5.4.2平抛运动的推论及与斜面结合问题 同步练习
一、单选题
1．（2022·广东省教育研究院高三阶段练习）如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速度抛出一个小球，不计空气阻力，若小球击中斜面B点（图中未画出），且AB距离恰好取最小值，则小球做平抛运动的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若小球击中斜面B点，且AB距离恰好取最小值，则AB垂直斜面，此时有
可得
故选C。
2．（2019·河北衡水中学高三阶段练习）如图所示，固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出质量相等的甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2分别落在C、D两点。并且C、D两点等高，OC、OD与竖直方向的夹角均为37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8）。则（ ）
A．若调整乙的速度大小，乙可能沿半径方向垂直打在半圆形竖直轨道上
B．甲、乙两球下落到轨道上的速度变化量不相同
C．v1：v2=1：3
D．v1：v2=1：4
【答案】D
【详解】A．乙做平抛运动，竖直方向上总有位移，所以不可能沿半径方向垂直打在半圆形竖直轨道上，A错误；
B．甲乙下落的高度相同，根据公式
可得下落到轨道上的时间相同，其速度变化量为
可得速度变化量相同，B错误；
CD．根据题意可得甲乙的水平位移分别为
，
可得
C错误，D正确。
故选D。
3．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学高三阶段练习）如图所示，倾角为37°的斜面体固定放置在水平面上，斜面的高度为，点是A点正上方与点等高的点，让一小球（视为质点）从点水平向左抛出，落在斜面的点，已知、两点的连线与斜面垂直，重力加速度为g，、，下列说法正确的是（ ）
A．小球在点的速度为
B．小球从点到点的运动时间为
C．小球在点的速度大小为
D．小球在点的速度与水平方向夹角的正切值为2
【答案】A
【详解】AB．过点作的垂线与的交点为，设平抛运动的水平位移为，即、两点之间的距离为，如图所示
由几何关系可得
由平抛运动的规律可得，
解得、、
A正确、B错误；
CD．小球在点沿竖直方向的分速度为
小球在点的速度大小为
与水平方向夹角的正切值为
解得，
CD错误。
故选A。
4．（2023·浙江·模拟预测）如图，斜面AC与水平方向的夹角为α．在C处以初速度v0水平抛出一小球，落至斜面上，重力加速度为g。则小球在空中运动的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】小球落到斜面上，斜面倾角等于位移方向与水平方向的夹角，则
解得小球在空中运动的时间t
故选C。
5．（2022·全国·高三阶段练习）如图所示，从O点正上方高H处的一点先后平抛两个小球1和2，球2直接恰好越过高为h的竖直挡板A落到水平地面上的B点，球1则与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板A，而后也落在B点。设球1与地面碰撞时水平分速度大小方向都不变，竖直分速度大小不变方向相反，球与地面碰撞的时间忽略不计，不计空气阻力，则以下说法正确的是（ ）
A．挡板的高度为
B．两小球的水平初速度之比为
C．两小球越过挡板前在空中运动的时间之比为
D．A点到O点和A点到B点的水平距离之比为
【答案】A
【详解】B．根据平抛运动的特征，竖直高度决定时间，设两小球从平抛开始到落点B点所用时间分别为和，则有
由水平方向做匀速直线运动可得
解得
故选项B错误；
C．两小球越过挡板时水平位移相等，则两小球越过挡板前两小球在挡板上方的时间为，挡板下方的时间为，则
所以，球1越过挡板前在空中运动的时间
球2越过挡板前在空中运动的时间
则两小球越过挡板前在空中运动的时间也为
故C错误；
A．在竖直方向自由落体有
所以
故选项A正确；
D．由球2越过挡板前后两段时间相等，故前后两段的水平位移相等，故A在的中点，D错误。
故选A。
6．（2022·重庆·高三阶段练习）投弹训练中，某战士从倾角为37°、长度为L的斜坡顶端，将手榴弹（图中用点表示）以某一初速度水平抛出，手榴弹恰好落到斜坡底端。重力加速度大小为g，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．手榴弹抛出时的初速度大小为
B．手榴弹抛出后在空中运动的时间为
C．手榴弹抛出后经时间，与斜坡间的距离最大
D．手榴弹落到斜坡底端前瞬间的速度方向与水平方向的夹角为60°
【答案】C
【详解】B．手榴弹做平抛运动，竖直方向的分运动是自由落体运动
手榴弹抛出后在空中运动的时间为
故B错误；
A ．手榴弹水平的分运动是匀速直线运动
带入解得
故A错误；
C．将手榴弹的初速度和重力加速度分解到沿斜面方向和垂直斜面方向
当减为0时手榴弹与斜坡间的距离最大,时间
故C正确；
D．手榴弹落到斜坡底端前瞬间的位移角
则速度角
则手榴弹落到斜坡底端前瞬间的速度方向与水平方向的夹角不是60°，故D错误。
故选C。
二、多选题
7．（2022·山东·泰安市基础教育教学研究室高三期中）2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中，中国选手谷爱凌以188.25分的成绩获得金牌。图（a）是谷爱凌从3m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图（b）是谷爱凌在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线，将谷爱凌视为质点。已知时，图线所对应的切线斜率为6（单位：m/s），重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．时，谷爱凌到达最高点
B．时，谷爱凌到达最高点
C．和时，谷爱凌速度大小相等
D．和时，谷爱凌的速度方向相反
【答案】BC
【详解】AB．依题意，时，图线所对应的切线斜率为6，则此时谷爱凌竖直方向分速度大小为
设再经t’时间达到最高点，则有
解得
即时，谷爱凌到达最高点。故A错误；B正确；
CD．结合上面选项分析可知1s和 2.2s两个时刻关于1.6s对称，结合斜抛运动规律可知，在这两个时刻，谷爱凌的速度大小相等，速度方向不相同也不相反，分别为斜向上和斜向下两个方向。故C正确；D错误。
故选BC。
8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，今测得AB∶BC∶CD=5∶3∶1，由此可判断（不计空气阻力）（ ）
A．A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3
B．A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1
C．A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1
D．A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交
【答案】BC
【详解】A．由于沿斜面AB∶BC∶CD=5∶3∶1
故三个小球竖直方向运动的位移之比为9∶4∶1，运动时间之比为3∶2∶1，故A错误；
B．斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tan α=2tan θ
与小球抛出时的初速度大小和位置无关，故B正确；
C．同时tan α=
所以三个小球的初速度大小之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，故C正确；
D．三个小球的运动轨迹（抛物线）在D点相交，不会在空中相交，故D错误。
故选BC。
9．（2022·福建·莆田一中高三阶段练习）为了锻炼儿童的协调性，父子俩一起玩投掷小球的游戏。如图所示，父子分别从A、B两点水平抛出一个小球，小球均能从立在地面上的竖直管子的管口O落入管中，A、B、O三点恰在一条直线上，且AB:BO=2:3。从A点抛出的小球初速度大小为v1，在O点的速度与水平方向的夹角为α，从B点抛出的小球初速度大小为v2，在O点的速度与水平方向的夹角为β，空气阻力不计，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C．v1：v2=3：2 D．
【答案】BD
【详解】AB．根据题意，由平抛运动的推论有
所以
故A错误，B正确；
CD．根据平抛运动的规律有
所以
故C错误，D正确。
故选BD。
10．（2022·浙江省杭州第二中学高一期末）如图所示，球网高出桌面H，网到桌边的距离为L，某人在乒乓球训练中，从左侧处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到桌右侧的边缘，设乒乓球的运动为平抛运动，则下列判断正确的是（ ）
A．击球点的高度与网高度之比为
B．乒乓球在网左、右两侧运动速度之比为
C．乒乓球过网时与落到桌右侧边缘时速率之比为
D．乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为
【答案】AD
【详解】A．因为乒乓球在水平方向做匀速运动，网右侧的水平位移是左边水平位移的两倍，根据
得乒乓球在网左右两侧运动时间之比，球在竖直方向做自由落体运动，根据
可知击球点的高度与网高度之比
故A正确；
B．乒乓球在左右两侧的运动过程中速度不断变化，乒乓球在左右两侧的运动过程中速度之比是变量，故B错误；
C．乒乓球在网左右两侧运动时间之比，球在竖直方向做自由落体运动，根据
可知球恰好过网上沿的竖直分速度与落到桌右侧边缘的竖直分速度之比为，根据
可知乒乓球过网时与落到桌右侧边缘时的速率之比不一定是，故C错误；
D．乒乓球在网的左右两侧运动时间之比，根据
乒乓球在左右两侧运动速度变化量之比为，故D正确。
故选AD。
11．（2022·山东·滕州市第一中学新校高一期中）一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为，高为h，现有一小球在A处沿平行于底边的初速度滑上斜面，最后从B处离开斜面。已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为
C．小球从A处到达B处所用的时间为
D．小球从A处到达B处的位移为
【答案】ABC
【详解】A．小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，小球做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A项正确；
B．根据牛顿第二定律知，有
解得
故B项正确；
C．由几何关系得，小球沿加速度方向上的位移为
根据公式
解得
故C项正确；
D．小球在沿初速度方向的位移为
则小球从A处到达B处的位移为
故D项错误。
故选ABC。
三、解答题
12．（2022·全国·高一课时练习）从距地面高为H的A点以速度vA水平抛出一物体，其水平射程为2L，在A的正上方距地面高为2H的B点，以速度vB同方向水平抛出另一物体，其水平射程为L，两物体在空中运动的轨迹在同一竖直面内，且都从同一屏的顶端擦过，求：
（1）两物体水平抛出时的速度vA和vB的比值；
（2）屏的高度h（注意：H是已知的，L是未知的）。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）根据自由落体运动规律
解得，
水平方向
联立解得
（2）设O点到屏的水平距离为x，则物体从A、B点运动到屏顶端所用时间为
所以水平位移为
联立解得
13．（2022·福建龙岩·高三期中）如图所示，光滑斜面固定，倾角，斜面上P点与斜面底端B点间的距离为d，D点位于B点的正上方。现在将小物块从斜面的顶端A点由静止释放的同时，将小球从D点以某一初速度水平向左抛出，小球与物块在P点相遇，相遇时小球恰好垂直打到斜面上。重力加速度大小为g，取，，物块与小球均视为质点，不计空气阻力。求：
（1）小球从D点运动到P点的时间t及其抛出时距B点的高度h；
（2）斜面的长度L。
【答案】（1），；（2）
【详解】（1）小球从D点运动到P点的过程做平抛运动，如图所示
有，
解得
该过程中小球竖直方向上的位移大小
解得
又
解得
（2）设物块沿斜面下滑的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有
根据匀变速直线运动的规律可知，A、P两点间的距离
解得
又
解得
14．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）第二十四届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京举行，跳台滑雪是冬奥会的重要项目之一，如图所示，某次比赛中，质量为m的运动员（包括滑雪板）以大小为v0的初速度从跳台顶端水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上，赛道的倾角为θ，空气阻力忽略不计，运动员（包括滑雪板）可视为质点，求：
（1）运动员在空中运动的过程中速度变化量的大小；
（2）运动员在空中运动的过程中距倾斜赛道最远时的速度大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）运动员在空中运动的过程，由平抛运动规律有，水平方向的位移大小为
竖直方向的位移大小为
由几何关系有
落至斜面时，运动员竖直方向的分速度大小为
该过程中，运动员的速度变化量大小为
（2）运动员在空中运动过程中，距倾斜赛道最远时的速度方向与倾斜赛道平行，有
解得
15．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）如图所示，有一倾角为的光滑斜面，斜面高为h，一小球从斜面顶端以的初速度沿水平方向抛出，（重力加速度取g），求：
（1）小球沿斜面滑到底端时水平位移的大小x；
（2）小球到达斜面底端时的速度大小v。
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）小球在斜面上沿方向做匀速直线运动，沿垂直于方向做初速度为零，加速度为a的匀加速直线运动
得到
则
解得
（2）设小球运动到斜面底端时的速度为v，则
解法一：小球在斜面上沿方向做匀速直线运动，则
沿垂直于方向做初速度为零，加速度为a的匀加速直线运动
则小球到达斜面底端时的速度大小
解得
解法二：根据动能定理
解得5.4.2平抛运动的推论及与斜面结合问题 同步练习
一、单选题
1．（2022·广东省教育研究院高三阶段练习）如图所示，在斜面的上方A点，水平向右以初速度抛出一个小球，不计空气阻力，若小球击中斜面B点（图中未画出），且AB距离恰好取最小值，则小球做平抛运动的时间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2019·河北衡水中学高三阶段练习）如图所示，固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出质量相等的甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2分别落在C、D两点。并且C、D两点等高，OC、OD与竖直方向的夹角均为37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8）。则（ ）
A．若调整乙的速度大小，乙可能沿半径方向垂直打在半圆形竖直轨道上
B．甲、乙两球下落到轨道上的速度变化量不相同
C．v1：v2=1：3
D．v1：v2=1：4
3．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学高三阶段练习）如图所示，倾角为37°的斜面体固定放置在水平面上，斜面的高度为，点是A点正上方与点等高的点，让一小球（视为质点）从点水平向左抛出，落在斜面的点，已知、两点的连线与斜面垂直，重力加速度为g，、，下列说法正确的是（ ）
A．小球在点的速度为
B．小球从点到点的运动时间为
C．小球在点的速度大小为
D．小球在点的速度与水平方向夹角的正切值为2
4．（2023·浙江·模拟预测）如图，斜面AC与水平方向的夹角为α．在C处以初速度v0水平抛出一小球，落至斜面上，重力加速度为g。则小球在空中运动的时间为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三阶段练习）如图所示，从O点正上方高H处的一点先后平抛两个小球1和2，球2直接恰好越过高为h的竖直挡板A落到水平地面上的B点，球1则与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板A，而后也落在B点。设球1与地面碰撞时水平分速度大小方向都不变，竖直分速度大小不变方向相反，球与地面碰撞的时间忽略不计，不计空气阻力，则以下说法正确的是（ ）
A．挡板的高度为
B．两小球的水平初速度之比为
C．两小球越过挡板前在空中运动的时间之比为
D．A点到O点和A点到B点的水平距离之比为
6．（2022·重庆·高三阶段练习）投弹训练中，某战士从倾角为37°、长度为L的斜坡顶端，将手榴弹（图中用点表示）以某一初速度水平抛出，手榴弹恰好落到斜坡底端。重力加速度大小为g，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．手榴弹抛出时的初速度大小为
B．手榴弹抛出后在空中运动的时间为
C．手榴弹抛出后经时间，与斜坡间的距离最大
D．手榴弹落到斜坡底端前瞬间的速度方向与水平方向的夹角为60°
二、多选题
7．（2022·山东·泰安市基础教育教学研究室高三期中）2022年北京冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛中，中国选手谷爱凌以188.25分的成绩获得金牌。图（a）是谷爱凌从3m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图（b）是谷爱凌在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线，将谷爱凌视为质点。已知时，图线所对应的切线斜率为6（单位：m/s），重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A．时，谷爱凌到达最高点
B．时，谷爱凌到达最高点
C．和时，谷爱凌速度大小相等
D．和时，谷爱凌的速度方向相反
8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，今测得AB∶BC∶CD=5∶3∶1，由此可判断（不计空气阻力）（ ）
A．A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3
B．A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1
C．A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1
D．A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交
9．（2022·福建·莆田一中高三阶段练习）为了锻炼儿童的协调性，父子俩一起玩投掷小球的游戏。如图所示，父子分别从A、B两点水平抛出一个小球，小球均能从立在地面上的竖直管子的管口O落入管中，A、B、O三点恰在一条直线上，且AB:BO=2:3。从A点抛出的小球初速度大小为v1，在O点的速度与水平方向的夹角为α，从B点抛出的小球初速度大小为v2，在O点的速度与水平方向的夹角为β，空气阻力不计，则下列判断正确的是（ ）
A． B．
C．v1：v2=3：2 D．
10．（2022·浙江省杭州第二中学高一期末）如图所示，球网高出桌面H，网到桌边的距离为L，某人在乒乓球训练中，从左侧处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到桌右侧的边缘，设乒乓球的运动为平抛运动，则下列判断正确的是（ ）
A．击球点的高度与网高度之比为
B．乒乓球在网左、右两侧运动速度之比为
C．乒乓球过网时与落到桌右侧边缘时速率之比为
D．乒乓球在左、右两侧运动速度变化量之比为
11．（2022·山东·滕州市第一中学新校高一期中）一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为，高为h，现有一小球在A处沿平行于底边的初速度滑上斜面，最后从B处离开斜面。已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球的运动轨迹为抛物线
B．小球的加速度为
C．小球从A处到达B处所用的时间为
D．小球从A处到达B处的位移为
三、解答题
12．（2022·全国·高一课时练习）从距地面高为H的A点以速度vA水平抛出一物体，其水平射程为2L，在A的正上方距地面高为2H的B点，以速度vB同方向水平抛出另一物体，其水平射程为L，两物体在空中运动的轨迹在同一竖直面内，且都从同一屏的顶端擦过，求：
（1）两物体水平抛出时的速度vA和vB的比值；
（2）屏的高度h（注意：H是已知的，L是未知的）。
13．（2022·福建龙岩·高三期中）如图所示，光滑斜面固定，倾角，斜面上P点与斜面底端B点间的距离为d，D点位于B点的正上方。现在将小物块从斜面的顶端A点由静止释放的同时，将小球从D点以某一初速度水平向左抛出，小球与物块在P点相遇，相遇时小球恰好垂直打到斜面上。重力加速度大小为g，取，，物块与小球均视为质点，不计空气阻力。求：
（1）小球从D点运动到P点的时间t及其抛出时距B点的高度h；
（2）斜面的长度L。
14．（2022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）第二十四届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京举行，跳台滑雪是冬奥会的重要项目之一，如图所示，某次比赛中，质量为m的运动员（包括滑雪板）以大小为v0的初速度从跳台顶端水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上，赛道的倾角为θ，空气阻力忽略不计，运动员（包括滑雪板）可视为质点，求：
（1）运动员在空中运动的过程中速度变化量的大小；
（2）运动员在空中运动的过程中距倾斜赛道最远时的速度大小。
15．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）如图所示，有一倾角为的光滑斜面，斜面高为h，一小球从斜面顶端以的初速度沿水平方向抛出，（重力加速度取g），求：
（1）小球沿斜面滑到底端时水平位移的大小x；
（2）小球到达斜面底端时的速度大小v。
