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市一中2021－2022学年度第一学期中考试卷
高二数学
（文科）
答题卡
)
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注意事项
选择题请用2B铅笔填涂方框，如需改动，必须用橡皮擦干净，不留痕迹，然后再选择其它答案标号。
非选择题必须使用黑色签字笔书写，笔迹清楚。
请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域，以及在草稿纸和试题上的答案均无效。
请保持卷面清洁，不要折叠和弄破答题卡。
填
涂
样
例
正确填涂
>
条形码粘贴区域
(正面朝上，切勿贴出虚线方框)
试卷类型
A
B
缺考标记
（禁止考生填涂）
<
<
<
姓 名：
班 级：
考 号：
)
(
一、选择题
（每小题5分，共60分）
)
(
7
abcd
8
abcd
9
abcd
10
abcd
11
abcd
12
abcd
) (
1
abcd
2
abcd
3
abcd
4
abcd
5
abcd
6
abcd
)
(
二、填空题
（每小题5分，共20分）
13.
14.
15.
16.
)
(
17.
（共10分）
)
(
18.
（共12分）
)
(
19.
（共12分）
)
(
20.
（共12分）
)
(
21.
（共12分）
)
(
22.
（共12分）
)参考答案：
1．A
【分析】全称与特称命题的否定分两步，第一步：改写符号（与互改）；第二步：否定后半部分，据此回答即可.
【详解】第一步：改写符号，由改成；
第二步：对进行否定得；
所以为：，.
故选：A.
2．C
【分析】由两点间距离公式计算．
【详解】由题意，即，解得或．
故选：C．
3．D
【分析】首先判断原命题的真假，写出其逆命题，即可判断其真假，再根据互为逆否命题的两个命题同真假，即可判断；
【详解】解：因为命题“，则”为真命题，所以其逆否命题也为真命题；
其逆命题为：则，显然也为真命题，故其否命题也为真命题；
故命题“，则”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题有4个；
故选：D
4．B
【分析】先由平方关系和商数关系求出，进而求得终边所在直线方程.
【详解】由为第二象限角可得，则，
则角的终边落在直线即上.
故选：B.
5．A
【分析】求出当时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】当时，，即，解得或.
当时，直线的方程为，直线的方程为，此时；
当时，直线的方程为，直线的方程为，此时.
因为，因此，“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件.
故选：A.
6．D
7.B
【分析】利用两直线垂直时斜率的关系及其双曲线的渐近线方程即可求解.
【详解】由已知得：
双曲线的方程为，其渐近方程为 ，
∵直线与双曲线的渐近线垂直，∴双曲线的渐近线的斜率为，
∴ ，
∴ ，
故选：B
8.C
9．B
【分析】利用勾股定理可求切线长.
【详解】
设切点为，圆心为，连接，则，
而，
故选：B .
10.D
【分析】根据给定方程求出焦距，再结合椭圆、双曲线定义建立与的关系即可计算作答.
【详解】依题意，焦距，由椭圆、双曲线定义得：，
两式平方相加得：，于是有，
所以的值为.
故选：D
11．A
【分析】求得P、A两点的坐标，根据，可得点在直线上，从而可得B点的坐标，从而可求得直线的方程.
【详解】由直线PA的方程为，可知,,
∵，
∴点在线段的垂直平分线，
即直线上，
∴,,
∴直线的斜率，
∴直线的方程为，即．
故选：A.
12．B
【分析】利用结论建立不等式即可求解.
【详解】根据题意作图如下：
由图可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时，最大，
要满足椭圆C上存在点（）使得，则，
∴，即：，整理得：，
又，∴得到：，∴，
∴椭圆离心率的取值范围为，
故选:B．
13．
【分析】点关于对称的点，即把纵坐标变为相反数，其他两个坐标不变.
【详解】关于平面对称的点为.
故答案为：
14．8
【分析】由已知可求得，再根据离心率和的关系，即可求出，进而求得长轴长.
【详解】因为椭圆的短半轴长为2，所以，
由离心率为可得，
由 解得，所以椭圆的长轴长是8.
故答案为：8
15．
【分析】将直线的方程与双曲线的方程联立，可得出关于的二次方程，对二次项系数是否为零进行分类讨论，结合题意可得出关于的等式，解之即可.
【详解】联立可得，
当时，即当时，方程有唯一解，合乎题意；
当时，即当时，则，解得.
综上所述，实数的取值集合为.
故答案为：.
16．
【分析】由题意知直线过圆的圆心，由此得，再将问题转化为点到直线上的点的距离的最小值，从而利用点线距离公式可解.
【详解】由得，故圆心坐标为, 半径，
因为直线始终平分圆的周长，所以直线过圆的圆心，
把代入直线，得，
而可看作是点到直线上的点的距离，
因为到直线的距离为，
所以的最小值为.
故答案为：.
17．(1)由题意得：，，因为焦点在x轴上，所以椭圆方程为：；
(2)依题意，
，，
由于双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为.
18.
19. 1．(1)
(2)
【分析】（1）依题意命题是假命题，即可得到，从而求出参数的取值范围；
（2）记，，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）解：因为命题是真命题，所以命题是假命题．
所以方程无实根，
所以．
即，即，解得或，
所以实数a的取值范围是．
（2）解：由（1）可知：，
记，，
因为是的必要不充分条件，所以，所以（等号不同时取得），
解得，所以实数的取值范围是．
20．(1)
(2)4
【分析】(1)先由双曲线的焦点，可得，解出即可求解;
(2)根据抛物线的定义可得，从而可得点M的横坐标，再根据抛物线的定义可求解.
（1）
∵双曲线的焦点坐标为，
又抛物线（）的焦点，
∴，即.
∴抛物线C的方程为.
（2）
设，，由抛物线定义，
知，
∴，于是线段的中点M的横坐标是2，
又准线方程是，
∴点M到准线的距离等于.
21．(1)；
(2)；
(3)或
【分析】（1）由圆心在直线l上设出圆心，由可解出x，再求出半径即可得圆的标准方程；
（2）过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD互相垂直，最长的弦为直径，由垂径定理求出BD，即可求面积为；
（3）分别讨论直线斜率存在与否，存在时设出过点直线，由所截得弦长为8可得圆心到直线的距离，由点线距离公式列方程即可求解
（1）
圆心在直线l上，则，则有，解得，
故圆心为，半径，故圆心为C的圆的标准方程为；
（2）
由圆的性质，过点P的最长弦过圆心，即为直径，.
最短弦BD垂直于AC，，由垂径定理得，
故四边形ABCD的面积为；
（3）
i. 过点的直线斜率不存在，为，此时被圆C所截得弦长为，符合题意；
ii. 过点的直线斜率存在，设为，直线被圆C所截得弦长为8，故圆心到直线的距离为，即，
故该直线的方程为.
综上，直线的方程为或
22．(1)F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，
则c＝＝，
即有F1(0，)，F2(0，－)，
设P(x，y)，(x＞0，y＞0)，
则由·＝1，
得x2＋y2＝3，
又＋＝1，
解得x＝1，y＝.
则点P的坐标为(1，)．
(2)由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，
设直线PB的斜率为k，则直线PB的方程为y－＝k(x－1)，
由于过点P作倾斜角互补的两条直线PA，PB，则直线PA：y－＝－k(x－1)．
由
消去y，得(2＋k2)x2＋2k(－k)x＋(－k)2－4＝0，
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由根与系数的关系，得1＋xB＝，xB＝，
得yB＝，
同理可得xA＝，
yA＝，
所以kAB＝＝为定值．高二年级 期中考试数学试卷（文科）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题(共60分)
1．已知命题，，则是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．点与之间的距离是5，则y=（ ）
A． B． C．或 D．12
3．命题“，则”及其逆命题、否命题和逆否命题这四个命题中，真命题的个数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
4．若，且为第二象限角，则角的终边落在直线（ ）上.
A． B． C． D．
5．“”是“直线与直线平行的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．直线l：y＝k与圆C：x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相交或相切 B．相交或相离 C．相切 D．相交
7．若直线与双曲线的一条渐近线垂直，则a的值为（ ）
A． B．4 C． D．2
8．若M＝{(x，y)|x2＋y2≤4)}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r>0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是( )
A．(0，－1] B．(0,1] C．(0,2－] D．[0,2]
9. 从圆外一点向圆引切线，则此切线的长是（ ）
A． B．2 C． D．
10设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
11．设A、B是x轴上的两点，P的横坐标为2，且，若直线PA的方程为，则直线PB的方程是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共20分)
13．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为_____.
14．已知椭圆的短半轴长为2，离心率为，则椭圆的长轴长是__________．
15．已知双曲线，直线，若直线与双曲线只有一个公共点，则的取值集合为______．
16．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________
三、解答题(共70分)
17. 求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)焦点在x轴上，且经过点和点的椭圆的标准方程；
（2)焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程
18.已知点，，：
(1)若中点为，求过点与的直线方程；
(2)求过点且在轴和轴上截距相等的直线方程.
19已知命题：关于的方程有实数根， 命题．
(1)若命题是真命题， 求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件， 求实数的取值范围．
20．已知抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段的中点M到准线的距离.
21．已知圆心为C的圆经过点和，且圆心在直线l：，求：
(1)求圆心为C的圆的标准方程：
(2)设点在圆C内，过点P的最长弦和最短弦分别为AC和BD，求四边形ABCD的面积：
(3)若过点的直线被圆C所截得弦长为8，求该直线的方程.
22. 已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上的一点，且满足·＝1，过点P作倾斜角互补的两条直线PA，PB分别交椭圆于A，B两点．
(1)求点P的坐标；
(2)求证：直线AB的斜率为定值．
答案第8页，共9页
