2.运动的合成与分解
【课标解读】
1.通过蜡块在平面内运动的实验探究过程总结出运动的合成与分解的规律。
2.掌握运动的合成与分解的规律。
3.并且运用运动的合成与分解的规律来解决速度关联、小船渡河等实际问题。
【核心素养】
物理观念:掌握运动的合成与分解的规律，并且运用运动的合成与分解的规律来解决速度关联、小船渡河等实际问题，形成运动的合成与分解的观念。
科学思维：通过探究的过程，让学生体会得到结论的科学方法：归纳法。
科学探究：通过蜡块在平面内运动的实验探究过程总结出运动的合成与分解的规律。
科学态度与责任：能领略曲线运动的奇妙与和谐，发展对科学的好奇心与求知欲。
一、一个平面运动的实例
在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动。
1．建立坐标系：以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系。
2．蜡块运动的轨迹：若以vx表示玻璃管向右移动的速度，以vy表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则有x＝vxt，y＝vyt。消去t，得到y＝x，可知蜡块的运动轨迹是直线。
3．蜡块运动的速度：v＝，方向满足tan θ＝。
二、运动的合成与分解
1．合运动与分运动：如果一个物体同时参与几个运动，那么物体实际发生的运动就叫作那几个运动的合运动。那几个运动就叫作这个实际运动的分运动。
2．运动的合成：由分运动求合运动的过程。
3．运动的分解：由合运动求分运动的过程。
4．运动的合成与分解实质是对物体的速度、加速度、位移等物理量进行合成与分解。
5．运动的合成与分解遵从矢量运算法则。
判一判
(1)合速度等于两个分速度的代数和。( )
(2)合速度不一定大于任一分速度。( )
(3)合位移一定大于任意一个分位移。( )
(4)运动的合成就是把两个分运动加起来。( )
(5)运动的分解就是把一个运动分成两个完全相同的运动。( )
(6)运动的合成与分解遵循平行四边形定则。( )
提示：(1)× 合速度是各分速度的矢量和，而不是代数和。
(2)√
(3)× 根据矢量三角形可知，合位移不一定大于任一分位移。
(4)× 运动的合成遵从平行四边形定则，而不是简单相加。
(5)× (6)√
课堂任务 运动的合成与分解
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如果玻璃管沿水平方向匀速运动，蜡块实际的运动会怎么样？
提示：蜡块参与了两个运动，分别是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动。蜡块实际上做匀速直线运动，如图乙中斜线。
活动2：如果玻璃管沿水平方向做加速运动，蜡块的运动又会怎么样？
提示：玻璃管沿水平方向做加速运动，蜡块也被迫在水平方向做加速运动，这样，蜡块运动到玻璃管顶部的过程不再是条直线而是曲线。
活动3：怎么求蜡块经过一段时间后的位移和速度？
提示：可以建立平面直角坐标系，分别求蜡块经过一段时间后在两个方向的位移和速度，再求合位移、合速度即可。
1．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：各分运动之间互不相干、彼此独立、互不影响。
(3)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同。
2．合运动性质的判断
分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0与合加速度a，然后进行判断。
(1)判断是否做匀变速运动
①若a＝0，物体沿合初速度v0的方向做匀速直线运动。
②若a≠0且a恒定，物体做匀变速运动。
③若a变化，物体做非匀变速运动。
(2)判断轨迹的曲直
①若a与v0在同一直线上，物体做直线运动。
②若a与v0不在同一直线上，物体做曲线运动。
3．合位移和合速度的计算
位移和速度的合成与分解都遵循平行四边形定则。例如：上图中蜡块在水平和竖直两个方向均做匀速直线运动时，设速度分别为vx、vy，则经过时间t，蜡块在水平方向的位移x＝vxt，竖直方向的位移y＝vyt，蜡块的合位移为l＝＝ t，设位移与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝，蜡块的合速度v＝，合速度方向与vx方向的夹角θ的正切值为tan θ＝。
4．运动的分解：运动的分解是运动合成的逆运算，利用运动的分解可以将曲线运动问题转化为直线运动问题。
例1 (多选)质量为2 kg的质点在xOy平面内做曲线运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度大小为5 m/s
B．质点所受的合力为3 N，做匀变速曲线运动
C．2 s末质点速度大小为6 m/s
D．2 s内质点的位移大小约为12 m
(1)通过速度图像能看出什么？
提示：质点在x方向的初速度为3 m/s，加速度为a＝ m/s2＝1.5 m/s2。
(2)通过位移图像能看出什么？
提示：质点在y方向做匀速直线运动，速度大小为v＝ m/s＝4 m/s。
[规范解答] 由x方向的速度图像可知，质点在x方向的初速度为3 m/s，加速度为1.5 m/s2，受力Fx＝3 N，由y方向的位移图像可知，质点在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝－4 m/s，受力Fy＝0。因此质点的初速度大小为5 m/s，A正确；受到的合力为3 N，显然，质点初速度方向与合力方向不在同一条直线上，质点做匀变速曲线运动，B正确；2 s末质点速度大小应该为v＝ m/s＝2 m/s，C错误；2 s内，x＝vx0t＋at2＝9 m，y＝－8 m，合位移大小l＝＝ m≈12 m，D正确。
[答案] ABD
规律点拨
求解合运动或分运动的步骤
(1)根据题意确定物体的合运动与分运动。
(2)根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形。
(3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，若两个分运动相互垂直，则合速度的大小v＝，合位移的大小s＝。
[变式训练1] 如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口正前方时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是( )
A．乒乓球将保持原有的速度继续前进
B．乒乓球将偏离原有的运动路径，但不进入纸筒
C．乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
答案 B
解析 当乒乓球经过筒口正前方时，对着球横向吹气，乒乓球沿着原方向做匀速直线运动的同时也会沿着吹气方向做加速运动，实际运动是两个运动的合运动，故一定不会进入纸筒，A、C、D错误，B正确。
课堂任务 小船渡河与关联速度问题
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：图甲反映的是小船渡河的什么情况？
提示：图甲反映的是小船渡河的分速度与合速度的情况。
活动2：图乙反映的是什么情况？
提示：图乙反映的是小船靠岸时的分运动与合运动的情况。
活动3：甲、乙两图的共同点是什么？
提示：物体的运动(合运动)都相当于参与了两个分运动，合运动或所有分运动的情况反映物体的运动规律。
1．小船渡河问题
(1)三个速度：v船(船在静水中的速度)、v水(水流速度)、v合(船的实际速度)。
(2)两个问题
①渡河时间
a．船头与河岸成α角时，渡河时间为t＝(d为河宽)。
b.船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)。
②最短航程
a．若v水＜v船，则当合速度v合垂直于河岸时，航程最短，xmin＝d。船头指向上游与河岸的夹角α满足cos α＝。如图①所示。
b．若v水＞v船，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图②所示，以v水矢量的末端为圆心、以v船矢量的大小为半径画圆弧，从v水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，由图可知船头指向上游与河岸的夹角α满足cos α＝，最短航程xmin＝＝d。
2．关联速度问题
(1)对关联速度的理解
用绳、杆相牵连的物体在运动过程中的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。
(2)关联速度问题的解题步骤
①确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。
②分解合速度：按平行四边形定则进行分解，作好矢量图。合运动所产生的实际效果：一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。两个分速度的方向：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向。常见的模型如图所示：
③沿绳或杆方向的分速度大小相等，列方程求解。例如：v＝v∥(图甲)；v∥＝v∥′(图乙、丙)。
例2 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s，船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)如果其他条件不变，水流速度变为6 m/s。船过河的最短时间和最小位移是多少？
(1)小船渡河时同时参与了几个分运动？如何渡河时间最短？
提示：参与了两个分运动，一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动(即水的运动)。当v船垂直于河岸时到达对岸用时最短，最短时间与v水无关。
(2)当v水提示：当v水[规范解答] (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示。
时间t＝＝ s＝36 s，v合＝＝ m/s，
位移为x＝v合t＝90 m。
(2)欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸，船头应朝上游与河岸成某一夹角β，如图乙所示，有v2cos β＝v1，得β＝60°。
最小位移为xmin＝d＝180 m，
所用时间t′＝＝＝ s＝24 s。
(3)最短渡河时间只与v2有关，与v1无关，当船头垂直于河岸渡河时时间最短，t＝＝36 s；
当水流速度变为6 m/s时，v1＞v2，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图丙所示，以v1矢量的末端为圆心、以矢量v2的大小为半径画弧，从v1矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，设船头与上游河岸夹角为α，则cos α＝，最小位移为xmin＝＝d＝×180 m＝216 m。
[答案] (1)船头朝垂直于河岸方向 36 s 90 m
(2)船头偏向上游，与河岸夹角为60° 24 s 180 m
(3)36 s 216 m
规律点拨
小船渡河的最短时间与最短航程
(1)不论水流速度多大，船头垂直于河岸渡河，时间最短，tmin＝，且这个时间与水流速度大小无关。
(2)当v水＜v船时，合运动的速度方向可垂直于河岸，最短航程为河宽。
(3)当v水＞v船时，船不能垂直到达河对岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短，最短航程为xmin＝d。
[变式训练2] (多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是( )
答案 AB
解析 小船渡河的运动可看作小船随水漂流的运动和小船沿船头运动的合运动。虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，小船合运动的速度方向就是其实际运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B。
例3 (2021·四川省达州市高一期末)图甲为发动机活塞连杆组，图乙为连杆组的结构简图，连杆组在竖直平面内，且OA正好在竖直方向上，连杆一端连接A处活塞，另一端与曲柄上B点相连，活塞沿OA直线往复运动并带动连杆使B点绕圆心O顺时针方向做圆周运动，某时刻OB刚好水平，∠OAB＝θ，活塞的速率为vA，曲柄上B点的速率为vB，则此时( )
A．vA·cos θ＝vB B．vB·cos θ＝vA
C．vA＝vB D．vA·sin θ＝vB
(1)活塞的实际运动沿什么方向？曲柄上B点的实际运动沿什么方向？
提示：沿竖直方向；沿虚线圆的切线方向。
(2)应将A、B点的运动沿什么方向分解？
提示：沿连杆方向和垂直于连杆方向分解。
[规范解答] 活塞的实际运动沿竖直方向，曲柄上B点的实际运动沿虚线圆的切线方向，当OB刚好水平，曲柄上B点的速率为vB且刚好方向竖直时，将vA、vB沿连杆方向和垂直于连杆方向分解如图，则有v1＝vA cos θ＝vB cos θ，可得vA＝vB，故A、B、D错误，C正确。
[答案] C
规律点拨
关联速度问题，关键是要弄清楚哪个速度是合速度、哪个速度是分速度，然后弄清楚哪个分速度才是我们需要用来解题的。
[变式训练3] (2021·湖北省随州市高一月考)新冠疫情居家期间，某人为锻炼身体设计了如图所示的装置，在水平地面上竖直固定直杆A和B。将重物套在杆A上，在杆B的顶端固定一轻滑轮，绳子的一端连接重物，跨过定滑轮后另一端系在腰上。开始时，重物在水平地面上，人以恒定的速度v0向左运动，当绳子与杆A的夹角θ＝60°时重物的速度为v，加速度为a，规定向上为重物速度、加速度的正方向。下列说法正确的是( )
A．v＝v0 B．v＝v0
C．a>0 D．a<0
答案 C
解析 重物沿杆A向上运动，沿绳子方向的分速度等于v0，即v cos θ＝v0，所以v＝，当θ＝60°时，v＝2v0，故A、B错误；重物沿杆A向上运动，绳子与杆A的夹角θ增大，由v＝，可知重物运动的速度增大，所以重物做加速运动，a>0，故C正确，D错误。2.运动的合成与分解
【课标解读】
1.通过蜡块在平面内运动的实验探究过程总结出运动的合成与分解的规律。
2.掌握运动的合成与分解的规律。
3.并且运用运动的合成与分解的规律来解决速度关联、小船渡河等实际问题。
【核心素养】
物理观念:掌握运动的合成与分解的规律，并且运用运动的合成与分解的规律来解决速度关联、小船渡河等实际问题，形成运动的合成与分解的观念。
科学思维：通过探究的过程，让学生体会得到结论的科学方法：归纳法。
科学探究：通过蜡块在平面内运动的实验探究过程总结出运动的合成与分解的规律。
科学态度与责任：能领略曲线运动的奇妙与和谐，发展对科学的好奇心与求知欲。
一、一个平面运动的实例
在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑板沿水平方向向右匀速移动。
1．建立坐标系：以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立_______坐标系。
2．蜡块运动的轨迹：若以vx表示玻璃管向右移动的速度，以vy表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则有x＝_____，y＝_____。消去t，得到y＝______，可知蜡块的运动轨迹是_______。
3．蜡块运动的速度：v＝_______，方向满足tan θ＝_______。
二、运动的合成与分解
1．合运动与分运动：如果一个物体同时参与_____运动，那么物体实际发生的运动就叫作那几个运动的______。那几个运动就叫作这个实际运动的_______。
2．运动的合成：由分运动求_______的过程。
3．运动的分解：由合运动求_______的过程。
4．运动的合成与分解实质是对物体的_______、加速度、位移等物理量进行合成与分解。
5．运动的合成与分解遵从_______法则。
判一判
(1)合速度等于两个分速度的代数和。( )
(2)合速度不一定大于任一分速度。( )
(3)合位移一定大于任意一个分位移。( )
(4)运动的合成就是把两个分运动加起来。( )
(5)运动的分解就是把一个运动分成两个完全相同的运动。( )
(6)运动的合成与分解遵循平行四边形定则。( )
课堂任务 运动的合成与分解
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如果玻璃管沿水平方向匀速运动，蜡块实际的运动会怎么样？
活动2：如果玻璃管沿水平方向做加速运动，蜡块的运动又会怎么样？
活动3：怎么求蜡块经过一段时间后的位移和速度？
1．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动与分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止。
(2)独立性：各分运动之间互不相干、彼此独立、互不影响。
(3)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同。
2．合运动性质的判断
分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0与合加速度a，然后进行判断。
(1)判断是否做匀变速运动
①若a＝0，物体沿合初速度v0的方向做匀速直线运动。
②若a≠0且a恒定，物体做匀变速运动。
③若a变化，物体做非匀变速运动。
(2)判断轨迹的曲直
①若a与v0在同一直线上，物体做直线运动。
②若a与v0不在同一直线上，物体做曲线运动。
3．合位移和合速度的计算
位移和速度的合成与分解都遵循平行四边形定则。例如：上图中蜡块在水平和竖直两个方向均做匀速直线运动时，设速度分别为vx、vy，则经过时间t，蜡块在水平方向的位移x＝vxt，竖直方向的位移y＝vyt，蜡块的合位移为l＝＝ t，设位移与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝，蜡块的合速度v＝，合速度方向与vx方向的夹角θ的正切值为tan θ＝。
4．运动的分解：运动的分解是运动合成的逆运算，利用运动的分解可以将曲线运动问题转化为直线运动问题。
例1 (多选)质量为2 kg的质点在xOy平面内做曲线运动，在x方向的速度图像和y方向的位移图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的初速度大小为5 m/s
B．质点所受的合力为3 N，做匀变速曲线运动
C．2 s末质点速度大小为6 m/s
D．2 s内质点的位移大小约为12 m
(1)通过速度图像能看出什么？
(2)通过位移图像能看出什么？
规律点拨
求解合运动或分运动的步骤
(1)根据题意确定物体的合运动与分运动。
(2)根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形。
(3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，若两个分运动相互垂直，则合速度的大小v＝，合位移的大小s＝。
[变式训练1] 如图所示，乒乓球从斜面上滚下，以一定的速度沿直线运动。在与乒乓球路径相垂直的方向上放一个纸筒(纸筒的直径略大于乒乓球的直径)，当乒乓球经过筒口正前方时，对着球横向吹气，则关于乒乓球的运动，下列说法中正确的是( )
A．乒乓球将保持原有的速度继续前进
B．乒乓球将偏离原有的运动路径，但不进入纸筒
C．乒乓球一定能沿吹气方向进入纸筒
D．只有用力吹气，乒乓球才能沿吹气方向进入纸筒
课堂任务 小船渡河与关联速度问题
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：图甲反映的是小船渡河的什么情况？
活动2：图乙反映的是什么情况？
活动3：甲、乙两图的共同点是什么？
1．小船渡河问题
(1)三个速度：v船(船在静水中的速度)、v水(水流速度)、v合(船的实际速度)。
(2)两个问题
①渡河时间
a．船头与河岸成α角时，渡河时间为t＝(d为河宽)。
b.船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽)。
②最短航程
a．若v水＜v船，则当合速度v合垂直于河岸时，航程最短，xmin＝d。船头指向上游与河岸的夹角α满足cos α＝。如图①所示。
b．若v水＞v船，则合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图②所示，以v水矢量的末端为圆心、以v船矢量的大小为半径画圆弧，从v水矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向时航程最短，由图可知船头指向上游与河岸的夹角α满足cos α＝，最短航程xmin＝＝d。
2．关联速度问题
(1)对关联速度的理解
用绳、杆相牵连的物体在运动过程中的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。
(2)关联速度问题的解题步骤
①确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。
②分解合速度：按平行四边形定则进行分解，作好矢量图。合运动所产生的实际效果：一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。两个分速度的方向：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向。常见的模型如图所示：
③沿绳或杆方向的分速度大小相等，列方程求解。例如：v＝v∥(图甲)；v∥＝v∥′(图乙、丙)。
例2 一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s，船在静水中的速度为v2＝5 m/s，则：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(3)如果其他条件不变，水流速度变为6 m/s。船过河的最短时间和最小位移是多少？
(1)小船渡河时同时参与了几个分运动？如何渡河时间最短？
(2)当v水规律点拨
小船渡河的最短时间与最短航程
(1)不论水流速度多大，船头垂直于河岸渡河，时间最短，tmin＝，且这个时间与水流速度大小无关。
(2)当v水＜v船时，合运动的速度方向可垂直于河岸，最短航程为河宽。
(3)当v水＞v船时，船不能垂直到达河对岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短，最短航程为xmin＝d。
[变式训练2] (多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线。则其中可能正确的是( )
例3 (2021·四川省达州市高一期末)图甲为发动机活塞连杆组，图乙为连杆组的结构简图，连杆组在竖直平面内，且OA正好在竖直方向上，连杆一端连接A处活塞，另一端与曲柄上B点相连，活塞沿OA直线往复运动并带动连杆使B点绕圆心O顺时针方向做圆周运动，某时刻OB刚好水平，∠OAB＝θ，活塞的速率为vA，曲柄上B点的速率为vB，则此时( )
A．vA·cos θ＝vB B．vB·cos θ＝vA
C．vA＝vB D．vA·sin θ＝vB
(1)活塞的实际运动沿什么方向？曲柄上B点的实际运动沿什么方向？
(2)应将A、B点的运动沿什么方向分解？
规律点拨
关联速度问题，关键是要弄清楚哪个速度是合速度、哪个速度是分速度，然后弄清楚哪个分速度才是我们需要用来解题的。
[变式训练3] (2021·湖北省随州市高一月考)新冠疫情居家期间，某人为锻炼身体设计了如图所示的装置，在水平地面上竖直固定直杆A和B。将重物套在杆A上，在杆B的顶端固定一轻滑轮，绳子的一端连接重物，跨过定滑轮后另一端系在腰上。开始时，重物在水平地面上，人以恒定的速度v0向左运动，当绳子与杆A的夹角θ＝60°时重物的速度为v，加速度为a，规定向上为重物速度、加速度的正方向。下列说法正确的是( )
A．v＝v0 B．v＝v0
C．a>0 D．a<0
