为E 为CD 的中点，所以E(0,1,0) ，
EB1 (2,1, 2) ， AD1 ( 2,0,2)，
所以EB1 AD1 2 ( 2) 1 0 2 2 0，
所以EB1 AD1 ，即EB1 AD1；
(2)解：因为D1E (0,1,0) (0,0, 2) (0,1, 2)， AB1 (2, 2, 2) (2,0,0) (0, 2, 2)，
D E AB 2 4 10
所以 cos D1E, AB1 1 1 ，| D1E || AB1 | 5 8 10
因为异面直线D1E 与 AB1所成角是锐角，
10
所以异面直线D1E 与 AB1所成角的余弦值是 .
10
(3)解：设平面 AD1E的法向量是m (x, y, z) ，则m AD1 ，m AE ，
m
A D 1 0即 ，
m
AE 0
又 AD1 (0,0, 2) (2,0,0) ( 2,0,2) ， AE (0,1,0) (2,0,0) ( 2,1,0)，
2x 2z 0
所以 x 1 y 2
2x y 0
令 ，则 ， z 1，
所以m (1, 2,1)，又EB1 (2,1, 2) ，
所以点B
| EB
到平面 AD E的距离 d 1
m | | 2 2 2 |
1 1 6 .| m | 6
21．（2022·湖南郴州·高二期末）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC 是边长为 2的正三角形，O为 AB
的中点．
（1）证明：CO 平面 ABB1A1；
（2）若直线B1C 与平面 ABB1A
15
1所成的角的正切值为 ，求平面 A1BC1与平面 ABC1夹角的余弦值．
5
5
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
7
【详解】（1） ABC 是正三角形，O为 AB 的中点，
CO AB．
又 ABC A1B1C1是直三棱柱，
AA1 平面 ABC，
AA1 CO．
又 AB AA1 A，
CO 平面 ABB1A1．
（2）连接OB1，由（1）知CO 平面 ABB1A1，
∴直线B1C 与平面 ABB1A1所成的角为 CB1O，
tan CB O 15 1 ．5
ABC 是边长为 2 的正三角形，则CO 3 ，
OB1 5 ．
在直角 B1BO 中，OB 1，OB1 5 ，
BB1 2．
建立如图所示坐标系，则B 1,0,0 ， A 1,0,0 ， A1 1,2,0 ，B1 1,2,0 ，C1 0,2, 3 ．
m·BA
BA 2,2,0 BC 1, 2, 3 A BC m x, y, z 1 01 ， 1 ，设平面 1 1的法向量为 ，则 ，即
m·BC1 0
2x 2y 0
，解得平面 A1BC1的法向量为m 3, 3, 1 ．
x 2y 3z 0
n·AB 0
2x 0
AB 2,0,0 ， AC1 1,2,3 ，设平面 ABC1的法向量为 n x, y, z ，则 ，即 ，解
n·AC1 0 x 2y 3z 0
得平面 ABC1的法向量为 n 0, 3,2 ．
设平面 A1BC1与平面 ABC1夹角为 ，则
m n
cos 5 ．
m n 7
平面 A1BC1与平面 ABC
5
1夹角的余弦值为 ．7
22．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱与底面垂直， AA1 AB AC 1，
AB AC ，M ， N 分别是CC1 ，BC 的中点，点 P 在直线 A1B1 上．
(1)证明：PN AM ；
(2)当平面 PMN 与平面 ABC 所成的锐二面角为 45 时，求平面 PMN 与侧面 A1ACC1 的交线长．
【答案】(1)证明见解析
(2)1
（1）解：由题意 AB, AC, AA1两两垂直.
所以以 AB, AC, AA1 分别作为 x, y, z轴正方向建立空间直角坐标系 A xyz ，如图，
则 A(0,0,0), B(1,0,0),C(0,1,0), A1(0,0,1), B1(1,0,1),C1(0,1,1)．
1 1 1
∵M CC 是 1 的中点，N 是BC 的中点，∴ M 0,1, , N2
, ,0
2 2
，
A P A B ∴ P( ,0,1) PN
1 1
, , 1 , AM 1 设 1 1 1 ， ，则 0,1, ， 2 2 2
则PN AM 0
1 1
0，
2 2
所以PN AM ．
1 1 1 1
（2）解：设 A1P A1B1 ，则MP , 1, , MN
, ,
，
2 2 2 2
设平面 PMN 的一个法向量为 n (x, y, z) ，
1
n·M x y z 0,
则
P 0 2，即
n·MN 0 1 x 1 y 1 z 0,
2 2 2
令 x 3，则n (3,2 1,2 2 ) ，
又平面 ABC 的一个法向量为m (0,0,1) ，
平面 PMN 与平面 ABC 所成的锐二面角为 45 时，
cos π
n m | 2 2 | 2
∴ ，即 ，
4 n m 9 (2 1)2 (2 2 )2 2
1
1
解得 ，此时P ,0,1
，如图位置，
2 2
1
设E 为 AB 的中点，连接PE，交 AA1于点Q，由 A1P AE 且 A1P ∥ AE ,2
所以△A1PQ 与△AEQ 全等，则Q为 AA1中点,
连接QM ,由Q,M 分别为 AA1,CC1中点，则QM ∥ AC ,
又E, N 分别为 AB, BC 中点，则EN ∥ AC ，
所以QM ∥ EN ,
所以点E, N , M ,Q 共面，
又P EP ,
所以E, N ,M ,Q, P 共面，即面MNP 与面 NMPQE 重合.
所以平面 PMN 与侧面 A1ACC1 的交线为QM ，
所以交线长度为QM AC 1 .
