案例：展开与折叠案例及评析
连云港市赣榆县实验中学 李大乐
[课题]义务教育课程标准实验教科书（苏科版）七年级上册第三章第三节（第一课时）
教学目标
知识技能目标：了解简单几何体的表面展开图形。能想象并画出简单几何体的表面展开图形，能根据表面展开图形想象并制作简单的几何体。
过程性目标：经历展开与折叠的过程，感受立体图形与平面图形的关系，体验图形的变化过程，积累数学学习的经验。
情感与态度目标：经历合作与探索、竞赛的学习过程，养成学生研究性学习、合作学习的习惯，培养学生的合作学习的精神，激发学生对数学的兴趣。
教学重难点
重点：经历数学活动的过程，感受平面图形与立体图形的关系，发展空间想象力。
难点：想象简单几何体表面展开图形的形状，由简单几何体的表面展开图形，想象其折叠成立体图形的过程。
学情分析
七年级的学生对自己身边的事充满好奇，他们非常乐意动手操作，有很强的好胜心和表现欲。小学已学习过一些正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱锥等基础知识。因此完全可以在教师的引导下，展开合作与探究的学习活动，完成本课的学习任务。
本课针对青少年学生的身心发展的特点，以活动为主线，创设情境，让学生经历观察、操作、想象、交流与合作的过程，激发学生的学习兴趣和探究的欲望。采用多媒体演示与学生实物操作相结合的方式，发展学生的空间观念。
教学准备
学生准备：用卡纸做成的正方体模型（用六个面拼成，胶带粘接便于展开）及圆柱、圆锥、棱柱、棱锥（只有侧面供剪开用），画出剪裁线的卡纸（图见图5），小刀，剪刀、胶带。
教师准备：墨水瓶盒（剪去多余部分），学生用的模型一套。课件视频展台。
五、教学教程
情境导入
T．生活中有些东西是不可缺少的，如果让你来选，商品能够入选吗？
S．能。
T.对于大多数商品来说，都离不开它的“外衣”——包装。（放映几幅精美的包装盒的图片）。你们想知道这些精美的包装盒是怎样制作出来的吗？
S.想。
T．（实物展示），那就让我们先来探索最常见的墨水瓶盒的设计秘密吧！
（二）教师活动，学生观察，感受课题
T.（演示墨水瓶盒的展开成平面图形与折叠围成立体盒子的过程）一只墨水瓶盒可以展开成平面图形，反过来，这个平面图形也可以折叠围成立体盒子，本节课我们就来探索展开与折叠的奥秘。
（三）学生活动之一——几何体的侧面展开图。
T．放映问题：图（1）中纸筒纸盒沿红线或侧棱剪开，能展开成平面图形吗？会是什么形状呢？
S．想象，猜测
T．放映图（2），问题：把上面的立体图形与下面的平面图形用线连结起来。
S．口答
T．生1的回答是否正确呢？请各小组拿出手中的模具按要求剪开并相互传看。
S．分小组活动。验证先前的想法。
T．通过实验，我们认识了常见几何体的侧面展形图，如果连同底面一起展开，则称为表面展开图。让我们还是从较简单的情况——正方体开始研究吧！
[简评]我们不提倡用计算机上的模拟实验来代替学生能够从事的实践活动，如在计算机上模拟倒沙子的实验来理解等底等高的圆柱与圆锥的体积之间的关系；我们不提倡用计算机演示来代替学生的直观想象，或用来代替学生对数学规律的探索，在教学中，我们并没有一味演示，而是先让学生先展开想象，再动手操作实物进行实践，让学生感到切实可信，丰富学生的生活经验。
（四）学生活动之二——几何体的表面展开
1．展开正方体纸盒。
T．各小组拿出正方体纸盒，你能通过剪开某些棱，把它展开成一个各面连在一起的平面图形吗？
S．分组合作剪开纸盒，进行实验活动。
T．（拿出一组学生的展开图形向大家展示）还有其它不同形状的展开图形吗？
S．踊跃举手
T．（展示其他组的不同作品2~3件）据专门研究，一个正方体不同形状的表面展开图形有十余种，请同学们作为课外作业继续探究。
T．想一想，数一数，要剪开几条棱，才能把一个正方体纸盒展开成一个平面图形。
S．分组活动，计数。
T．结果是？你是如何计数的？哪个小组先推荐代表发言？
S1。要剪开7条棱。折叠回去数剪开的棱的条数。
T．还有不同的计数方法吗？
S2．每条棱剪开后分成两条边，数出不相连的边数之和为14，除以2得7。
S3．（急于举手回答）正方体有12条棱，我们数出没剪开的有5条，12－5=7。
T．你们认为哪一种计数的方法好？（最方便）
S．学生3的方法好！
T．为给我们提供好方法的小组，特别是学生3的精彩表现，给点感谢与鼓励！
S．鼓掌
T．在我们解决一些问题的时候，如果从正面入手比较困难，可以考虑从侧面或者反面入手，学生3成功地利用了这一策略，正面计数（数剪开的）不方便，就从反面（数相连的）计数。同学们要多向他学习。
［简评］学生实验活动后，老师紧接着提出问题“还有不同的展开形状吗？”“还有不同的计数方法吗？” 发散了学生的思维，把学生的思维活动引伸到更高的层次，使学生的认知活动不再仅停留在实验的表面感性认识上，这也是培养学生创新思维的体现。更为重要的是，把不同的方法展示出来后，又引导学生比较，让学生感受优化的思想——“哪种方法最好？（最方便）”，最后又教给学生“正难则反”的解决问题的策略，体现了对人的素质的培养。
2.展开后的折叠
T．老师课前也画了两个正方体的表面展开图形（图3、4），请发挥你的想象力，判断老师画的是否正确？（它们能折叠围成正方体吗？）
S1．图（3）不对，图（4）对
T．你是如何想象的？能说出你的想法吗？
S2．图（3）：下面四小正方形围成正方体周围四个面，上面两个正方形都成为上面的盖，缺了下面，因此不能围成正方体的表面。图（4）：我说不清楚，只是有点感觉。
T．对于（2），有哪一位同学愿意谈一下自己的想法？
S．小声交流，但没有人发言。
T．同学们可能有许多自己的想法，老师在这里也谈一下自己的做法，供同学们参考。（边讲边动画演示，先图（3）后图（4）的折叠的过程）
（1）先假定一个基准在面（不动），（2）再考虑四周应是哪几个面，从最容易确定的开始找。（3）最后考虑此基准面的对面是哪个面。（教师边演示中间过程，边让学生观察思考，发挥空间想象力，预测下一步结论）
S．观察演示过程，发挥自己的想象力。
T．各组先给自己剪开的正方体的各个面编号，想象折叠后的情况，再进行活动，验证自己的想象。
S．活动。
[简评]这部份内容是本课的重点，也是这节课的难点，教师精心设计了这个环节，在先让学生动手剪的基础上，有了感性的认识，再提出问题，用慢镜头演示动画，边演示边让学生想象，发挥学生的空间想象力，把学生的生活经验进一步激活，给学生的思维活动辅设阶梯，分散并突破了难点，也突出了重点，最后教师再让学生展开想象，并操作实物，既发挥了多媒体演示的辅助作用，达到了其它教学手段无法达到的效果。这也是应用多媒体教学手段的一个原则吧。它让学生体验切实可信的生活中的真实，丰富了学生的情感和经验，切实有效地发展了学生的空间想象力。
（五）活动之三——设计竞赛
T．通过刚才的学习，同学们一定急于施展自己的才华了，这里有一个问题，看哪个小组完成的最好。（放映问题：如图（5）纸板上有10个无阴影的正方形，从中先出一个，与图中5个有阴影的正方形连在一起，折叠成一个有盖的正方体纸盒，有哪几种不同的做法？规则：①各小组发挥集体智慧，先设计方案，再动手操作；②剪坏的不能再用（每小组4张）；③以成功的不同方案多者为优胜。
S．分组活动
（以上教师组织学生汇报自己小组的学习成果，并评出优胜小组给予鼓励。
T．你是如何想出所设计的方案的？
S1．略
T．还有不同的方法吗？
Ｓ2.略
Ｓ3.就老师准备进行下环节时，激动地要站起来
Ｔ．请你上来演示你的想法。
Ｓ3.先剪下中间的部份，折叠，发现缺个盖，在与盖相连的四个正方形上做好记号，展开还原到原来的位置，再找到与之相连的满足条件的正方形。
Ｔ．（出乎意料）同学们，这位同学的做法妙不妙啊？
Ｓ．妙！
Ｔ.这位同学在正面想象比较困难的情况下，从反面入手，反映出他灵活的解题策略，这种“正难则反”的解决问题的策略在本课中被两位同学第二次成功应用，值得我们学习。让我们以掌声感谢这两位同学及他们所在的小组给我们带来的美妙解法与启示。
Ｓ．掌声
［评］教现把课本中的一个做一做题以竞赛的方式呈现给学生，激发了学生的好胜之心，思维也随之活跃起来，最后一个学生的精彩发言，让我们看到了新课程理念下的课堂中学生创造性的思维火花。教师机智的点评也体现了新课程理念下课程的评价方式，让学生充分体验到成功的喜悦。此外进行表扬性评价时，个人与小组整体评价相结合，强化学生的集体观念与协作精神，让参与的同学都有成就感，不失为一种优秀的评价方式。
（六）巩固练习
Ｔ．（出示练习图（6））用线段将几何体与能围成它们的平面图形连结起来。
Ｓ．略
Ｔ．如图（7）要使平面展开图折叠围成立体图形后，相对两面上的数字互为相反数，则x= ，y= ．
Ｓ．X=－1,y=－3.
T.他答案是否正确呢？让我们来验证一下。（演示动画过程，边演示中间过程，边让学生想象，以发展学生的空间想象力。）
[简评]练习1巩固本课学习的常见的几何体侧面与表面展开图形，再以练习2发挥学生的空间想象力，动画的制作与使用都以此为核心。
（七）小结与作业
T．（放映小结）（1）通过本课的学习你有何收获？（2）你对自己的表现有何看法？（3）你从同学身上学到了什么？（4）你觉得还有什么要提出来的？
S1．知道了圆柱（锥）、棱柱（锥）的侧面展开图是什么平面图形。
S2．了解了由平面展开图形想象折叠后的立体图形的方法。
S3．学会了解决问题遇到困难时从反面入手思考的好方法。
S4．生活中处处有数学，学习中要互相团结协作。
T．能过学习，让我们体验到数学的价值与魅力。在学习过程中，同学们所表现出的积极合作的态度和良好的竞争意识，为我们今后取得更大的功迈出可喜的一步！
T．（放映作业）课本P97：2、4
设计比赛：（二选一，要注重美观与实用）
现长宽高分别为1，6，8cm的磁带10盒，请你为他们设计出你认为最理想的包装，画出平面展开图，标上尺寸，做好样品。并说明这样设计的好处。
有一个底面直径为5cm，高为20cm的圆柱形茶杯，厂家请你为它设计一个棱柱形包装盒，请完成你的方案，做成样品，说明你的设想。
[评析]小结采用师生互动的方式，让学生评价自己的学习，谈自己的收获，最后鼓励的语言结束全课，体现了新课改评价的理念。作业设计了开放性的习题，把学生的思维活动自然延伸到了课外，通过比赛设计激发学生的学习兴趣、审美观。
课后感悟
学生是数学学习的主题，是数学学习的主动建构者；教师是教学情境的设计者，教学活动的组织者，学生数学活动的指导者和学生数学思维的促进者。以信息技术为代表的教学媒体是教师用以创设教学情境、组织学习材料、帮助学生进行数学思维，进行合作交流的认知工具。本课教学过程中教师充分运用了这一教学手段，比较成功地解决了教学难点，发展了学生的空间思维。值得注意的是，信息技术必须配合整个教学活动，不能为了使用信息技术而使用信息技术，从课程实施的最优化出发，完成其它教学手段所不能完成的教学手段。同时，也不能完全用计算机模拟的实验来代替学生的生活经验，更不能用多媒体的演示来剥夺学生的想象空间。教师在教学过程中，始终贯彻先让学生想象再用机器演示，边演示、边留给学生想象空间与时间的方式。同时结合实物的实验活动与多媒体演示相结合的方式，丰富学生的生活经验。实现媒体的使用与学生动手实践之间的平衡。三次动态的演示，都抓住了重点、难点与关键，完成了其它手段难以完成的任务，实现了既定的目标。以上在多媒体使用中，较好贯彻了目标性、必要性、平衡性的原则。
参考文献：
全日制义务教育数学课程标准实验稿
苏科版国标七年级数学（上）
李红婷，《问题解决教学案例及评析》《中学数学教与学》2002.7
“中学数学课程教材与信息技术整合的研究”课题组，《信息技术环境下的数学教学》
附：作者简介
李大乐，男，1973年3月，本科，中学一级教师，市教师专业技能大赛二等奖，省金钥匙科技知识竞赛优秀辅导教师，现为赣榆县实验中学数学教师，班主任。联系电话：13815462101
