上海市杨浦区控江中学2023届高三下学期开学考试数学试题（含答案）

控江中学2023届高三下学期开学考试数学试题
一、填空题（共54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）
1.已知集合，，合，则___________.
2.若，的最小值是___________.
3.已知，，则在上的投影向量为____________.
4.圆的过点的切线方程为____________.
5.中，，，，则的外接圆半径为___________.
6.2022年10月16日至10月22日，党的二十大在北京顺利召开，为深入学习 传贯彻党的二十大精神，某单位随机抽取了部分党员，对他们一周的“二十大”学习时间进行了统计，统计数据如下表所示：
“二十大”学习时间（小时） 7 8 9 10 11
党员人数 6 10 9 7 8
则可估计该单位党员一周学习“二十大”的时间的第70百分位数是___________.
7.某设备的使用年数与所支出的维修总费用的统计数据如下表：
使用年数（单位：年） 2 3 4 5 6
维修总费用（单位：万元） 1.5 4.5 5.5 6.5 7.5
根据上表可得经验回归方程为.则处的预测值为__________万元.
8.已知，则___________.
9.服从二项分布的随机变量，，若，则___________.
10.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是___________.
11.已知关于的实系数一元二次方程的两个根是、，若，则的值为____________.
12.如图，矩形ABCD中，AC是对角线，设，已知正方形和正方形分别内接于和，则的取值范围为___________；
二、单选题（共18分，13-14题每题4分，15-16题每题6分）
13.命题“对任意一个实数，都有”的否定是（ ）
A.存在实数，使得
B.对任意一个实数，都有
C.存在实数，使得
D.对任意一个实数，都有
14.北京冬奥会的应办办起了一阵冰雪运动的热潮.某高校在本校学生中对“喜欢滑冰是否与性别有关”关了一次调查，参与调查的学生中，男生人数是女生人数的3倍，有的男生喜欢滑冰，有的女生喜欢滑冰.若根据独立性检验的方法，仅有95%的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，则参与调查的男生人数可能为（ ）
参考公式：，其中.
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6.635
A.48 B.36 C.18 D.12
15.如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点Р在侧面及其边界上运动，则下列选项中不正确的是（ ）
A.存在点满足
B.存在点满足
C.满足的点的轨迹长度为
D.满足的点的轨迹长度为
16.已知数列的各项均为正数，其前项和为，满足，给出下列四个结论：①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项。其中正确结论的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
三、解答题（共78分）
17.（14分）已知函数的部分图像如图所示.
（1）（6分）求的解析式及对称中心；
（2）（8分）先将的图像纵坐标缩短到原来的，再向左平移个单位后得到的图像，求方程在的解集.
18.（14分）如图，四棱棱的底面是边长为2的菱形，，底面，，E是PC的中点，F是PB上的点，且.
（1）（6分）求直线AF与底面所成角的正弦值：
（2）（8分）求二面角的正弦值.
19.（16分）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”.将上述调查所得到的频率视为概率.
（1）（8分）现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布及期望.
（2）（8分）用分层抽样的方法从这100名观众中抽取8名作为样本A，则样本A中“体育迷”和非“体育迷”分别有几人 从样本A的这8名观众中随机抽取3名，记Y表示抽取的是“体育迷”的人数，求Y的分布及方差.
20.（16分）在平面直角坐标系中，动圆与圆：内切，且与圆：外切，记动圆的圆心的轨迹为.
（1）（4分）求轨迹的方程：
（2）不过圆心，且与轴垂直的直线交轨迹E于A，M两个不同的点，连接交轨迹E于点B.
（i）（6分）若直线MB交轴于点N，证明：N为一个定点；
（ⅱ）（6分）若过圆心的直线交轨迹E于D，G两个不同的点，且，求四边形ADBG面积的最小值.
21.（18分）已知.
（1）（4分）若，求在处的切线方程；
（2）（6分）求的极值和单调递增区间；
（3）（8分）设，求在上的零点个数.
参考答案
1.2 2.4 3. 4. 5. 6.10 7.13.5
【详解】由表格，得，，因为回归直线方程为，所以.则，即，时，
8.10【详解】，其二项展开式的通项为，，是展开式的系数，令，可得.故答案为：10.
9.【详解】∵随机变量，且
∴，
解得，∴，
∴，
故答案为：.
10.【详解】当时，，所以，
因为函数是定义在上的奇函数，所以，
所以当时，，所以，
要解不等式，只需或或，
的周长与的周长比为，
设，
因为，所以，
则，
因为在上单调递增，
所以，，
所以周长比为.故答案为：.
13.A
14.B【详解】设男生人数为，则女生人数为，且，可得列联表如下：
男生 女生 合计
喜欢滑冰
不喜欢滑冰
合计
所以，
因为仅有95%的把握认为是否喜欢滑冰和性别有关，
所以，解得，
所以，结合选项只有，故选：B.
15.C
【详解】对于A选项，假设，因为，
又，且始终垂直平面，所以，点Р在以B为圆心，半径为1的圆上，同理，，则，点Р在以为圆心，半径为的圆上，如图1，
又因为，所以两个圆相交有交点，即存在点满足，故A正确；
对于B选项，如图建立空间直角坐标系，则，，
若点在正方形中心处，即，
则，，可得，即，故B正确；
对于C选项，取的中点E，BC的中点F，连接AE，EF，AF，
因为平面，又平面，所以，
在正方形中，，又，平面，
所以平面，又平面，
所以，同理可得，又，平面AEF，
所以平面AEF，又因为点Р在侧面上，平面平面，
所以点P的轨迹为线段EF，且，故C错误；
对于D选项，过M点作交BC于点G，过M点作交于H，
则，因为，所以，
同理，又，平面，
∴平面，又平面平面，
所以点的轨迹为线段，且，故D正确.故选：C.
16.C【详解】当时，，因为数列的各项均为正数，所以，
当时，，
由数列的各项均为正数，解得：，（1）正确；
若为等比数列，则，解得：，
将代入，
故不是等比数列，（2）错误；
因为数列的各项均为正数，故必单调递增，而，
所以单调递减，（3）正确；
假设的所有项大于等于，取，则，，
则与已知矛盾，故（4）正确.故选：C
17.（1），对称中心为，.
（2）.
【详解】（1）解：根据函数的部分图像，
可得，∴.
再根据五点法作图，，∴，故有.
根据图像可得，是的图像的一个对称中心，
破禹数的对称中心为，.
（2）解：先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像，
再向左平移个单位，得到的图像，
可求得解集为：.
18.（1）（2）
【详解】（1）连接，由题意可知：为等边三角形，
取AB的中点M，连接MD，则，∵，则，
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则
，，，，，，，
可得，底面法向量可得线面伯的正弦值：
（2）由（1）可得：，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，即，
设平面的法向量为，则，
令，则，即，
可得，
设二面角为，则可得，
故二面角的正弦值.
19.（1）分布列见解析；数学期望
（2）“体育迷”有2人，非“体育迷”体育迷有6人；分布列见解析；方差
【详解】（1）“体育迷”对应的频率为：，
用频率估计概率，可知从该地区大量电视观众中，随机抽取1名观众，该观众是“体育迷”的概率为，则；∵所有可能的取值为0，1，2，3
∴；；
；；
∴的分布列为：
0 1 2 3
数学期望.
（2）根据分层抽样原则知：抽取的8人中，有“体育迷”人，非“体育迷”体育迷人，则所有可能的取值为0，1，2，
∵；；
∴的分布列为：
0 1 2
20.（1）（2）（i）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）设动圆Р的半径为R，圆心P的坐标为
由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.
∵动圆与圆内切，且与圆外切，
∴
所以动圆P的圆心的轨迹E是以，为焦点的椭圆，设其方程为：，
其中，，∴，
从而轨迹E的方程为：
（2）（i）设直线的方程为，，，
则由
可得：
∴，
直线的方程为，令可得点的横坐标为：
∴为一个定点，其坐标为
（ⅱ）根据（i）可进一步求得：
∵，∴，则
∵∴四边形面积
（法一）
等号当且仅当时取，即时，
（法二）令，∵，∴
则
当，即时，
21.（1）；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【详解】（1）由函数，当时，，，
所以，所以在处的切线斜率为：，
所以所求切线方程为：，即.
（2）由，，所以，
当时，，所以函数在上单调递增，无极值，
当时，由，则，若，则，
所以在单调递增，在上单调递减，
所以为函数单调递增区间，为函数单调递减区间，
此时函数有极大值为，无极小值.
（3）由，所以，
令，由，所以，
即问题转化为：与在交点个数问题，
由
令，时恒成立，
故时，从而严格增，
即，所以在单调递增，
所以，即，
当时，
则与在只有一个交点，
此时在上只有一个零点.
当或
时，
则与在无交点，
此时在上没有零点.